不等式易考點考向知識點總結分析,不等式高考真題及答案解析

考點24不等關系與一元二次不等式

1.不等關系

了解現實世界和日常生活中的不等關系，了解不等式（組）的實際背景.

2.一元二次不等式

（1）會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.

（2）通過函數圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系.

（3）會解■元二次不等式，對給定的■元二次不等式，會設計求解的程序框圖.

知識整合,

________/

一、不等關系

1.不等式的概念

（1）現實世界與日常生活中，與等量關系一樣，不等量關系也是自然界中存在著的基本

數量關系.

（2）用數學符號“>”“<”“2”“〈”連接兩個數或代數式以表示它們之間的不等關系，含

有這些不等號的式子，叫做不等式.

2.兩個實數大小的比較

（1）作差法：設a,beR,則,a<boa-b<0.

（2）作商法：設。>0,b>Q,貝a<b<^—<1.

bb

3.不等式的性質

（1）實數的大小順序與運算性質的關系

?a>b^>a-b>0-,

②a=boa-b=。；

?a<b<^a-b<0.

（2）不等式的性質

①對稱性：a>bob<a；（雙向性）

②傳遞性：a>b,6>cna>c；（單向性）

③可加性：a>b<^>a+c>b~\-c；（雙向性）

@a>b,c>d^>a-￥c>b+d\（單向性）

⑤可乘性：〃>Z?,c>O=〃c>Z?c；（單向性）a>b,c<O^ac<bc；（單向性）

@a>b>0,c>d>Onac>bd；（單向性）

⑦乘方法貝|J：Q>Z?>O=>Q〃N,〃21）;（單向性）

⑧開方法則：a>b>0=>y/a>y/b（nGN,論2）.（單向性）

注意：（1）應用傳遞性時，若兩個不等式中有一個帶等號而另一個不帶等號，則等號無

法傳遞.

（2）可乘性中，要特別注意“乘數"的符號.

4.必記結論

（1）a>b,ab>Q=^—<—.

ab

?、11

ab

（2b

（3）a>b>Qfl<c<d=>—>一.

cd

/、-111

（4）0<QVX<Z?a<x<Z?<On—<一<—.

bxa

hb+mhh—m

（5）若a>b>0,m>0,貝12V3—心0）；

aa+maa—m

aa+maa—m

—>-----；—<-----（/?-m>0）.

bb+mbb—m

二、一元二次不等式及其解法

1.一元二次不等式的概念

我們把只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式稱為一元二次不等式,

有下列三種形式：

（1）一般式：y-ax2+bx+c{a0）；

b—

（2）頂點式：y—u^xH---了H-------------（〃w0）；

2a4a

（3）兩根式：y=〃（九一王）（九一々Xiw°）?

2.三個“二次”之間的關系

判別式4=廿—4acA>0A=0A<0

ll

44

y=ax2+bx+c(a>0)的圖象4L

一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根

b沒有實數根

2的根

ax+bx+c=0(〃>0)xx,x2(%!<x2)w-五

一元二次不等式

{x|尤W一，}

（一雙七）!^々#00）R

6zx2-\-bx+c>0（o>0）的解集2a

一元二次不等式

（和彳2）00

ax2+bx+c<0（。>0）的解集

3.一元二次不等式的解法

由一元二次不等式與相應的方程、函數之間的關系可知，求一元二次不等式的解集的步驟

如下：

（1）變形：將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項系數大于零的不等式，即

ax2+bx+c>0（?〉0）或ax2+bx+c<0（a>0）；

（2）計算：求出相應的一元二次方程（以2+法+。=0（。〉0））的根，有三種情況：

/=0,/<0,/>0；

（3）畫圖：畫出對應二次函數的圖象的草圖；

（4）求解：利用二次函數的圖象與x軸的交點確定一元二次不等式的解集.

可用程序框圖表示一元二次不等式的求解過程，如圖.

4.一元二次不等式恒成立問題

(1)+法+。>0(〃W0)恒成立的充要條件是：〃>0且62-4〃。<0(九￡11).

(2)a/+法+。20(。wo)恒成立的充要條件是：a>0且b2-4ac<0(九￡R).

