高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-空間圖形的基本關(guān)系與公理

空間圖形的基本關(guān)系與公理A組1．以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是________．①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則A、B、C、D、E共面；③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．解析：①正確，可以用反證法證明；②從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A、B、C，但是若A、B、C共線，則結(jié)論不正確；③不正確，共面不具有傳遞性；④不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形四條邊可以不在一個(gè)平面上．答案：12．給出下列四個(gè)命題：①如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合；②兩條直線可以確定一個(gè)平面；③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l；④空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)．其中真命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：根據(jù)平面的基本性質(zhì)知③正確．答案：13．(2009年高考湖南卷改編)平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為_(kāi)_______．解析：根據(jù)兩條平行直線、兩條相交直線確定一個(gè)平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合條件．答案：54．正方體ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn)．那么，正方體的過(guò)P、Q、R的截面圖形是________．解析：邊長(zhǎng)是正方體棱長(zhǎng)的eq\f(\r(2),2)倍的正六邊形．答案：正六邊形5．(原創(chuàng)題)已知直線m、n及平面α，其中m∥n，那么平面α內(nèi)到兩條直線m、n距離相等的點(diǎn)的集合可能是：(1)一條直線；(2)一個(gè)平面；(3)一個(gè)點(diǎn)；(4)空集．其中正確的是________．解析：如圖1，當(dāng)直線m或直線n在平面α內(nèi)且m、n所在平面與α垂直時(shí)不可能有符合題意的點(diǎn)；如圖2，直線m、n到已知平面α的距離相等且兩直線所在平面與已知平面α垂直，則已知平面α為符合題意的點(diǎn)；如圖3，直線m、n所在平面與已知平面α平行，則符合題意的點(diǎn)為一條直線．答案：(1)(2)(4)6．如圖，已知平面α、β，且α∩β＝l.設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn))．證明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的兩腰，∴AB，CD必定相交于一點(diǎn)．如圖，設(shè)AB∩CD=M.又∵AB?α，CD?β，∴M∈α，且M∈β，∴M∈α∩β.又∵α∩β=l，∴M∈l，即AB，CD，l共點(diǎn)B組1．有以下三個(gè)命題：①平面外的一條直線與這個(gè)平面最多有一個(gè)公共點(diǎn)；②直線l在平面α內(nèi)，可以用符號(hào)“l(fā)∈α”表示；③若平面α內(nèi)的一條直線a與平面β內(nèi)的一條直線b相交，則α與β相交，其中所有正確命題的序號(hào)是______________．解析：表示線與面的關(guān)系用“?”或“?”表示，故②錯(cuò)誤．答案：①③2．(2010年黃岡調(diào)研)下列命題中正確的是________．①若△ABC在平面α 外，它的三條邊所在的直線分別交α于P、Q、R，則P、Q、R三點(diǎn)共線；②若三條直線a、b、c互相平行且分別交直線l于A、B、C三點(diǎn)，則這四條直線共面；③空間中不共面的五個(gè)點(diǎn)一定能確定10個(gè)平面．解析：在①中，因?yàn)镻、Q、R三點(diǎn)既在平面ABC上，又在平面α上，所以這三點(diǎn)必在平面ABC與α的交線上，即P、Q、R三點(diǎn)共線，故①正確；在②中，因?yàn)閍∥b，所以a與b確定一個(gè)平面α，而l上有A、B兩點(diǎn)在該平面上，所以l?α，即a、b、l三線共面于α；同理a、c、l三線也共面，不妨設(shè)為β，而α、β有兩條公共的直線a、l，∴α與β重合，即這些直線共面，故②正確；在③中，不妨設(shè)其中有四點(diǎn)共面，則它們最多只能確定7個(gè)平面，故③錯(cuò)．答案：①②3．對(duì)于空間三條直線，有下列四個(gè)條件：①三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)②三條直線兩兩平行③三條直線共點(diǎn)④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交其中使三條直線共面的充分條件有：________.解析：易知①中的三條直線一定共面，④中兩條直線平行可確定一個(gè)平面，第三條直線和這兩條直線相交于兩點(diǎn)，則第三條直線也在這個(gè)平面內(nèi)，故三條直線共面．答案：①④4．(2008年高考浙江卷改編)對(duì)兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面α，使得________．①a?α，b?α②a?α，b∥α③a⊥α，b⊥α④a?α，b⊥α解析：不相交的直線a、b的位置有兩種：平行或異面．當(dāng)a、b異面時(shí)，不存在平面α滿足①、③；又只有當(dāng)a⊥b時(shí)④才成立．答案：②5．正方體AC1中，E、F分別是線段C1D、BC的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是________．解析：直線AB與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交．答案：相交6．(2010年湖南郴州調(diào)研)設(shè)α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，l是直線，給出下列四個(gè)命題：①若α⊥β，l⊥β，則l∥α；②若l⊥α，l∥β，則α⊥β；③若l上有兩點(diǎn)到α的距離相等，則l∥α；④若α⊥β，α∥γ，則γ⊥β.其中正確命題的序號(hào)是________．解析：①錯(cuò)誤，l可能在平面α內(nèi)；②正確，l∥β，l?γ，β∩γ＝n?l∥n?n⊥α，則α⊥β；③錯(cuò)誤，直線可能與平面相交；④正確．