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集合的概念
一個(gè)漁民非常喜歡數(shù)學(xué),但他怎么也想不明白集合的定義。于是,他請(qǐng)教數(shù)學(xué)家:“尊敬的先生,請(qǐng)告訴我,什么是集合?”然而集合是不加定義的概念,數(shù)學(xué)家很難回答那位漁民。但是有一天,數(shù)學(xué)家來(lái)到漁民的船上,看到漁民撒下漁網(wǎng),輕輕一拉,許多魚(yú)蝦在網(wǎng)中跳動(dòng)。他非常激動(dòng),高興地告訴漁民:“這就是集合!”你能理解數(shù)學(xué)家的話嗎?茫茫的草原上,一群在悠閑走動(dòng)的象清清的湖水中,一群在歡快飛翔的鳥(niǎo)碧綠的草坪上,一群獲得優(yōu)秀連隊(duì)稱號(hào)的學(xué)生教官。
一般地,我們把研究的對(duì)象統(tǒng)稱元素,把一些元素組成的總體叫做集合(SET)簡(jiǎn)稱“集”.1.集合的概念:初中時(shí)學(xué)習(xí)了哪些集合?數(shù)集:自然數(shù)的集合,有理數(shù)的集合,不等式x-7<3的解的集合;點(diǎn)集:圓:到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合;線段垂直平分線:到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合;溫故知新探討以下問(wèn)題:(2){1,2,2,3}是含1個(gè)1,2個(gè)2,1個(gè)3的四個(gè)元素的集合嗎?(4)我們班較胖的能構(gòu)成一個(gè)集合嗎?(6){a,b,c,d}和{b,c,d,a}是不是表示同一個(gè)集合?(5)“中國(guó)的直轄市”能構(gòu)成一個(gè)集合嗎?寫(xiě)出該集合的元素。(3)“book中的字母”構(gòu)成一個(gè)集合,寫(xiě)出該集合的元素。(1)“young中的字母”構(gòu)成一個(gè)集合,寫(xiě)出該集合的元素。問(wèn):從上述問(wèn)題中你能概括出集合中元素的特性嗎?給定集合中的元素的順序是隨便的,沒(méi)有先后順序的.2、集合中元素的特性(1)確定性:(2)互異性:給定集合中的元素是互不相同的,集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.(3)無(wú)序性:按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)給定一個(gè)元素或者在這個(gè)集合里,或者不在,不能模棱兩可。BD
集合常用大寫(xiě)字母表示,如A,B,C等,元素常用小寫(xiě)字母表示,如a,b,c等.3.集合的表示:重要的數(shù)集:N:自然數(shù)集(含0)N+或N*:正整數(shù)集(不含0)Z:整數(shù)集Q:有理數(shù)集R:實(shí)數(shù)集
如果a是集合A的元素,就說(shuō)a屬于集合A,記作a∈A.
如果a不是集合A的元素,就說(shuō)a不屬于集合A,記作a
A.4.集合與元素的關(guān)系:例如:2∈Z,2.5
Z
1.用符號(hào)“∈”或“”填空
(1)3.14Q(2)Q(3)0N+(4)(-2)0N+
(5)Q(6)R練習(xí)有限集(finiteset):含有有限個(gè)元素的集合。無(wú)限集(infiniteset):含有無(wú)限個(gè)元素的集合。5.集合的分類:空集(emptyset):不含任何元素的集合。記作6.集合的表示方法:
如“地球上的四大洋”組成的集合可表示為{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}①列舉法:把集合的元素一一列舉從來(lái),并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法。知識(shí)探究(一)思考1:這兩個(gè)集合分別有哪些元素?
考察下列集合:(1)小于5的所有自然數(shù)組成的集合;(2)方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合.(1)0,1,2,3,4;(2)-1,0,1思考2:由上述兩組數(shù)組成的集合可分別怎樣表示?
(1){0,1,2,3,4};(2){-1,0,1}
象這樣把集合中的元素一一列舉出來(lái),并用花括號(hào)“{}”括起來(lái),表示集合的方法叫做列舉法即知識(shí)探究(二)
考察下列集合:(1)不等式的解組成的集合;(2)絕對(duì)值小于2的實(shí)數(shù)組成的集合.思考1:這兩個(gè)集合能否用列舉法表示?思考2:如何用數(shù)學(xué)式子描述上述兩個(gè)集合的元素特征?
(1)R,且;(2)R,且思考3:上述兩個(gè)集合可分別怎樣表示?
(1){R|};(2){R|}
用集合所含元素的共同特性表示集合的方法稱為描述法。具體方法是:{P|P所具有的性質(zhì)}問(wèn)題:用描述法如何來(lái)表示上述兩個(gè)集合呢?理論遷移
例1用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?)絕對(duì)值小于3的所有整數(shù)組成的集合;(2)所有奇數(shù)組成的集合;{-2,-1,0,1,2}或偶數(shù)集呢?
一般,列舉法適用于有限集,而且所含元素的個(gè)數(shù)不多;描述法適用于無(wú)限集。討論:應(yīng)如何根據(jù)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)募媳硎痉椒ǎ坷?用列舉法表示下列集合:(1);(2).(1){-1,1,2,4,5,7};(2){(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}
例3設(shè)集合,已知,求實(shí)數(shù)的值.
1或-4
例4已知集合A={1,2,3},B={1,2},設(shè)集合C=,試用列舉法表示集合C.C={-1,0,1,2}
例5、已知集合A={x|ax2-x+2=0},a∈R.(1)若A中有一個(gè)元素是1,則另一個(gè)元素是什么?(2)若A中只有一個(gè)元素,求a的值.變式:由正整數(shù)組成的集合S滿足:(1)試寫(xiě)出只有一個(gè)元素的集合S;(2)試寫(xiě)出全部只有2個(gè)元素的集合S;(3)試寫(xiě)出滿足上述條件的所有集合S,共幾個(gè)?S={1,5},{2,4}
S={3}
{1,5},{2,4}
S={3}
{1,3,5},{2,3,4}
{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}
復(fù)習(xí)回顧:1.集合有哪兩種表示方法?列舉法,描述法
2.元素與集合有哪幾種關(guān)系?屬于、不屬于
3.集合元素的性質(zhì):確定性,互異性,無(wú)序性;4.常用數(shù)集的表示方法:如偶數(shù)集、奇數(shù)集,被3除余1的數(shù)等R,Q,N,Z,
空集:我們把不含任何元素的集合叫做空集.注意區(qū)別:這個(gè)例題強(qiáng)調(diào)了什么?變式:區(qū)別下列集合(4)直線y=x+3與y=-2x+6的交點(diǎn)所組成的集合;(5)在第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)所組成的集合;例2.拓展提高變式:設(shè)由4的整數(shù)倍再加2的所有實(shí)數(shù)構(gòu)成
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