(3)a/+法+。<0(〃wo)恒成立的充要條件是：〃<0且/?2-4〃c<0(x￡R).

(4)〃/+法+0工。^。0)恒成立的充要條件是：〃<。且"-4〃c<0(%￡R).

(5)ax1+Z?x+c>0恒成立的充要條件是：a=b=O且c>0或a>0且

b2-4ac<0(xeR).

(6)ox?+以+。V。恒成立的充要條件是：a=h=o且c<0或〃<0且

b1-4ac<0(%GR).

工^點考向,

考向一比較大小

比較大小的常用方法：

(1)作差法的一般步驟是：作差，變形，定號，得出結論.

注意：只需要判斷差的符號，至于差的值究竟是什么無關緊要，通常將差化為完全平方式的

形式或者多個因式的積的形式.

(2)作商法的一般步驟是：作商，變形，判斷商與1的大小，得出結論.

注意：作商時各式的符號為正，若都為負，則結果相反.

(3)介值比較法：

①介值比較法的理論根據是：若a>6,6>c,貝1Ja>c,其中6是a與c的中介值.

②介值比較法的關鍵是通過不等式的恰當放縮，找出■個比較合適的中介值.

(4)利用單調性比較大小.

(5)函數法，即把要比較的數值通過構造函數轉化為該函數的函數值，然后利用函數的單

調性將其進一步轉化為自變量的大小問題來解決.

典例引領

典例1若a=2/+1,b=x2+2x,c=—x—3,試比較a,b,c的大小.

【解析】Va=2x2+1,b=%2+2%,c=—%—3,

'.a—b=(2/+1)—(%2+2x)=x2—2%+1=(%—l)2>0,即a>b,

b-c=(/+2%)—(—x—3)=x2+3x+3=(x+|)2+^>0,即b>c,

綜上可得：a>b>c.

典例2已知則d,log/,log/的大小關系是

a

bb

A.logxb<a<logbaB.<\ogha<a

aa

C.log/vlog/D.〃"<logB<log/

aa

【答案】A

【解析】因為所以0<a&<a°=1,logba>logftZ?=1,

又工>1,所以log@<log]1=0.

a77

綜上，得log@<a"<log/.

故選A.

【名師點睛】在用介值法比較時，中介值一般是通過放縮變形，得到一個中間的參照式(或

數)，其放縮的手段可能是基本不等式、三角函數的有界性等.

變式拓展

1.已知a,O,ceR,給出下列條件：①②工<,；③絲2>秘2,則使得成

ab

立的充分而不必要條件的是

A.①B.②

C.③D.①②③

考向二求范圍的問題

求范圍的問題需用到不等式的性質，熟記不等式性質中的條件與結論是基礎，靈活運用是關

鍵.

在使用不等式的性質時，一定要注意不等式成立的前提條件，特別是不等式兩端同時乘以或

同時除以一個數、兩個不等式相乘、一個不等式兩端同時求〃次方時，一定要注意其成立的

前提條件，如果忽視前提條件就可能出現錯誤.

求范圍的一般思路是：

(1)借助性質，轉化為同向不等式相加進行解答；

(2)借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；

(3)結合不等式的傳遞性進行求解；

(4)要注意不等式同向可乘性的適用條件及整體思想的運用.

典例引領

九2r4

典例3設實數羽y滿足1〈孫2<2,2<—<3,則4的取值范圍是

yy

【答案】[2,27]

2、3

X

/2、3

X，\VX

【解析】因為一Z-=-----7，8<<27,1〈（孫2）"<4,

y(盯B

所以9。%=[2,27].

y'41

典例4若二次函數y=/(尤)的圖象過原點，且1</(—1)<2,3</(1)<4,求八一2)的取

值范圍.

【解析】方法一：：二次函數y=Kx)的圖象過原點，.?.可設/(》)=奴2+法(。/0).

f〃l)=a+6

易知1「<，?〃

、乙

則/(-2)=4。_26=3/(-1)+/(1).

Vl</(-l)<2,3<f(l)<4,/.6</(-2)<10.

方法二：由題意設/(x)=ar?+Zzx(aW0),則犬1)=。+6,八一l)=a-b.

