2024年人教版初中數(shù)學八年級下冊-眾數(shù)的概念-1教案

教案教學基本信息課題眾數(shù)的概念學科數(shù)學學段：第三學段年級八年級教材書名：八年級下冊數(shù)學出版社：人民教育出版社出版出版日期：教學目標及教學重點、難點教學目標：1.了解并掌握眾數(shù)的概念,體會其優(yōu)勢和研究必要性.2.感受眾數(shù)在實際情境中的意義,能應用其解決簡單問題.3.在解決問題的過程中培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念和數(shù)學運算能力.教學重點：眾數(shù)的概念及特點.教學難點：眾數(shù)在實際問題中的意義及簡單應用教學過程(表格描述)教學環(huán)節(jié)主要教學活動設置意圖引入【引言】在前幾節(jié)課中,我們學習了兩個重要的統(tǒng)計量—平均數(shù)和中位數(shù).平均數(shù)是能代表一組數(shù)據(jù)平均水平的量.而中位數(shù)更加關注的是位置關系.這兩個統(tǒng)計量都可以用來刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.在學習中位數(shù)時,我們幫助小林解開了他在應聘某家公司時,對其薪酬水平的疑惑.現(xiàn)在,小龍也去了同一家公司進行應聘,他又碰到了什么新的問題呢？【問題】小龍在應聘一家公司時想要了解其員工的薪酬水平.一位主管稱全公司所有員工工資的平均數(shù)為9200元,中位數(shù)為6000元.小龍看到這兩個數(shù)據(jù)很滿意,認為自己應聘的最普通崗位薪酬也不會太差,可看完合同卻發(fā)現(xiàn)實際工資僅有4000元.他又詢問了公司的幾位職員,發(fā)現(xiàn)他們的薪酬也都是4000元.小林覺得很奇怪,懷疑是那位主管提供了虛假的信息,可這位主管又拿出了公司員工的具體薪酬分布表格.分析表格的意義,第一行是數(shù)據(jù),第二行是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù).數(shù)據(jù)的總個數(shù)為1+1+1+3+6+1+11+1=25.求平均數(shù)：中位數(shù)應是從大到小排列后,第13個數(shù)據(jù).即中位數(shù)為6000.由此發(fā)現(xiàn),公司主管所給出的數(shù)據(jù)的確屬實.由于前面幾檔工資和后面的差異非常大,這樣的極端值影響了平均數(shù)對這組數(shù)據(jù)的代表性.而中位數(shù)雖然給出了位于最中間位置的參考值,但對于其前、后數(shù)據(jù)的具體大小并沒有太大的參考性.那么,對于想要應聘最普通崗位的小林來說,有沒有更加適合的統(tǒng)計量去幫助他了解相應的薪酬水平呢？通過一個具體問題,幫助學生感受平均數(shù)容易被極端值所影響的局限性和中位數(shù)更關注位置,對其前后數(shù)據(jù)的大小參考性小的特點.由此引出學習和使用其他統(tǒng)計量的必要性.同時,培養(yǎng)學生在統(tǒng)計表中分析和提取信息的能力.新課【眾數(shù)的概念講解】給出如下的一組數(shù)據(jù)：1,3,3,4,9,5,10,3,4,7,6,3,4.觀察后容易發(fā)現(xiàn),這里面有一些重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù).比如3出現(xiàn)了4次,4出現(xiàn)了3次.其他的數(shù)據(jù)1,9,5,10,7,6都各是1次.我們把一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).在這組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是3,即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3.將數(shù)據(jù)進行一下變化,得到：1,3,3,4,9,4,10,3,4,7,6,3,4.此時,3出現(xiàn)了4次,4也出現(xiàn)了4次,其他的數(shù)據(jù)依然只出現(xiàn)1次.3和4出現(xiàn)的次數(shù)一樣多,且比其他的數(shù)據(jù)都要多.此時,我們就說這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3和4.需注意：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能是不唯一的.再將數(shù)據(jù)進行一下變化,得到：2,3,3,4,9,4,13,3,4,7,6,3,4.易得,這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3和4.和上面的例子相同.改變了部分數(shù)據(jù),眾數(shù)卻沒有改變.這說明：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)只與其中部分數(shù)據(jù)有關.【眾數(shù)概念的簡單應用】下面通過幾道練習進一步熟悉眾數(shù)這個統(tǒng)計量.