《數(shù)字信號(hào)處理-基于數(shù)值計(jì)算》課件-第1章

第1章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)1.0引言1.1離散時(shí)間信號(hào)1.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣1.3離散時(shí)間系統(tǒng)1.4離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析

1.0引言

現(xiàn)實(shí)世界中的各種信號(hào)絕大多數(shù)是以模擬信號(hào)(AnalogSignal)形式出現(xiàn)的，模擬信號(hào)數(shù)字化處理的一般過程如圖1.1.0所示。這一處理過程看似花費(fèi)了許多硬件環(huán)節(jié)和軟件成本，卻能獲得優(yōu)異的性能和高度的靈活性。我們將在隨后的章節(jié)陸續(xù)詳細(xì)介紹。圖1.1.0模擬信號(hào)數(shù)字化處理的一般過程

1.1離散時(shí)間信號(hào)

1.1.1序列的表示

在信號(hào)理論中，離散時(shí)間信號(hào)一般采用序列來描述，記為{x(n)}。序列是時(shí)間上不連續(xù)的一串樣本值的集合，其中序號(hào)n是整數(shù)，而x(n)則是第n號(hào)樣本值，大括號(hào)用來表示全部樣本的集合。

一個(gè)無限長(zhǎng)復(fù)數(shù)值的序列如下：

{x(n)}＝{…,2+j3,0.8+j2,1－j5,4,0.3+j4,－j2.7,…},n∈(－∞,∞)

↑其中，用箭頭標(biāo)出了n＝0的序號(hào)位置，即序列原點(diǎn)值x(0)＝1－j5，那么，x(－1)＝0.8＋j2，x(1)＝4，x(2)＝0.3+j4等，依此類推。顯然，該復(fù)序列可以分解成實(shí)部子序列{xRe(n)}和虛部子序列{xIm(n)}。在不引起混淆的前提下，?？墒÷曰ɡㄌ?hào)。序列的實(shí)部為

xRe(n)＝{…，2，0.8，1，4，0.3，0，…}

↑

虛部為

xIm(n)＝{…，3，2，－5，0，4，－2.7，…}

↑顯然有x(n)＝xRe(n)＋jxIm(n)，其對(duì)應(yīng)的復(fù)共軛序列為x*(n)＝xRe(n)－jxIm(n)。當(dāng)然x(n)還可以寫成幅度序列與相位序列的形式，請(qǐng)讀者思考并寫出。

實(shí)際工程中，離散時(shí)間序列x(n)經(jīng)常是從連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)通過采樣得到的。假設(shè)在均勻采樣情況下，采樣時(shí)間間隔為Ts，亦即采樣頻率fs=1/Ts，則

（1.1.1）

如果把采樣時(shí)間間隔Ts歸一化，即看成是Ts=1個(gè)單位，那么，用一個(gè)N點(diǎn)的離散序列x(n)就可以代表不同持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)度（NTs）的連續(xù)信號(hào)片段，它僅與實(shí)際的Ts有關(guān)。另外，還應(yīng)注意到，序列點(diǎn)之間所對(duì)應(yīng)的連續(xù)信號(hào)的真正幅度值是多少，是無從知曉的，實(shí)際上也不用關(guān)心。下面介紹幾個(gè)常用的典型序列。

(1)單位脈沖序列δ(n)，又稱為單位樣值函數(shù)。(1.1.2)該序列只在原點(diǎn)處取得單位1的值，其余點(diǎn)全都是0值。單位脈沖序列可用MATLAB語言描述如下：

n=－30:30；%給出從－30到30共61個(gè)自然序號(hào)

x=[n==0]；%在原點(diǎn)處取得1

stem(n，x)；%繪出序列圖程序運(yùn)行結(jié)果如圖1.1.1所示，在n=0的位置出現(xiàn)值為1的脈沖。當(dāng)序列長(zhǎng)度選得大些時(shí)，就更加逼近理想的數(shù)學(xué)上的單位樣值函數(shù)。圖1.1.1δ(n)的圖形