令加(〃+。)+〃(。一/?)=八-2)=4〃-2。，

?m+n=4?fm=l

m—n——2\n=3

???夫—2)=(〃+b)+30—6)=犬1)+3人一1).

VI</(-1)<2,3</(l)<4,.-.6</(-2)<10.

【名師點睛】同向不等式只能相加，不能相減.

變式拓展

2.己知—l<x+y<l,\<x-y<3,則8匕[3]的取值范圍是

A.["]B.1,28

C.[22]D.1,27

考向三一元二次不等式的解法

1.解不含參數的一元二次不等式的方法：

(1)若不等式對應的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉化為幾個代數式的乘積形式，則可

以直接由一元二次方程的根及不等號方向得到不等式的解集.

(2)若不等式對應的一元二次方程能夠化為完全平方式,不論取何值，完全平方式始終大于

或等于零，不等式的解集易得.

(3)若上述兩種方法均不能解決，則應采用求一元二次不等式的解集的通法,即判別式法.

2.在解答含有參數的一元二次不等式時，往往要對參數進行分類討論，為了做到分類“不重

不漏”，一般從如下三個方面進行考慮：

(1)關于不等式類型的討論：若二次項系數為參數，則應先考慮二次項系數是否為零，以

確定不等式是一次不等式還是二次不等式，然后再討論二次項系數不為零的情形，以便確定

解集的形式；

(2)關于不等式對應的方程的根的討論：兩根(/>0),一根(/=0),無根(/<0)；

(3)關于不等式對應的方程根的大小的討論：%>々,石=々,石<%.

典例引領

典例5解下列不等式：

⑴-X2-2X+3>0-

(2)4X2+4X+1<0.

【解析】(1)不等式兩邊同乘以一I,原不等式可化為式+2x—3<0,

即(左一1)(尤+3)<0,則一

故不等式一%2—2尤+3N0的解集是{x|—34尤<1}.

(2)4X2+4X+1<0,即(2X+1)2<0,則x=—g.

故不等式4X2+4X+1<0的解集為{x|x=--}.

典例6已知函數/(%)=ax2—(2a+1)%+2.

(1)當。=2時，解關于%的不等式/(%)40；

(2)若a>0,解關于%的不等式/(%)<0.

【解析】(1)當。=2時，/(%)40n2x2-5%+2<0,

可得(2萬一1)。一2)<0,

<2,

f(x)<0的解集為假,21.

(2)不等式/(%)<0可化為a/—(2a+1)%+2<0,a>0,

即a(%-：)(%-2)<0,a>0,

①當0<aV工時，->2,

2a

解得

a

②當Q=工時，工=2,

2a

解得％=2.

③當a>工時，-<2,

2a

解得!<x<2.

a

綜上，當0<a<?時，不等式的解集為｛X[2<X<L；

2a

當。=手寸，不等式的解集為｛%|%=2｝；

11

當時，不等式的解集為｛x|—K九42｝.

2a

變式拓展

3.已知關于x的不等式一l2+a%+b>o.

(1)若該不等式的解集為(T,2),求。，6的值；

(2)若b=a+l,求此不等式的解集.

考向四一元二次不等式與二次函數、一元二次方程之間關系的應用

一元二次不等式與其對應的函數與方程之間存在著密切的聯系.在解決具體的數學問題時，要

注意三者之間的相互聯系,并在一定條件下相互轉換.

(1)若一元二次不等式的解集為區(qū)間的形式，則區(qū)間的端點值恰是對應一元二次方程的根，

要注意解集的形式與二次項系數的聯系.

(2)若一元二次不等式的解集為R或。，則問題可轉化為恒成立問題，此時可以根據二次

函數圖象與X軸的交點情況確定對應一元二次方程的判別式的符號，進而求出參數的取值范

H.

典例引領

典例7已知函數/(%)=-3x2+a(6—a)%+c.

(1)當。=19時,解關于a的不等式/(I)>0；

(2)若關于x的不等式/(%)>0的解集是(T,4),求實數的值.

