2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測專題12 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-函數(shù)的單調(diào)性問題5題型分類-備2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測（原卷版）

專題12導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的單調(diào)性問題5題型分類一、單調(diào)性基礎(chǔ)知識(shí)1、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù).2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題①若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；②若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減.二、討論單調(diào)區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）；（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）；（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo)）；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導(dǎo).（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段）；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；（3）恒正恒負(fù)先討論（變號部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；（5）導(dǎo)數(shù)圖象定區(qū)間；（一）利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖象原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號的關(guān)系，原函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）；原函數(shù)單調(diào)遞減導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）.題型1：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖象1-1．（天津市西青區(qū)為明學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)測數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖所示，則該函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．1-2．（天津市瑞景中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（

）A． B．C． D．1-3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個(gè)圖象中可能是圖象的是（

）A． B．C． D．1-4．（2024·陜西西安·一模）已知定義在上的函數(shù)的大致圖像如圖所示，是的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．（二）求單調(diào)區(qū)間1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：（1）求的定義域（2）求出.（3）令，求出其全部根，把全部的根在軸上標(biāo)出，穿針引線.（4）在定義域內(nèi)，令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.若一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個(gè)，則這些單調(diào)區(qū)間不能用“”、“或”連接，而應(yīng)用“和”、“，”隔開.2.導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)應(yīng)注意如下幾方面：（1）在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域；（2）不能隨意將函數(shù)的2個(gè)獨(dú)立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；（3）利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導(dǎo)函數(shù)的形式及圖象特點(diǎn)，如一次函數(shù)最值落在端點(diǎn)，開口向上的拋物線最大值落在端點(diǎn)，開口向下的拋物線最小值落在端點(diǎn)等.（2）已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號零點(diǎn)，通常用分離變量法求解參變量范圍.（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解.題型2：求單調(diào)區(qū)間2-1．（2024高三下·江西鷹潭·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．2-2．（2024高二下·湖北·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（

）A． B． C． D．2-3．（2024·上海靜安·二模）函數(shù)（）A．嚴(yán)格增函數(shù)B．在上是嚴(yán)格增函數(shù)，在上是嚴(yán)格減函數(shù)C．嚴(yán)格減函數(shù)D．在上是嚴(yán)格減函數(shù)，在上是嚴(yán)格增函數(shù)題型3：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍3-1．（2024·陜西西安·三模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3-2．（2024·山東濟(jì)寧·一模）若函數(shù)且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3-3．（2024·寧夏銀川·三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>13-4．（2024高三上·江蘇蘇州·期中）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3-5．（2024高三上·山西朔州·期中）已知函數(shù)（）在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．3-6．（2024高二下·天津和平·期中）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則（

）A．3 B． C．2 D．（三）函數(shù)單調(diào)性的討論1.確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開.2、關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的情況來作出選擇，通過對新函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論，從而得到原函數(shù)對應(yīng)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，最終判斷原函數(shù)的增減.（注意定義域的間斷情況）.3、需要求二階導(dǎo)的題目，往往通過二階導(dǎo)的正負(fù)來判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一階導(dǎo)函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值或零點(diǎn)可判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段.4、利用草稿圖象輔助說明.題型4：不含參數(shù)單調(diào)性討論4-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).試判斷函數(shù)在上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；4-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，若，求的單調(diào)區(qū)間.4-3．（2024·貴州·二模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論在上的單調(diào)性．題型5：含參數(shù)單調(diào)性討論5-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；5-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.5-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.5-4．（2024高二下·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性.5-5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.5-6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中，討論函數(shù)的單調(diào)性.5-7．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，討論的單調(diào)區(qū)間.5-8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).判斷函數(shù)的單調(diào)性.一、單選題1．（2024高三·全國·課后作業(yè)）函數(shù)（a、b為正數(shù)）的嚴(yán)格減區(qū)間是（

）．A． B．與C．與 D．2．（2024高二上·浙江·開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）三次函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024高三下·青海西寧·開學(xué)考試）已知函數(shù).若對任意，，且，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．（2024·全國）已知，則（

）A． B． C． D．8．（2024·全國）設(shè)，則（

）A． B． C． D．9．（2024高三上·河南·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A． B． C． D．10．（2024高三上·河南·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．11．（2024高二下·河南許昌·階段練習(xí)）函數(shù)在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)A． B． C． D．12．（2024·全國）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．13．（2024高二下·福建泉州·期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如下圖，那么的圖像可能是（）A． B．C． D．14．（2024高二下·河北邯鄲·期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．15．（2024·湖南）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是A．B．C．D．16．（2024·全國）函數(shù)的圖像大致為A． B．C． D．17．（2024高三上·陜西榆林·階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

18．（2024·全國）函數(shù)的圖像大致為()A． B．C． D．19．（2024高三上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)滿足：，則（

）A． B． C． D．20．（2024高二下·山東菏澤·期末）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．21．（2024高二上·湖南張家界·階段練習(xí)）設(shè)分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．22．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知在上是可導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）

A． B．C． D．23．（2024高三上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）若函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．24．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)，若，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)為奇函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)在上單調(diào)遞減25．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．26．（2024高二下·重慶·期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．27．（2024·甘肅蘭州·一模）已知是偶函數(shù)，在(－∞，0)上滿足恒成立，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．28．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，且，，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B． C． D．29．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．30．（2024高三·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知，，對，且，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．31．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)使（為常數(shù)）成立，則常數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題32．（2024高二上·山東濟(jì)寧·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)榍覍?dǎo)函數(shù)為，如圖是函數(shù)的圖像，則下列說法正確的是

A．函數(shù)的增區(qū)間是B．函數(shù)的增區(qū)間是C．是函數(shù)的極小值點(diǎn)D．是函數(shù)的極小值點(diǎn)33．（2024·湖北武漢·二模）函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．34．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．35．（2024高二下·廣東潮州·開學(xué)考試）已知函數(shù)，則（

）A．在單調(diào)遞增B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．曲線在點(diǎn)處切線的斜率為D．是奇函數(shù)36．（2024·河北·模擬預(yù)測）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈里奧特首次使用“<”和“>”符號，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若，則（

）A． B．C． D．37．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）當(dāng)且時(shí)，不等式恒成立，則自然數(shù)可能為（

）A．0 B．2 C．8 D．12三、填空題38．（2024高二下·四川眉山·階段練習(xí)）的單調(diào)遞減區(qū)間是.39．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為.40．（2024·四川雅安·模擬預(yù)測）給出兩個(gè)條件：①，；②當(dāng)時(shí)，（其中為的導(dǎo)函數(shù)）．請寫出同時(shí)滿足以上兩個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)．（寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)即可）41．（2024高三上·湖北黃岡·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集為．42．（2024·寧夏銀川·三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．四、解答題43．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)若，求a的取值范圍；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)性.44．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，判斷的單調(diào)性，并說明理由.45．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.46．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；47．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性.48．（2024高三·北京海淀·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，求；(2)求的單調(diào)區(qū)間．49．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，討論的單調(diào)性.50．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.51．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；52．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，討論的單調(diào)性.53．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.54．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中，討論函數(shù)的單調(diào)性.55．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知.（），討論的單調(diào)性.56．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，討論函數(shù)的單調(diào)性.57．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.58．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)（，且）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；59．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中，討論的單調(diào)性.60．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)，函數(shù)，討論在的單調(diào)性.61．（2024·北京）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．62．（陜西省咸陽市高新一中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù)的圖象與直線12x＋y－1＝0相切于點(diǎn)（1，－11）．(1)求a、b的值．(2)討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．63．