(2)單位階躍序列u(n)。(1.1.3)(1.1.4)延遲M個(gè)序號(hào)的單位階躍序列為用MATLAB語言可描述如下：

n=1:40；%給出自然序號(hào)1到40

M=15；%延遲值

x=[(n-M)>=0]；%獲得從M開始后的共25個(gè)1值的行向量

stem(n，x)；%繪出序列圖繪出的序列圖如圖1.1.2所示。圖1.1.2延遲的單位階躍序列δ(n－M)

(3)N點(diǎn)矩形窗序列RN(n)。(1.1.5)顯然，RN(n)=u(n)－u(n－N)。一個(gè)序列若乘以矩形窗，相當(dāng)于窗外數(shù)據(jù)被忽略成0，因此，經(jīng)常用RN(n)來截取長(zhǎng)序列中感興趣的一段內(nèi)容。

(4)實(shí)指數(shù)序列。

x(n)=anu(n)a≠0

(1.1.6)

(5)復(fù)指數(shù)序列。

x(n)=(rejω0)n=rn[cos(ω0n)+jsin(ω0n)]

(1.1.7)

【例1.1.1】

繪制因果復(fù)序列x(n)=(0.732ej0.523)nu(n)=(0.732)n(cos0.523n+jsin0.523n)u(n)的兩種表示方式的圖形。

解用MATLAB繪圖編程如下：

n=0：30；%繪制31個(gè)點(diǎn)因果序列

x=(0.732.^n).*(exp(j*0.523*n))；%注意程序中指數(shù)和群運(yùn)算符號(hào)

Ax=abs(x)；%求出幅度，即復(fù)數(shù)模

Bx=angle(x)；%求出相角，以rad為單位

Cx=real(x)；%求出實(shí)部

Dx=imag(x)；%求出虛部

subplot(2，2，1)；%分成四張小圖繪制，小圖編號(hào)為1，可參看

軟件的幫助信息

stem(Ax)；%[1，0.73，0.54，0.39，0.29，0.21，

0.15，…]ylabel(′幅度′)；

subplot(2，2，3)；%小圖編號(hào)為3的圖紙激活

stem(Bx)；

ylabel(′相位′)；%[0，0.52，1.05，1.57，2.09，2.62，3.14，

-2.62，-2.09，…]rad

subplot(2，2，2)；

stem(Cx)；

ylabel(′實(shí)部′)；%[1，0.63， 0.27，0.0，-0.14，-0.18，

-0.15，-0.09，…]

subplot(2，2，4)；

stem(Dx)；

ylabel(′虛部′)；%[0，0.37， 0.46，0.39，0.25，0.11，

0.0，-0.06，-0.07，…]

復(fù)指數(shù)信號(hào)的兩種圖示方式如圖1.1.3所示。圖1.1.3復(fù)指數(shù)信號(hào)的兩種圖示方式

(6)周期序列。

如果一個(gè)序列的數(shù)據(jù)變化規(guī)律呈現(xiàn)出不斷重復(fù)的特征，那么我們稱之為周期序列，記為x(n)。字母上方的“~”符號(hào)形象地表達(dá)了數(shù)值波動(dòng)起伏猶如海浪一般，相同卻沒完沒了，這正是周期信號(hào)規(guī)律的主要特征。我們用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)式描述如下：如果一個(gè)序列滿足x(n)=x(n+rN)，0≤n≤N－1，r是任意整數(shù)，N是任意正整數(shù)，則稱x(n)是周期為N的周期序列。

例如f(n)=｛…，1，3，6，9，7，4，1，3，6，9，7，4，1，3，6，…｝，如圖1.1.4所示。~~~~~圖1.1.4周期序列圖例

(7)正弦序列。

x(n)=sin(ω0n)

(1.1.8)

【例1.1.2】繪制因果正弦序列的圖形，并指出它的周期點(diǎn)數(shù)N。

x(n)=sin(0.12πn)u(n)=sin(0.12π(n+N))u(n)