【解析】(1)當c=19時,/(%)=—3M+。(6—a)%+19,

所以/(I)=-3+(1(6—ci)+19=-a?+6a+16,

f(1)>0,即a?—6a—16<0,

解得一2Va<8.

(2)依題意:T,4是方程-3/+a(6-a)x+c=0的解,

a[6-a^§

3-

由根與系數的關系可得《，解得仁

|=-4

典例8已知關于X的不等式2%+3左<0.

(1)若不等式的解集為{x|x<-3或x>-1},求k的值；

(2)若不等式的解集為0,求實數k的取值范圍.

【解析】(1)由不等式kx~—2.x+3k<0的解集為{尤［x<—3或無>—1},可知k<0,—3和

-1是一元二次方程Ax?—2%+3左=0的兩根,

’(-3)X(-1)=3

所以《,、，、2,解得k=——.

(-3)+(-1)=工2

IK

(2)由題意知不等式A%2_2x+3左<0的解集為0,

若k=0,則不等式為—2x<0,此時久>0,不合題意;

左>0^3

若k大0,則<，解得左2義

4=4—4左x3左<03

綜上，實數k的取值范圍為［上,+8）.

3

變式拓展

4.已知二次函數/（%）=丘2一（］一左）％+h

（1）若關于x的不等式/（力＜0的解集為R,求實數人的取值范圍;

（2）若關于x的方程/（"=%有兩個不等正實根，求實數左的取值范圍.

考向五一元二次不等式的應用

對于分式不等式和高次不等式，它們都可以轉化為一元二次不等式或利用一元二次不等式的

思想求解.

1.分式不等式的解法

若/（X）與g（x）是關于X的多項式，則不等式上區(qū)〉0（或＜0,或2。，或W0）稱為分式不等

g（x）

式.解分式不等式的原則是利用不等式的同解原理將其轉化為有理整式不等式（組）求解.即

〃(x)>°或]

"1g(九)>0[g(x)<0

或/(%)<0

/⑴〉。/、n/(x>g(x)<0；

一g(x)<0[g(x)>0

/(x)-g(x)>03

,、；n/(x)-g(x)>0或/>(%)=();

符。T[g(x)w0

/(%)-?(x)<0,,

，、：n/(x).g(x)<0W(x)=0.

[g(x)w0

對于形如也〉。（或＜。）的分式不等式,其中0,求解的方法是先把不等式的右邊化為0,

g（x）

再通過商的符號法則，把它轉化為整式不等式求解.

2.高次不等式的解法

不等式的最高次項的次數高于2的不等式稱為高次不等式.解高次不等式常用的方法有兩種:

（1）將高次不等式/（x）>0（<0）中的多項式/（x）分解成若干個不可約因式的乘積，根據

實數運算的符號法則，把它等價轉化為兩個或多個不等式（組）.于是原不等式的解集就是各

不等式（組）解集的并集.

（2）穿針引線法：

①將不等式化為標準形式，一端為0,另一端為一次因式（因式中x的系數為正）或二次不可

約因式的乘積；

②求出各因式的實數根，并在數軸上標出；

③自最右端上方起，用曲線自右向左依次由各根穿過數軸，遇奇次重根穿過，遇偶次重根穿

而不過（奇過偶不過）；

④記數軸上方為正，下方為負，根據不等式的符號寫出解集.

典例引領

典例9不等式—2x（x—3）（3x+l）>0的解集為.

【答案】]-8,[U（0,3）

【解析】不等式—2x（x—3）（3x+l）>0可轉化為x（久一3）（3久+1）<0,

且方程3）（3x+l）=0的根為石=0,x2=3,X3=—g,

則由穿針引線法可得原不等式的解集為1-8,1U（O,3）.

典例10解關于x的不等式:士4<0（?eR）.

x-a

【解析】原不等式等價于：（%—〃）。一。2）<0,其對應方程的兩根為X1=〃，X2=a2.

2

x2-x1=a-a=a（a-1）,分情況討論如下：

①若戰(zhàn)0或a>l,即。2>a,則所求不等式的解集為｛x[a<%<〃｝.

②若a=0或a=l,原不等式可化為x2<0或0—1）2<0.

