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文檔簡介
2025屆福建省龍巖市重點中學高考適應(yīng)性考試數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知數(shù)列滿足:)若正整數(shù)使得成立,則()A.16 B.17 C.18 D.192.在中,,,,則在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-33.若兩個非零向量、滿足,且,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.4.網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.1 B. C.3 D.45.函數(shù)的定義域為()A.或 B.或C. D.6.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.7.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過原點O作斜率為的直線交C的右支于點A,若|OA|=|OF|,則雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.+18.在區(qū)間上隨機取一個數(shù),使得成立的概率為等差數(shù)列的公差,且,若,則的最小值為()A.8 B.9 C.10 D.119.函數(shù)的定義域為()A. B. C. D.10.對于函數(shù),若滿足,則稱為函數(shù)的一對“線性對稱點”.若實數(shù)與和與為函數(shù)的兩對“線性對稱點”,則的最大值為()A. B. C. D.11.是定義在上的增函數(shù),且滿足:的導函數(shù)存在,且,則下列不等式成立的是()A. B.C. D.12.設(shè)M是邊BC上任意一點,N為AM的中點,若,則的值為()A.1 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè),則______.14.已知函數(shù),若,則___________.15.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》對立體幾何有深入的研究,從其中一些數(shù)學用語可見,譬如“憋臑”意指四個面都是直角三角形的三棱錐.某“憋臑”的三視圖(圖中網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1)如圖所示,已知幾何體高為,則該幾何體外接球的表面積為__________.16.設(shè)實數(shù)x,y滿足,則點表示的區(qū)域面積為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,點為圓:上一動點,過點分別作軸,軸的垂線,垂足分別為,,連接延長至點,使得,點的軌跡記為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若點,分別位于軸與軸的正半軸上,直線與曲線相交于,兩點,且,試問在曲線上是否存在點,使得四邊形為平行四邊形,若存在,求出直線方程;若不存在,說明理由.18.(12分)已知都是各項不為零的數(shù)列,且滿足其中是數(shù)列的前項和,是公差為的等差數(shù)列.(1)若數(shù)列是常數(shù)列,,,求數(shù)列的通項公式;(2)若是不為零的常數(shù)),求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(3)若(為常數(shù),),.求證:對任意的恒成立.19.(12分)已知a,b∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=(I)若b=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間:(II)當x∈[0,+∞)時,f(x)的最小值為0,求a+5b的最大值.注:20.(12分)2019年春節(jié)期間,某超市準備舉辦一次有獎促銷活動,若顧客一次消費達到400元則可參加一次抽獎活動,超市設(shè)計了兩種抽獎方案.方案一:一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機抽取一個球,若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券,若抽到白球則獲得20元的返金券,且顧客有放回地抽取3次.方案二:一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機抽取一個球,若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券,若抽到白球則未中獎,且顧客有放回地抽取3次.(1)現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機會,且都按方案一抽獎,試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率;(2)若某顧客獲得抽獎機會.①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學期望;②為了吸引顧客消費,讓顧客獲得更多金額的返金券,該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎方案進行促銷活動?21.(12分)已知奇函數(shù)的定義域為,且當時,.(1)求函數(shù)的解析式;(2)記函數(shù),若函數(shù)有3個零點,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,平面,是棱上的一點,滿足平面.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)設(shè),,若為棱上一點,使得直線與平面所成角的大小為30°,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