解其MATLAB程序如下：

n=0:60；%給出序號(hào)，準(zhǔn)備繪制61個(gè)點(diǎn)的因果序列

x=sin(0.12*pi*n)；%注意π的程序保留專用符pi，這里ω0=0.12π

stem(x)；%繪制序列桿圖

ylabel(′幅度′)；%標(biāo)出縱軸名稱程序運(yùn)行結(jié)果如圖1.1.5所示。圖中序號(hào)從1繪制到61，仔細(xì)觀察，可以看出從第51點(diǎn)開始序列另起一個(gè)周期，因?yàn)槭?.12πrN＝2πi，當(dāng)取r＝1，i=3，N＝50時(shí)成立。請(qǐng)讀者試著用stem(n，x)替換程序中的stem(x)，看看會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果？

若使得0.12πrN=2πi，該序列就具有周期性，選擇r=1，i=3，N=50即能滿足。當(dāng)然，如果正弦序列sin(ω0n)的ω0不合適，那么有可能找不到一組整數(shù)r、i、N來滿足周期定義式，比如ω0=0.3，序列x(n)=sin(0.3n)就沒有周期性。這說明周期性的正弦波經(jīng)過采樣后所形成的序列有可能是非周期的，它取決于采樣頻率的選擇。圖1.1.5正弦序列桿圖1.1.2序列的運(yùn)算

序列的運(yùn)算遵守如下規(guī)則：

(1)相加減。z(n)=x(n)±y(n)，兩個(gè)序列原點(diǎn)對(duì)齊，逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加減，形成新序列z(n)。

(2)相乘。z(n)=x(n)y(n)，兩個(gè)序列原點(diǎn)對(duì)齊，逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘得到新序列z(n)。特別地，當(dāng)x(n)=a時(shí)，z(n)=ay(n)，即y(n)序列的每個(gè)元素都乘常數(shù)a。

(3)移位。將x(n)平移M個(gè)序號(hào)，得到新的序列y(n)=x(n－M)，當(dāng)M>0時(shí)，表示y(n)是x(n)的延遲；當(dāng)M<0時(shí)，y(n)比x(n)超前。

(4)反折。y(n)=x(－n)，序列對(duì)于n=0處序號(hào)反向倒轉(zhuǎn)，MATLAB對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)是fliplr。

(5)平方和與絕對(duì)值。

序列的平方和稱為序列的能量：(1.1.9)(1.1.10)(1.1.11)

(6)實(shí)序列的偶部與奇部。對(duì)于所有的n，任何實(shí)序列x(n)都有如下定義：

x(n)的偶部(1.1.12)

x(n)的奇部(1.1.13)顯然，x(n)=xe(n)+xo(n)，并且偶部xe(n)=xe(－n)，具備關(guān)于原點(diǎn)偶對(duì)稱特性，而奇部xo(n)=－xo(－n)，具備關(guān)于原點(diǎn)奇對(duì)稱性。

(7)任何序列x(n)都可由單位脈沖序列δ(n)經(jīng)過移位以及加權(quán)和來表達(dá):(1.1.14)

【例1.1.3】

寫出圖1.1.6所示序列的δ(n)表達(dá)式。圖1.1.6序列由δ(n)表示解

x(n)={(1,1.5,0,－3,0,0,0)}=δ(n+1)+1.5δ(n)－3δ(n－2)↑

n=0

1.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣

1.2.1連續(xù)信號(hào)的采樣過程

采樣器一般由電子開關(guān)組成，對(duì)于等間隔采樣，開關(guān)每隔Ｔ秒短暫地閉合一次，將連續(xù)信號(hào)接通，從而實(shí)現(xiàn)一次采樣，其閉合時(shí)間為τ(τ可小至納秒級(jí))，如圖1.2.1所示。