練習1.在某校組織的詩詞誦讀活動中,八年級（3）班40名學生“一周詩詞背誦數(shù)量”的數(shù)據(jù)如下圖所示．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______.解答：橫軸表示的是背誦的數(shù)量,也就是數(shù)據(jù).而縱軸表示的是背誦了相應數(shù)量詩詞的人數(shù),也就是不同數(shù)據(jù)的個數(shù).由條形圖的高低容易看出,數(shù)據(jù)的個數(shù)最多的,也就是出現(xiàn)次數(shù)最多的是6首和8首,即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是6和8.這道練習再次提醒我們,眾數(shù)可能是不唯一的.練習2.一組數(shù)據(jù)20,30,m,30,40,50,20的眾數(shù)是30,則m的值為_______.解答：根據(jù)定義,眾數(shù)為30,就是說這組數(shù)據(jù)中,30出現(xiàn)的次數(shù)是最多的.除了未知數(shù)m之外,20出現(xiàn)的次數(shù)為2,30出現(xiàn)的次數(shù)目前也是2,而剩下的40,50各只有1個.那么,為了讓30成為唯一的眾數(shù),它出現(xiàn)的次數(shù)就必須比20多,所以m的值一定是30.練習3.有5個從小到大排列的正整數(shù),其中位數(shù)是3,唯一的眾數(shù)是7,則這5個數(shù)的和為_______.解答：中位數(shù)3是這組數(shù)據(jù)的最中間位置,即排好序后,5個數(shù)中的第3個.把它前面的2個位置和后面的2個位置先擺好.有唯一的眾數(shù)7,即7的個數(shù)肯定不會是1個,按從小到大的順序,7只能排在3右側.可知,右邊兩位置都是7.又由于眾數(shù)只有7,則左邊兩位置一定是不同的數(shù).按從小到大的順序為正整數(shù)1和2.因此這5個數(shù)確定是1,2,3,7,7,其和為20.在具體數(shù)據(jù)的例子中給出眾數(shù)的概念,便于學生理解.同時,通過幾組變化幫助學生體會一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)不一定是唯一的及其只與部分數(shù)據(jù)有關的特點.通過幾個簡單例子對中位數(shù)的概念及求法進行鞏固,便于學生落實掌握.例題【例1】例1.有一家鞋店在一段時間內銷售了某種籃球鞋50雙,其中各個尺碼分別的銷售量如下表所示:（1）你能根據(jù)表中的數(shù)據(jù)為這家鞋店提供合理的進貨建議嗎？解答：關于進貨的建議指的是對商家的建議,那么商家最關心的是什么呢？是來買鞋顧客尺寸的平均水平？還是這些顧客尺寸大小的排序和位置關系？又或者是哪個尺寸的鞋賣的最多呢？顯然,商家更為關心鞋的銷量.因此,在平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這三個統(tǒng)計量中,選擇眾數(shù)去進行分析,是更為合適的.分析表格,第一行的尺碼是關心的數(shù)據(jù).第二行銷售量則是每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù).根據(jù)定義,眾數(shù)指的是所有數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最多的數(shù)據(jù).從第二行易看出,最多的次數(shù)是18,而它所對應的數(shù)據(jù)為25.5.即25.5是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).在這個情境中,它表示的是在該鞋店銷售的50雙該種籃球鞋中,尺碼為25.5的銷售量最大.銷售量大意味著需求量可能也比較大,基于這個分析結果可以給出適當多進25.5cm的鞋的建議.（2）這家店又統(tǒng)計了一段時間內50雙女鞋的銷售情況,各種尺碼的銷售量如下表所示：分析表格后得到,這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為24.于是他們效仿前面的做法建議多進24cm的女鞋,卻發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了一定的滯銷,這是怎么回事呢？解答：對比籃球鞋和女鞋的銷售數(shù)據(jù)后不難發(fā)現(xiàn),籃球鞋的尺碼數(shù)據(jù)中,眾數(shù)25.5出現(xiàn)的次數(shù)18,相比于其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)而言,有明顯的優(yōu)勢.因此,這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)代表性也較強,基于它所給出的建議比較合理.而女鞋的尺碼數(shù)據(jù),雖然24是它的眾數(shù),但其出現(xiàn)次數(shù)11次,與其他數(shù)據(jù)如23出現(xiàn)的10次,23.5出現(xiàn)的10次和24.5出現(xiàn)的9次等差距較小,并沒有明顯的數(shù)量優(yōu)勢.