計算,故,解得答案.【詳解】當時,,即,且.故,,故.故選:.【點睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)計算,意在考查學生的計算能力和對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.2、D【解析】分析:根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得,再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解:如圖所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故選D.點睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問題,也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題.3、A【解析】
設(shè)平面向量與的夾角為,由已知條件得出,在等式兩邊平方,利用平面向量數(shù)量積的運算律可求得的值,即為所求.【詳解】設(shè)平面向量與的夾角為,,可得,在等式兩邊平方得,化簡得.故選:A.【點睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值,考查平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.4、A【解析】
采用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐,然后根據(jù)錐體體積公式,可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知:該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐,長度如上圖所以所以所以故選:A【點睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積,熟悉常見圖形的三視圖:比如圓柱,圓錐,球,三棱錐等;對本題可以利用長方體,根據(jù)三視圖刪掉沒有的點與線,屬中檔題.5、A【解析】
根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負可得出關(guān)于的不等式,即可解得函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得,解得或.因此,函數(shù)的定義域為或.故選:A.【點睛】本題考查具體函數(shù)定義域的求解,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)運算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,屬基礎(chǔ)題.7、B【解析】
以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,可求出點,則,整理計算可得離心率.【詳解】解:以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,取第一象限的解得,即,則,整理得,則(舍去),,.故選:B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解,考查學生的計算能力,是中檔題.8、D【解析】
由題意,本題符合幾何概型,只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長度,利用幾何概型公式可得概率,即等差數(shù)列的公差,利用條件,求得,從而求得,解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意,本題符合幾何概型,區(qū)間長度為6,使得成立的的范圍為,區(qū)間長度為2,故使得成立的概率為,又,,,令,則有,故的最小值為11,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題,涉及到的知識點有長度型幾何概型概率公式,等差數(shù)列的通項公式,屬于基礎(chǔ)題目.9、C【解析】
函數(shù)的定義域應(yīng)滿足故選C.10、D【解析】
根據(jù)已知有,可得,只需求出的最小值,根據(jù),利用基本不等式,得到的最小值,即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知,與為函數(shù)的“線性對稱點”,所以,故(當且僅當時取等號).又與為函數(shù)的“線性對稱點,所以,所以,從而的最大值為.故選:D.【點睛】本題以新定義為背景,考查指數(shù)函數(shù)的運算和圖像性質(zhì)、基本不等式,理解新定義含義,正確求出的表達式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.11、D【解析】
根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得,構(gòu)建新函數(shù),利用導數(shù)可得為上的增函數(shù),從而可得正確的選項.【詳解】因為是定義在上的增函數(shù),故.又有意義,故,故,所以.令,則,故在上為增函數(shù),所以即,整理得到.故選:D.【點睛】本題考查導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,一般地,數(shù)的大小比較,可根據(jù)數(shù)的特點和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導數(shù)的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù),本題屬于中檔題.12、B【解析】
設(shè),通過,再利用向量的加減運算可得,結(jié)合條件即可得解.【詳解】設(shè),則有.又,所以,有.故選B.【點睛】本題考查了向量共線及向量運算知識,利用向量共線及向量運算知識,用基底向量向量來表示所求向量,利用平面向量表示法唯一來解決問題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、121【解析】