電子開關(guān)的作用可用乘法器模擬，即看成是兩信號(hào)相

乘，也就是調(diào)制，如圖1.2.2所示。

實(shí)際采樣與理想采樣信號(hào)過程如圖1.2.3所示，當(dāng)p(t)的τ→0時(shí)，即抽象成理想沖激序列。圖1.2.1采樣開關(guān)圖1.2.2模擬乘法器圖1.2.3實(shí)際采樣和理想采樣信號(hào)示意設(shè)采樣脈沖串p(t)的重復(fù)周期為Ts，當(dāng)脈寬τ<<Ts時(shí)，p(t)可近似看成是理想周期沖激序列，并能展開成傅立葉級(jí)數(shù)，其中采樣角頻率Ωs=2πfs=2π/Ts。此時(shí)我們可以把理想采樣信號(hào)Xδ(t)及其頻譜函數(shù)Xδ(jΩ)寫成：1.2.2具有低通型頻譜的連續(xù)信號(hào)的采樣

如果原信號(hào)xa(t)是實(shí)帶限的，且其頻譜中最高頻率分量為fmax，那么以高于2fmax的采樣率進(jìn)行采樣時(shí)，基帶頻譜以及采樣產(chǎn)生的各次調(diào)制諧波頻譜彼此不會(huì)重疊，如圖1.2.4所示。此時(shí)，只要用幅度為Ts、帶寬為fc(fmax＜fc＜fs－fmax)的理想低通濾波器就能濾除各次調(diào)制頻譜，而保留基帶頻譜，如圖1.2.4(b)中虛線所框出的，也就是說能完全真實(shí)地還原出原信號(hào)頻譜。圖(c)與圖(d)是采樣率不滿足fs>2fmax條件時(shí)出現(xiàn)了所謂的頻譜高頻端混疊(aliasing)現(xiàn)象，也可以理解為假頻，它改變了原基帶頻譜結(jié)構(gòu)，從而無法恢復(fù)出原信號(hào)頻譜Xa(jf)。圖1.2.4理想采樣信號(hào)的周期頻譜與混疊現(xiàn)象這里我們定義幾個(gè)術(shù)語。采樣頻率的一半稱為折疊頻率，信號(hào)中超過這個(gè)頻率的分量都將因?yàn)椴蓸佣环凑刍貋恚斐深l譜的混疊，出現(xiàn)所謂假頻現(xiàn)象。折疊頻率記為fo=0.5fs。保證能夠重新恢復(fù)出原信號(hào)的最低采樣頻率稱為奈奎斯特(Nyquist)采樣頻率，記為fN=2fmax，它等于信號(hào)最高頻率的2倍，是信號(hào)固有的特征參數(shù)。實(shí)際應(yīng)用中，為了防止發(fā)生頻譜混疊，在采樣之前都要對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行抗混疊的低通預(yù)濾波處理，使得進(jìn)入采樣器的信號(hào)最高頻率保證限制在0.5fs以內(nèi)。如果頻譜是Xδ(jf)的離散時(shí)間信號(hào)(采樣信號(hào))通過一個(gè)理想低通濾波器H(jf)(見圖1.2.5)：(1.2.4)則濾波器輸出是Y(jf)=H(jf)Xδ(jf)，由于在基頻帶(－0.5fs~0.5fs)里，Xδ(jf)與Xa(jf)僅相差Ts倍，因此(1.2.5)上式進(jìn)行傅立葉逆變換后，我們得到理想低通濾波器輸出的時(shí)域表達(dá)式y(tǒng)(t)=xa(t)。圖1.2.5離散信號(hào)通過理想低通濾波器以上過程還可以從時(shí)域角度來分析，對(duì)于濾波器，我們有上式說明，通過對(duì)如圖1.2.6(a)所示內(nèi)插函數(shù)Sa(πt/Ts)及其平移后的Sa(π(t－nTs)/Ts)并經(jīng)采樣值xa(nTs)的加權(quán)進(jìn)行累加，就能唯一地構(gòu)造恢復(fù)出原連續(xù)信號(hào)xa(t)。該連續(xù)信號(hào)的值在采樣時(shí)刻嚴(yán)格等于離散序列值，而在兩樣點(diǎn)之間，則是由全部采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸疊加構(gòu)成的，如圖1.2.6(b)所示。圖1.2.6內(nèi)插函數(shù)與內(nèi)插函數(shù)重構(gòu)1.2.3具有帶通型頻譜的連續(xù)信號(hào)的采樣