此時，所求不等式的解集為％￡0.

③若0<"1,即a2s則所求不等式的解集為｛xI/<x<a｝.

綜上所述：當。<0或a>l時，原不等式的解集為｛x|a<%</｝；

當。=0或〃=1時，原不等式的解集為0；

當0<a<l時，原不等式的解集為{x|〃<x<a}.

變式拓展

Ozyy_

5.已知函數/(%)=-------(a,bGR).

x—1

&,+<?],求/(x)<0的解集;

(1)若關于％的不等式2依—〃>0的解集為

(2)若a=g,解不等式/(x)>0的解集.

考向六含參不等式恒成立問題的求解策略

解決含參不等式恒成立問題的關鍵是轉化與化歸思想的運用，從解題策略的角度看，一般而

言，針對不等式的表現形式，有如下四種策略：

(1)變換主元，轉化為一次函數問題.解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數.參

數和未知數是相互牽制、相互依賴的關系，有時候變換主元，可以起到事半功倍的效果.

(2)聯系不等式、函數、方程，轉化為方程根的分布問題.

(3)對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數的圖象在給定的區(qū)間

上全部在x軸上方，恒小于。就是相應的二次函數的圖象在給定的區(qū)間上全部在無軸下方.常

轉化為求二次函數的最值或用分離參數法求最值.即

①若/(%)在定義域內存在最大值m,則/(x)<a(或于(x)<a)恒成立=a〉機(或

a>m)\

②若/(x)在定義域內存在最小值加，則/(%)>“(或/(%)之“)恒成立=。<加(或

a<m);

③若/(幻在其定義域內不存在最值，只需找到了(幻在定義域內的最大上界(或最小下界)加,

即f(x)在定義域內增大(或減小)時無限接近但永遠取不到的那個值，來代替上述兩種情況

下的加，只是等號均可以取到.

(4)轉化為兩個函數圖象之間的關系，數形結合求參數.在不等式恒成立問題的處理中，

若能畫出不等式兩邊相應的函數圖象，恒成立的代數問題立即變得直觀化，等價的數量關系

式隨之獲得，數形結合可使求解過程簡單、快捷.

典例引領

典例11已知二次函數f(x)=ax2+bx+c,且不等式f(x)<2x的解集為(1,3),對任意的

xER都有/(久)>2恒成立.

⑴求y(x)的解析式;

(2)若不等式k/(2X)-2X+1<0在xG[1,2]上有解，求實數k的取值范圍.

【解析】(1)=a/+力％+。<2%的解集為(1,3),

方程ax?-(2-b)x+c=0的兩個根是1和3.

2-bA

----------二4

。

則、a,解得『5=2-4

c=3a

.a

又：/(%)>2在久eR上恒成立，/.ax2+(2-4a)x+3a-2>0在久GR上恒成立,

則/=(2—4a/-4a(3a-2)<0,即(a-l)2<0,

又???(a-1)220,.?.(a—1)2=0,

得a=1,

故/'(x)—x2—2x+3.

(2)由題意知k/(2x)-2x+l<0,即k(22x-2-2x+3)<2X-1,

2X-1

,：22x-2?2,+3=0—1)2+2>0,：.k<

22—22+3

設t=2，一則左,

r+2

又：M<—尸，當且僅當t=-BPt=/時取得最大值乎,

2

t+2t+22V2t4

t

r「■一

:.k。,即實數k的取值范圍為—oo,2.

44

典例12已知函數/(%)=初/-mx-1.

(1)若對于x￡R,/(x)<0恒成立，求實數機的取值范圍；

(2)若對于工￡[1,3],#元)<5-加恒成立，求實數機的取值范圍.

【解析】⑴因為/(力=如；2_“_1<0對xSR恒成立，則

①加=0時,/(x)=T<0恒成立；

m<0

②19，解得-4<加<0.

m+4m<0

故實數m的取值范圍為(T,0].

(2)/(x)<5-〃z,即m(^x2-x+1)<6.

因為必一%+1>0,所以m<——^——對于尤G[l,引恒成立.

X—X+1

記g(_r)=—^~-=------5-----,xe[1,3],易知g(x)m=8⑶=。,所以機<會

—x+1(x—%+377

24

即實數機的取值范圍為(-8,自).

