4.2.2 等差數(shù)列的前n項和公式（同步練習(xí)）（含解析）-【一堂好課】2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步名師重點課堂（人教A版2019選擇性必修第二冊）

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）A．18 B．27 C．36 D．92．已知{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，則n＝（

）A．6 B．7 C．8 D．93．?dāng)?shù)列{an}滿足，且，，是數(shù)列的前n項和，則（

）A． B． C． D．4．南宋數(shù)學(xué)家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)中前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，2，5，10，17，26，37，則該數(shù)列的第19項為（

）A．290 B．325 C．362 D．3995．已知各項為正的數(shù)列的前n項和為，滿足，則的最小值為（）A．4 B．3 C．22 D．二、多選題6．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則（）A．在數(shù)列中，最大B．在數(shù)列中，或最大C．

D．當(dāng)時，7．已知是數(shù)列的前項和，，則（

）A．B．C．當(dāng)時，D．當(dāng)數(shù)列單調(diào)遞增時，的取值范圍是8．古希臘人十分重視數(shù)學(xué)與邏輯，閑暇之余喜歡在沙灘上玩數(shù)字游戲，如圖，古希臘學(xué)者用石頭擺出三角形圖案，第1行有1顆石頭，第2行有2顆，以此類推，第行有顆，第行第顆石頭記為表示從第1行第1顆至第行第顆石頭的總數(shù)，設(shè)，則（

）A． B．C． D．三、填空題9．若等差數(shù)列，的前項和分別為，，滿足，則_______.10．已知一個等差數(shù)列的前四項和為21，末四項和為67，前項和為77，則項數(shù)的值為___________.11．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則___________.四、解答題12．已知為數(shù)列的前項和，且（，為常數(shù)），若，．求：(1)數(shù)列的通項公式；(2)的最值．13．已知一個等差數(shù)列的前4項和為32，前8項和為56．(1)求、的值；(2)通過計算觀察，尋找、、、之間的關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？(3)根據(jù)上述結(jié)論，請你歸納出對于等差數(shù)列而言的一般結(jié)論，并證明．14．已知數(shù)列中，，（，），數(shù)列滿足．(1)證明是等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)求；(3)求數(shù)列中的最大項和最小項，并說明理由．參考答案：1．A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算出，利用等差數(shù)列求和公式求出答案.【詳解】因為是等差數(shù)列，所以，解得：，所以.故選：A2．C【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項和公式進(jìn)行求解.【詳解】因為{an}為等差數(shù)列，a1＝1，a3＝5，所以公差，又Sn＝64，所以，解得n＝8(負(fù)值舍去)．故A，B，D錯誤.故選：C.3．B【分析】根據(jù)遞推公式得到數(shù)列是等差數(shù)列，進(jìn)而求出公差和通項公式，求出，得到答案.【詳解】數(shù)列滿足，則數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為.因為，所以，即.所以，所以，，，所以，.故選：B4．B【分析】先由條件判斷該高階等差數(shù)列為逐項差數(shù)之差成等差數(shù)列，進(jìn)而得到，再利用累加法求得，進(jìn)而可求得.【詳解】設(shè)該數(shù)列為，則由，，，，…可知該數(shù)列逐項差數(shù)之差成等差數(shù)列，首項為1，公差為2，故，故，則，，，…，，上式相加，得，即，故.故選：B.5．A【分析】由數(shù)列的遞推式可得，繼而結(jié)合求出，從而求得，由此求出的表達(dá)式，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】各項為正的數(shù)列,,∵，∴，∴時，，化為：，∵,又，解得．∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項為1，公差為2．∴,∴,∴,，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時取等號,∴的最小值為4．故選：A．6．AD【分析】根據(jù)，且，可推出，，故，可判斷AD正確，B錯誤，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷，判斷C.【詳解】為等差數(shù)列，∵，且，∴，即，∴{an}是遞減等差數(shù)列，最大，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故AD正確，B錯誤，，則，故C錯誤，故選：AD．7．ACD【分析】A選項，根據(jù)，得到，A正確；與得到，當(dāng)時，不成立，B錯誤；當(dāng)時，得到為奇數(shù)時為等差數(shù)列，為偶數(shù)時也是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式得到答案；D選項，方法一：根據(jù)，，，依次類推可知；方法二：寫出，，根據(jù)且求出答案.【詳解】，①時，，②①－②，，A正確；當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，∴，時，不滿足條件，B錯誤；時,因為，所以，則，滿足，故此時①，又②，兩式相減得：，為奇數(shù)時是首項為0，公差為2的等差數(shù)列，共25項；為偶數(shù)時是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，共25項，所以，C正確；是單調(diào)遞增數(shù)列，∴，即，即；，即，即；，即，即，即，，即，依次類推可知，D正確.對于D，法二：由，，要使單調(diào)遞增，則必有且，∴且，D正確，故選：ACD.【點睛】數(shù)列單調(diào)性問題或不等式問題，要充分挖掘題干條件，通常由遞推公式求通項公式，或研究出數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列或等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解.8．ABD【分析】分析題意，可求得的表達(dá)式，從而得的表達(dá)式，逐項驗證即可.【詳解】解：由題意可知，，故B正確；，所以，故A正確；，故D正確；所以，故C不正確．故選：ABD.9．【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及等差數(shù)列前項和公式計算可得；【詳解】解：依題意可得；故答案為：10．7【分析】先利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件可求出的值，再利用等差數(shù)列的求和公式列方程可求出項數(shù)的值.【詳解】因為等差數(shù)列的前四項和為21，末四項和為67，所以，所以，所以，因為等差數(shù)列的前項和為77，所以，解得，故答案為：711．【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，求出的值，可求得的值，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，所以，，故，所以，.故答案為：.12．(1)或(2)答案見解析【分析】（1）利用可求得；利用可求得或；利用或可求得公差，進(jìn)而得到等差數(shù)列通項公式；（2）利用等差數(shù)列求和公式表示出，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最值.（1），；，或；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；綜上所述：或.（2）當(dāng)時，，則，；無最大值；當(dāng)時，，則；則當(dāng)或時，取得最大值，無最小值.13．(1)，(2)，，，成等差數(shù)列．(3)已知是等差數(shù)列，前n項和為，則，，，…，，…成等差數(shù)列；證明見解析．【分析】（1）設(shè)公差為，由等差數(shù)列前項和公式列方程組求得和，再計算出，；（2）由（1）求出，，，后可得結(jié)論；（3）根據(jù)等差數(shù)列的定義證明．（1）設(shè)公差為，則，解得，，；（2）由（1）得，，，，所以，，，成等差數(shù)列；（3）設(shè)公差為，則，同理，所以為常數(shù)，所以，，，…，，…成等差數(shù)列．14．(1)證明見解析；(2)①時，=；②時(3)，；理由見解析【分析】（1）根據(jù)，代入證明為常數(shù)即可；（2）由（1）可得，再分與兩種情況，去絕對值后求和即可；（3）由（1）可得，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷中的最值即可.