故填②④.答案：②④7．(2009年高考廣東卷改編)給定下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直．其中，為真命題的是________．解析：當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線可以平行于另一個(gè)平面，故①不對(duì)；由平面與平面垂直的判定定理可知②正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以平行，相交也可以異面，故③不對(duì)；若兩個(gè)平面垂直，只有在一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平面垂直，故④正確．答案：②④8．(2009年高考寧夏、海南卷改編)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝eq\f(\r(2),2)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是________．①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③三棱錐A－BEF的體積為定值④異面直線AE，BF所成的角為定值解析：∵AC⊥平面BB1D1D，又BE?平面BB1D1D，∴AC⊥BE.故①正確．∵B1D1∥平面ABCD，又E、F在直線D1B1上運(yùn)動(dòng)，∴EF∥平面ABCD.故②正確．③中由于點(diǎn)B到直線B1D1的距離不變，故△BEF的面積為定值．又點(diǎn)A到平面BEF的距離為eq\f(\r(2),2)，故VA－BEF為定值．當(dāng)點(diǎn)E在D1處，F(xiàn)為D1B1的中點(diǎn)時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(1,0,1)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1)).∴Aeq\o(E,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，Beq\o(F,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，1)，∴Aeq\o(E,\s\up6(→))·Beq\o(F,\s\up6(→))＝eq\f(3,2).又|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(6),2)，∴cos〈Aeq\o(E,\s\up6(→))，Beq\o(F,\s\up6(→))〉＝eq\f(\f(3,2),\f(\r(2)·\r(6),2))＝eq\f(\r(3),2)，∴AE與BF成30°角．當(dāng)E為D1B1中點(diǎn)，F(xiàn)在B1處時(shí)，此時(shí)Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，F(xiàn)(0,1,1)，∴Aeq\o(E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，Beq\o(F,\s\up6(→))＝(0,0,1)，∴Aeq\o(E,\s\up6(→))·Beq\o(F,\s\up6(→))＝1，|Aeq\o(E,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(3,2))，∴cos〈Aeq\o(E,\s\up6(→))，Beq\o(F,\s\up6(→))〉＝eq\r(\f(2,3))＝eq\f(\r(6),3)≠eq\f(\r(3),2).故④錯(cuò)．答案：④9.(2008年高考陜西卷改編)如圖，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距離分別是a和b，AB與α、β所成的角分別是θ和φ，AB在α、β內(nèi)的射影分別是m和n.若a＞b，則θ與φ的大小關(guān)系為_(kāi)_____，m與n的大小關(guān)系為_(kāi)_____.解析：AB與β成的角為∠ABC＝φ，AB與α成的角為∠BAD＝θ，sinφ＝sin∠ABC＝eq\f(a,|AB|)，sinθ＝sin∠BAD＝eq\f(b,|AB|).∵a>b，∴sinφ>sinθ.∴θ<φ.AB在α內(nèi)的射影AD＝eq\r(AB2－b2)，AB在β內(nèi)的射影BC＝eq\r(AB2－a2)，∴AD.BC，即m>n.答案：θ＜φm＞n10．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為D1C1、B1C1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，試確定R點(diǎn)的位置．解：在正方體AC1中，連結(jié)PQ，∵Q∈A1C1，∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF，∴Q∈平面BDEF，即Q是平面A1C1CA與平面BDEF的公共點(diǎn)，同理，P也是平面A1C1CA與平面BDEF的公共點(diǎn)．∴平面A1C1CA∩平面BDEF＝PQ.又A1C∩平面BDEF＝R，∴R∈A1C，∴R∈平面A1C1CA，R∈平面BDEF.∴R是A1C與PQ的交點(diǎn)．如圖．11．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為AB的中點(diǎn)，N為BB1的中點(diǎn)，O為平面BCC1B1的中心．(1)過(guò)O作一直線與AN交于P，與CM交于Q(只寫(xiě)作法，不必證明)；(2)求PQ的長(zhǎng)．解：(1)連結(jié)ON，由ON∥AD知，AD與ON確定一個(gè)平面α.又O、C、M三點(diǎn)確定一個(gè)平面β(如圖所示)．∵三個(gè)平面α，β和ABCD兩兩相交，有三條交線OP、CM、DA，其中交線DA與交線CM不平行且共面．∴DA與CM必相交，記交點(diǎn)為Q，∴OQ是α與β的交線．連結(jié)OQ與AN交于P，與CM交于Q，故直線OPQ即為所求作的直線．(2)在Rt△APQ中，易知AQ＝1，又易知△APQ∽△OPN，∴eq\f(AP,PN)＝eq\f(AQ,NO)＝2，AN＝eq\f(\r(5),2)，∴AP＝eq\f(\r(5),3)，∴PQ＝eq\r(AQ2＋AP2)＝eq\f(\r(14),3).12．(2008年高考四川卷)如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？(3)設(shè)AB＝BE，證明：平面ADE⊥平面CDE.解：(1)證明：由題設(shè)知，F(xiàn)G＝GA，F(xiàn)H＝HD，所以GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(1,2)AD，故GH綊BC.所以四邊形BCHG是平行四邊形．(2)C、D、F、E四點(diǎn)共面．理由如下：由BE綊eq\f(1,2)AF，G是FA的中點(diǎn)知，BE