7

變式拓展

6.若函數/(x)=Jfcc2—6—+(左+8)的定義域為R,求實數人的取值范圍.

、亨點沖為充

1.已知集合人={刈(尸l)(x—4)W0},B=[x\—<0},則AA3=

x—2

A.{x|l<x<2}B.{x|l<x<2}

C.{x|2<x<4}D,{x|2<x<4}

2.下列命題正確的是

A.若a>b，則一<丁B.若a>b，則a2>b2

ab

C.若a>b,c<d,則a-c>Z?-dD.若a>b,c>d,則

3.x>2是12—2%>0的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設7〃=1080.30.6,九=310820.6,貝！|

A.m-n>m+n>nmB.m—n>mn>m+n

C.m+n>m—n>mnD.nm>m—n>m+n

5.已知實數x,y滿足—4<x—y<—1,-l<4x-y<5,則9x—y的取值范圍是

A.[-7,26]B.[-1,20]

C.[4,15]D.[1,15]

x

6.三個正整數%,九z滿足條件:y>z,z>—,若z=5,則丁的最大值是

3

A.12B.13

C.14D.15

7.若不等式依2+21+0<0的解集是oo,—,則不等式CX2+2X+Q<0的

解集是

111「1廠

L23jL32J

C.[-2,3]D.[-3,2]

8.關于元的不等式(/—1)尤2—3—1)%—1<0的解集為R,則。的取值范圍為

33

A.——<a<lB.——<a<l

55

3、3

C.-二<〃<1或〃=―1D.—-<62^1

9.設。力是關于x的一元二次方程2如+加+6=。的兩個實根，貝g(a—iy+3—Ip

的最小值是

49

A.-----B.18

4

C.8D.-6

10.設正數a,b滿足b—a<2,若關于X的不等式(/―4卜2+4歷;—〃<o的解集中的

整數解恰有4個，則。的取值范圍是

A.(2,3)B.(3,4)

C.(2,4)D.(4,5)

11.不等式—2f—x+620的解集是.

12.設P=e=V7-A7?=V6-V2,則的大小順序是.

13.不等式f—履+1>。對任意實數x都成立，則實數左的取值范圍是.

14.若集合4=｛刈犬—(a+2)x+2—a<0,xeZ｝中有且只有一個元素，則正實數。的

取值范圍是.

15.已知函數/(x)=必一[a+L]x+l(xeR).

(1)當時，求不等式/(x)<0的解集；

2

(2)若關于x的不等式/。)<。有且僅有一個整數解，求口義黎4的取值范圍.

1,

16.己知函數/(%)=—x'+(m-2)x(zneR).

U)若關于x的不等式/(x)<4的解集為(—2,4),求機的值;

(2)若對任意工日0,4]"(期+2..0恒成立,求加的取值范圍.

3■通高考

1.（2019年高考全國III卷文數）已知集合4={—1,0,1,2},3={》|爐<1},則=

A.{-1,0,1}B.{0,1}

C.{-1,1}D.{0,1,2}

2.（2019年高考全國I卷文數）已知a=log2（）.2/=2°-2,C=0.2°3,則

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

3.（2019年高考天津卷文數）設xeR,則“0<x<5”是“I%Tl<1”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2019年高考浙江卷）若。>0,。>0,則“a+794”是“"W4”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2018年高考天津卷文數）設尤eR,則“％3>8”是小1>2”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.（2017年高考天津卷文數）設xeR,則“2-尤NO”是“|太一1國1”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.（2017年高考山東卷文數）已知命題p：*eR,f―X+G0；命題4：若/</廁

下列命題為真命題的是

A.pzqB.p八r

c.r>/\qD.-p八f

8.（2017年高考上海卷）不等式三土>1的解集為.

9.（2018年高考北京文數）能說明“若a>b,則工<L'為假命題的一組a,b的值依次為

ab

10.（2019年高考江蘇）函數）,=、/7+6丫一丫2的定義域是▲.