因此,這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)對整組數(shù)據(jù)的代表性并不太強,單純基于這個數(shù)去給出進貨建議也和實際情況有較大差距.無論選取怎樣的統(tǒng)計量,都只能從一些角度去描述數(shù)據(jù)的特征,而不是絕對的,對于數(shù)據(jù)的代表性也有強有弱,絕對不能脫離數(shù)據(jù)本身的特點而只靠統(tǒng)計量去進行判斷.【根據(jù)情境選擇統(tǒng)計量】（1）某商家為回饋客戶發(fā)放優(yōu)惠券10000張,各檔位優(yōu)惠金額的分布如下表所示.（2）八年級5班的12名女生身高數(shù)據(jù)（單位：cm）如下所示：152155156157160163164165165167170172解答：（1）眾數(shù)更合適.（2）根據(jù)需求和角度不同,平均數(shù)、中位數(shù)均可.但眾數(shù)的代表性不強.【例2】例2.某校射箭隊有三名種子選手,下面是他們在一次練習賽上20箭后的成績統(tǒng)計情況：（1）你認為誰的成績更理想？解答：先分析統(tǒng)計圖,橫軸為成績,即關心的數(shù)據(jù).縱軸是每個成績出現(xiàn)的次數(shù),即數(shù)據(jù)的個數(shù).縱覽三個圖易看出,在20支箭的比賽中,小劉同學成績的眾數(shù)為10環(huán),且這個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)為14次,占了很大的比重.同時,他還沒有一次打出一次6環(huán)或是7環(huán)的低分.即便沒有計算其他的統(tǒng)計量,也可以從數(shù)據(jù)的直觀特征得到小劉呈現(xiàn)出明顯優(yōu)勢這一結論.（2）小金和小高誰的發(fā)揮更好？解答：從統(tǒng)計圖來看,小金的數(shù)據(jù)是“兩邊高中間低”,而小高的數(shù)據(jù)是“中間高,兩邊低”.不能再從直觀明顯去判斷兩人水平,需要計算各統(tǒng)計量.為方便提取和計算,將統(tǒng)計圖所給出的數(shù)據(jù)信息轉化為統(tǒng)計表,得到：通過計算,兩人成績的平均數(shù)均為8.15,而中位數(shù)均為8,并沒有比出高低.小金成績的眾數(shù)為10,而小高成績的眾數(shù)為8,是否這樣就可以說小金的成績一定比小高更好呢？由具體數(shù)據(jù)可看出,小金打10環(huán)有8次,可他也有6次6環(huán).小高沒有6環(huán)低分,大部分成績都集中在8環(huán),可他打出10環(huán)卻僅有2次.兩人的數(shù)據(jù)特點鮮明,各有優(yōu)勢劣勢.不能用眾數(shù)去進行簡單的比大小.（3）你能給小金和小高的訓練提出合理建議嗎？解答：小金“兩頭高中間低”的成績分布,說明他具備得高分的能力,但發(fā)揮不穩(wěn)定,水平失常次數(shù)較多.可建議多鞏固技術動作,鍛煉心理素質,提高發(fā)揮的穩(wěn)定性.而小高中間高兩邊低的成績分布,說明他水平基本穩(wěn)定在中等的8環(huán)水平,低分失誤較少,可得高分次數(shù)也較少.可建議他再精煉技術,提高水平,使得自己能向更優(yōu)秀的方向前進.【對引入部分問題的解答】通過本節(jié)課的學習不難想到,小龍想要應聘最普通的崗位,而一個公司中最普通崗位職員的數(shù)量往往是最多的.比起容易被極端值影響的平均數(shù)和只關注了位置關系的中位數(shù)而言,小龍更應去了解的是所有數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的,也就是眾數(shù).觀察表格易得,這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是4000.顯然,這和小龍拿到的實際工資就十分吻合了.通過本道例題鞏固求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的基本方法.同時,幫助學生感受用眾數(shù)去描述一組數(shù)據(jù)的代表性強弱,與該數(shù)據(jù)占整組數(shù)據(jù)比例的大小有關.明確不管用什么統(tǒng)計量去描述數(shù)據(jù),都不能脫離數(shù)據(jù)本身的特點.通過幾個具體情境,幫助學生體會根據(jù)需要選擇統(tǒng)計量的重要性.培養(yǎng)學生閱讀統(tǒng)計圖,從圖中分析和提取信息的能力.經歷求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的過程,明確根據(jù)情境與需求,可以從不同的角度選取不同的統(tǒng)計量對數(shù)據(jù)進行分析.同時,進一步理解用統(tǒng)計量去描述數(shù)據(jù)的結論并不是絕對的,不能脫離數(shù)據(jù)本身的特點.呼應本節(jié)課開篇的問題,感受眾數(shù)是更適合描述這個問題中普通薪酬水平的統(tǒng)計量.體會學習眾數(shù)的作用與優(yōu)