在所給的等式中令,,令,可得2個等式,再根據(jù)所得的2個等式即可解得所求.【詳解】令,得,令,得,兩式相加,得,所以.故答案為:.【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,考查學生分析問題的能力,屬于基礎(chǔ)題,難度較易.14、【解析】
根據(jù)題意,利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性,利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為函數(shù),其定義域為,所以其定義域關(guān)于原點對稱,又,所以函數(shù)為奇函數(shù),因為,所以.故答案為:【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質(zhì);考查運算求解能力;熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.15、【解析】三視圖還原如下圖:,由于每個面是直角,顯然外接球球心O在AC的中點.所以,,填?!军c睛】三視圖還原,當出現(xiàn)三個尖點在一個位置時,我們常用“揪尖法”。外接球球心到各個頂點的距離相等,而直角三角形斜邊上的中點到各頂點的距離相等,所以本題的球心為AC中點。16、【解析】
先畫出滿足條件的平面區(qū)域,求出交點坐標,利用定積分即可求解.【詳解】畫出實數(shù)x,y滿足表示的平面區(qū)域,如圖(陰影部分):則陰影部分的面積,故答案為:【點睛】本題考查了定積分求曲邊梯形的面積,考查了微積分基本定理,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)不存在;詳見解析【解析】
(1)設(shè),,,通過,即為的中點,轉(zhuǎn)化求解,點的軌跡的方程.(2)設(shè)直線的方程為,先根據(jù),可得,①,再根據(jù)韋達定理,點在橢圓上可得,②,將①代入②可得,該方程無解,問題得以解決【詳解】(1)設(shè),,則,,由題意知,所以為中點,由中點坐標公式得,即,又點在圓:上,故滿足,得.曲線的方程.(2)由題意知直線的斜率存在且不為零,設(shè)直線的方程為,因為,故,即①,聯(lián)立,消去得:,設(shè),,,,,因為四邊形為平行四邊形,故,點在橢圓上,故,整理得②,將①代入②,得,該方程無解,故這樣的直線不存在.【點睛】本題考查點的軌跡方程的求法、滿足條件的點是否存在的判斷與直線方程的求法,考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.18、(1);(2)詳見解析;(3)詳見解析.【解析】
(1)根據(jù),可求得,再根據(jù)是常數(shù)列代入根據(jù)通項與前項和的關(guān)系求解即可.(2)取,并結(jié)合通項與前項和的關(guān)系可求得再根據(jù)化簡可得,代入化簡即可知,再證明也成立即可.(3)由(2)當時,,代入所給的條件化簡可得,進而證明可得,即數(shù)列是等比數(shù)列.繼而求得,再根據(jù)作商法證明即可.【詳解】解:.是各項不為零的常數(shù)列,則,則由,及得,當時,,兩式作差,可得.當時,滿足上式,則;證明:,當時,,兩式相減得:即.即.又,,即.當時,,兩式相減得:.數(shù)列從第二項起是公差為的等差數(shù)列.又當時,由得,當時,由,得.故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列;證明:由,當時,,即,,,即,即,當時,即.故從第二項起數(shù)列是等比數(shù)列,當時,..另外,由已知條件可得,又,,因而.令,則.故對任意的恒成立.【點睛】本題主要考查了等差等比數(shù)列的綜合運用,需要熟練運用通項與前項和的關(guān)系分析數(shù)列的遞推公式繼而求解通項公式或證明等差數(shù)列等.同時也考查了數(shù)列中的不等式證明等,需要根據(jù)題意分析數(shù)列為等比數(shù)列并求出通項,再利用作商法證明.屬于難題.19、(I)詳見解析;(II)2【解析】
(I)求導得到f'(x)=ex-a,討論a≤0(II)f12=e-12a-5【詳解】(I)f(x)=ex-ax當a≤0時,f'(x)=e當a>0時,f'(x)=ex-a=0,x=lna當x∈lna,+∞時,綜上所述:a≤0時,fx在R上單調(diào)遞增;a>0時,fx在-∞,ln(II)f(x)=ex-ax-bf12=現(xiàn)在證明存在a,b,a+5b=2e取a=3e4,b=f'(x)=ex-a-故當x∈0,+∞上時,x2+1f'x在x∈0,+∞上單調(diào)遞增,故fx在0,12上單調(diào)遞減,在1綜上所述:a+5b的最大值為【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性,函數(shù)的最值問題,意在考查學生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.20、(1)(2)①②第一種抽獎方案.【解析】
(1)方案一中每一次摸到紅球的概率為,每名顧客有放回的抽3次獲180元返金劵的概率為,根據(jù)相互獨立事件的概率可知兩顧客都獲得180元返金劵的概率(2)①分別計算方案一,方案二顧客獲返金卷的期望,方案一列出分布列計算即可,方案二根據(jù)二項分布計算期望即可②根據(jù)①得出結(jié)論.【詳解】(1)選擇方案一,則每一次摸到紅球的概率為設(shè)“每位顧客獲得180元返金劵”為事件A,則所以兩位顧客均獲得180元返金劵的概率(2)①若選擇抽獎方案一,則每一次摸到紅球的概率為,每一次摸到白球的概率為.設(shè)獲得返金劵金額為元,則可能的取值為60,100,140,180.則;;;.所以選擇抽獎方案一,該顧客獲得返金劵金額的數(shù)學期望為(元)若選擇抽獎方案二,設(shè)三次摸球的過程中,摸到紅球的次數(shù)為,最終獲得返金劵的金額為元,則,故所以選擇抽獎方案二,該顧客獲得返金劵金額的數(shù)學期望為(元).②即,所以該超市應(yīng)選擇第一種抽獎方案【點睛】本題主要考查了古典概型,相互獨立
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