嶷參考答案,

變式拓展

4^------------

1.【答案】c

【解析】對于①，由/〉/,得|。|>|勿，不一定有。>6成立，不符合題意；

對于②，當a=-1力=1時，有1<工，但。>6不成立，所以不符合題意；

ab

對于③，由a。？>bc2，知<#0,所以有“>6成立，當。>6成立時，不一定有ac?>bc2，

因為c可以為0,符合題意.

本題選擇C選項.

【名師點睛】本題主要考查不等式的性質及其應用，充分條件和必要條件的判定等知識，

意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

2.【答案】C

［解析］令3x_y=s（x+y）=（s+f）x+（s_f）y,

1<x-y<3,2<2（x-y）<6,①

又-l<x+y<l,②

...①+②得l<3x—y<7.

則8'v-.故選C.

【名師點睛】本題主要考查不等式的性質以及指數函數的性質，意在考查綜合運用所學

知識解答問題的能力，屬于中檔題.求解時，利用待定系數法求得

3x—y=(x+y)+2(x—y),由一l<x+y<l,l<x—y<3,結合=23^y,

從而可得結果.

2—4=a

3.【解析】(1)根據題意得I./八,

2x(-4)=-/?7

解得a——2,b=8.

(2)當二Q+1時，-+ax+Z?>0—ux—(Q+1)VO,即

［九一+(九+1)vO.

當4+1二—1,即Q=—2時，原不等式的解集為0；

當a+l<—1,即a<—2時，原不等式的解集為(a+LT)；

當a+l>—1,即a>—2時，原不等式的解集為(―La+1).

【名師點睛】本題考查一元二次不等式解集與對應一元二次方程根的關系以及解一元二

次不等式，考查基本應用求解能力.屬基本題.

(1)根據不等式解集與對應一元二次方程根的關系列方程，解得。，6的值；

(2)先代入化簡不等式，再根據對應一元二次方程根的大小分類討論不等式解集.

4.【解析】(1)/(%)<0,即麻？一。一左)1+左<0,

優(yōu)<0k<0

由二次函數知識得<。

1A(l-k)2-4k2<0

解得上<—1.

(2)/(x)=x,即辰2—(1一左)x+左=x,即正2一(2—左)x+Z=0,

A>0A>0

%〉

由二次方程有兩個不等正實根知，<00<%1+x2>0,

x2>0x{x2>0

（左一2）2—4左2>0

匕。

由根與系數間關系得，《,解得Q<k<一.

k3

1>0

5.【解析】(1)..?不等式2依—b>0的解集為;,+s,

a>Q,a=b>0,

<0=〃（2%<oo。（2%—1）（%—1）vo,

x-l

?../(X)<0的解集為[；,1).

1x—h

(2)a=—時，不等式/(x)>0o/(x)=^^>0o(x—b)(x—l)>0,

2x—1

1。當A>1時，不等式的解集為(TQ,1)U優(yōu),+8)；

2。當5=1時，不等式的解集為｛x|x71｝；

3。當"1時，不等式的解集為(T3)U。,”).

【名師點睛】本題考查不等式的求解應用，屬于基礎題.

(1)/(x)<00"2x]I<0=a(2u_l)(x_l)<0,然后求解即可.

1Y—A

(2)a=—時，不等式/(x)>0o/(x)=^^>0o(x—Z7)(x—l)>0,然后分類

2x—1

討論即可.

6.【解析】V/(%)的定義域為R,

二.不等式kx2-6kx+k+8>0的解集為R.

①%=0時，8>0恒成立，滿足題意；

1>0

②存。時，則1365—4成+8)K。'解得°<總

綜上得，實數人的取值范圍為[0,1].

考點沖關

--------

1.【答案】D

【解析】依題意A=[L4],5=(2,5],故4口6=(2,4].故選D.

2.【答案】C

【解析】A.若a>b,則,<,，取a=l力=-1不成立；

ab

B.若a>b,則標>〃，取。=02=—1不成立；

C.若a>b,c<d,則a-c>Z?-d,正確；

D.若。>6,c>d,則ac>bd,取a=l,b=-l,c=l,d=-2不成立.

故選C.

【名師點睛】本題考查了不等式的性質，找出反例是解題的關鍵.

