浙江省寧波三鋒聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波三鋒聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線過點(diǎn)，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題可得：，所以直線的傾斜角為：；故選：C2.直線：與直線：的距離是（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】直線：化為，又直線：，所以，所以直線與直線的距離是.故選：A.3.“”是“曲線表示橢圓”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)榍€為橢圓，所以，解得且，所以“”是“且”的必要而不充分條件.故選：B4.如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題可知，故選：A5.在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，三線兩兩垂直，所以可建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則A0,0,0，．∴．∴．異面直線與所成角的余弦值為．故選：C．6.已知點(diǎn)，，，圓，一條光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)直線反射到圓上的最短路程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線方程為，即，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，故，圓心為，半徑為，故，因此過經(jīng)過反射在處，由于，故光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)直線反射到圓上的最短路程為，故選：B7.已知直線：與圓：，過直線上的任意一點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為A，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑為1，則圓心到直線的距離為，可知直線與圓相離，因?yàn)椋?，?dāng)OP最小時(shí)，則最大，可得最大，即最大，又因?yàn)镺P的最小值即為圓心到直線的距離為，此時(shí)，所以取得最大值．故選：C．8.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是,,過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，如下圖所示：由橢圓定義，以及已知條件，可得：，在和中，由余弦定理可得：，代值整理可得：，，則離心率.故選：B.二、選擇題：本題共三小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．9.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓C上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的周長(zhǎng)為10 B.面積的最大值為C.橢圓C的焦距為6 D.橢圓C的離心率為【答案】AB【解析】對(duì)A，因?yàn)闄E圓C：，的周長(zhǎng)為，故A正確；對(duì)B，因?yàn)椋娣e最大時(shí)高最大，為，所以面積的最大值為，故B正確；對(duì)C，橢圓C的焦距為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，橢圓C的離心率為，故D錯(cuò)誤；故選：AB10.已知圓與圓交于，兩點(diǎn)，則（）A.兩圓的公切線有2條B.直線方程為C.D.動(dòng)點(diǎn)在圓上，則的最大值為【答案】ABD【解析】由題意可知，，故，故兩圓相交，公切線有2條，A正確，與圓相減可得，故直線方程為，B正確，到直線的距離為，故，故C錯(cuò)誤，可看作是圓上的一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，故最大值為，D正確，故選：ABD11.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)，在四邊形所在的平面內(nèi)，若，，則下述結(jié)論正確的是（）A.二面角的平面角的正切值為2B.C.點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】BCD【解析】對(duì)于A,連接相交于，連接,由于且，故因此為二面角的平面角，故,故A錯(cuò)誤，對(duì)于C：在正方體中，平面，平面，所以，故，則有，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于B：在正方體中，平面平面，且兩平面交線為,平面，故平面，因?yàn)?，則平面，故在上，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡是線段，設(shè)，則,,，則,0,，,0,，,0,，,2,，,，則,,，,故，進(jìn)而可得，故，B正確，又,0,，,2,，,,，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,,，則有，即，令，則，，故平面的一個(gè)法向量為,1,，設(shè)與平面所成的角為，則,，當(dāng)時(shí)，有最大值，故與平面所成角的正弦值的最大值，故D正確．故選：BCD．非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.，，，則________．【答案】【解析】，解得，故，故答案為：13.已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，空間中一點(diǎn)滿足，其中，，，且.則的最小值______．【答案】【解析】由，且，可知與，，共面，則的最小值為三棱錐的高，設(shè)為在平面上的射影，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，所以，所以，所以三棱錐的高為．故答案為：14.已知點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn),Q是圓上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)，則|PQ|－|PM|的最大值為______.【答案】6【解析】如圖所示：由，得，則，所以橢圓的左，右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則圓的圓心為橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的定義得，所以，又，所以，，故答案為：6.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫成文字說(shuō)明，證明過程或驗(yàn)算步驟．15.已知直線經(jīng)過點(diǎn)．（1）若與直線：垂直，求的方程；（2）若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的方程．解：（1）由題可知，的斜率為，設(shè)的斜率為，因?yàn)?，所以，則，又經(jīng)過點(diǎn)，所以的方程為，即；（2）若在兩坐標(biāo)軸上的截距為0，即經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)的方程為，將代入解析式得，解得，故的方程為，若在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0，則設(shè)的方程為，由，得，故的方程為，綜上，的方程為或.16.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)圓上運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）已知點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡方程．解：（1）由題意可知：圓的圓心，半徑，則圓心到直線的距離，可得，解得.（2）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)，且為的中點(diǎn)，則，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.17.在直三棱柱中,D、E分別是、的中點(diǎn),，，.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)E到平面的距離.解：（1）因?yàn)闉橹比庵瑒t平面，且，以的原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，且，分別是，的中點(diǎn)，則，所以,，設(shè)平面的法向量為，則，則，取，則，則平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槠矫妫?，則平面.（2）由（1）可知，平面的一個(gè)法向量為，且，則點(diǎn)到平面的距離.18.如圖，已知等腰梯形中，，，是的中點(diǎn)，，將沿著翻折成，使平面平面.(1)求證：平面；(2)求與平面所成的角；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.解：(1)因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，故四邊形是菱形，從而，所以沿著翻折成后，，,又因?yàn)椋云矫?，由題意，易知，，所以四邊形是平行四邊形，故，所以平面；(2)因?yàn)槠矫妫耘c平面所成的角為，由已知條件，可知，，所以是正三角形，所以，所以與平面所成的角為30°；(3)假設(shè)線段上是存在點(diǎn)，使得平面，過點(diǎn)作交于，連結(jié)，，如下圖：所以，所以，，，四點(diǎn)共面，又因?yàn)槠矫妫?，所以四邊形為平行四邊形，故，所以為中點(diǎn)，故在線段上存在點(diǎn)，使得平面，且.19.已知、分別為橢圓C:x2a2+y2b2（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn),過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，，求直線的方程．（3）若過橢圓上一點(diǎn)Px0,y0切線方程為，利用上述結(jié)論，設(shè)是從橢圓中心到橢圓在點(diǎn)處切線的距離，當(dāng)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷是否為定值．若是求出定值，若不是說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)，，，故，點(diǎn)在橢圓上，則，，故得，即解得，故橢圓的方程為