3.【答案】A

【解析】由％2一2%>0解得：尤<0或x>2,?.,{x|x>2}*{x|x<0時>2},

因此，》>2是必—2%>。的充分不必要條件，故選A.

【名師點睛】本題考查充分必要條件的判斷，先解不等式好-2%>0得出解集，根據集

合之間的包含關系得出兩條件的充分必要性.一般利用集合的包含關系來判斷兩條件的

充分必要性：

(1)B,則“xeA”是“xwB”的充分不必要條件;

(2)AYB,則“xeA”是“xeB”的必要不充分條件；

(3)A=B,貝『'xeA”是“xeB”的充要條件.

4.【答案】A

【解析】m=log030.6>log03l=0,?=^log20.6<^log2l=0,mn<0,

|j+7?

—+-=log0.3+log4=logl,2<log0.6=l,即-----<1,^m+n>mn.

mn06060606mn

又(根一〃)—(zn+〃)=—2〃>0,所以相一〃>加+〃.

故m—n>m+n>Hm,所以選A.

【名師點睛】本題考查利用作差法、作商法比較大小，考查對數的化簡與計算，考查分

析計算，化簡求值的能力，屬中檔題.求解時，先判斷機，〃的正負，即可得7篦〃<0;計

算L+L=log06L2<l,化簡可得利+〃>77"2,再通過作差法比較〃-力，"2+72的大

mn

小，即可得結果.

5.【答案】B

n-m

x=-----,

3g5

［解析］令相=%一',幾=4九，則2=9%_y=_〃——m,

n-4m33

7=3

“，5520-,8840

,/-4<—<——m<——,又：-1<〃V5,:.——<—n<——,

333333

85

因此-1V2=9x—y=§根K20,故本題選B.

【名師點睛】本題考查了利用不等式的性質，求不等式的取值范圍問題，利用不等式同

向可加性是解題的關鍵.令加=x—y,〃=4x-y,得到關于x,y的二元一次方程組，解

這個方程組，求出9x-y關于加，"的式子，利用不等式的性質，結合加，”的取值范圍，

最后求出9x-y的取值范圍.

6.【答案】B

Y

【解析】由不等式的性質結合題意有：x>y,y>5,5>§,即

x>y,y>5,x<15...y<x<15,

由于蒼y,z都是正整數，故》的最大值是13.

故選B.

【名師點睛】本題主要考查不等式的性質及其應用，不等式的傳遞性等知識，意在考查

學生的轉化能力和計算求解能力.由題意結合不等式的性質和不等式的傳遞性即可確定y

的最大值.

7.【答案】D

【解析】因為不等式依2+2%+C<0的解集是1一co,一；)u|g,+8),

a<0

211,a二—12

所以《—-,解得<

a32c-2

c11

—=——x—

、a32

所以不等式cx2+2x+a<0可化為27+2%—1240,即三+彳-640,解得—3WxW2.

故選D.

【名師點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法，熟記三個二次之間的關系即可，屬

于基礎題型.先由題意求出dc,再代入不等式32+2%+。<0求解，即可得出結果.

8.【答案】D

【解析】當6—1=0時，a=±l,若a=l,則原不等式可化為—1<0,顯然恒成立;

若a=—1,則原不等式可化為2x—1<0不恒成立，所以a=—1舍去；

當6—1/0時，因為(〃—1卜2—(a-l)x—1<0的解集為R,

a'—1<03

所以只需4,、2/\>解得—二<。<1；

A=(a-1)+4(a2-l)<05

3

綜上，。的取值范圍為：—

故選D.

【名師點睛】本題主要考查一元二次不等式恒成立的問題，需要用分類討論的思想來處

理,屬于?？碱}型.分情況討論,當/_i=o時，求出滿足條件的。的值;當〃一1/o時，

求出滿足條件的。的取值范圍，即可得出結果.

9.【答案】C

【解析】因為。,6是關于工的一元二次方程了2—23+m+6=0的兩個實根，

a+b=2m

所以由根與系數的關系得｛,,JELA=4(m2—m—6)>0,

ab=m+o

所以y=(a—I)?+0—I)2=(