如果連續(xù)信號(hào)xa(t)的頻譜如圖1.2.7所示，則其一般被稱做是帶通類型的。例如，單邊帶調(diào)幅波的頻譜就是這種類型。它是由低通信號(hào)頻譜經(jīng)高頻載波調(diào)制并經(jīng)過一定處理后形成的，通常上邊頻f2比帶寬B=f2－f1大很多，記有效頻帶中心為fc，下邊頻f1=fc－0.5B。圖1.2.7帶通型頻譜對(duì)于這類帶通型的信號(hào)，盡管可以選擇fs>2f2進(jìn)行無混疊不失真采樣，但因f2本來就很高，使得采樣率fs可能高到無法實(shí)現(xiàn)的程度，即使能做到，成本也一定會(huì)很高。幸運(yùn)的是，仔細(xì)觀察帶通頻譜結(jié)構(gòu)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，有效信號(hào)頻帶B以外的大量頻率區(qū)本身都是零幅度的，那么利用這一點(diǎn)，可以合理降低采樣頻率fs，降低到奈氏頻率以下，且由采樣所帶來的頻譜周期化以及頻譜疊加也不會(huì)傷及有效頻帶。因?yàn)闀r(shí)域采樣等效于頻域里將原頻譜以fs整倍數(shù)左右平移再疊加，如果保證有意義頻帶都移動(dòng)到零幅度區(qū)，亦即跟零疊加，就不會(huì)改變頻譜，當(dāng)然就避免了混疊現(xiàn)象。如圖1.2.7所示的直流到下邊頻(0~f1)就是零幅度區(qū)。注意，圖1.2.8是采樣后的頻譜結(jié)構(gòu)，依然是對(duì)于縱軸左右對(duì)稱的。圖1.2.8帶通信號(hào)欠采樣情況，m=4，fs=(2fc－B)/4設(shè)原信號(hào)譜(粗線所示)正頻帶P和負(fù)頻帶Q，有效帶寬B=f2－f1，調(diào)整fs，使得重復(fù)頻譜的正頻帶P和負(fù)頻帶Q恰好在坐標(biāo)0點(diǎn)對(duì)接，并且在2fc－B的零幅度區(qū)里有m個(gè)重復(fù)周期。圖1.2.8中是m=4，即在2fc－B的零幅度區(qū)塞下4個(gè)采樣后的諧波頻帶(由原頻譜平移±fs和±2fs)而不發(fā)生重疊。顯然，mfs=(2fc－B)。如果增大fs，圖1.2.8中的Q將向右、P向左移動(dòng)進(jìn)而發(fā)生混疊，說明fs不能任意增大，必須小于這個(gè)上限。如果減小采樣率fs，原譜不動(dòng)，P將向右而Q向左移動(dòng)，從而分開，如圖1.2.9(a)所示。繼續(xù)減小fs，直到P、Q又接在一起，即最低采樣率(當(dāng)然無論何時(shí)都要滿足fs>2B)情況，如圖1.2.9(b)所示，此時(shí)在2fc+B頻帶里有5個(gè)頻譜周期，即(m+1)fs=2fc+B，fs不能再小了?？偨Y(jié)以上分析，采樣率fs應(yīng)處于一定范圍才能避免混疊，即

(1.2.9)若采樣率超出上式范圍，例如進(jìn)一步增大fs，將使得P、Q重疊后彼此錯(cuò)過再分開，就進(jìn)入了m=3的情況，繼續(xù)增大到m=2，m=1，最后是fs=2fc+B的極端情況，那就是當(dāng)作低通信號(hào)處理的Shannon采樣率。相反地，若fs減小，會(huì)在零幅度區(qū)里塞入更多的采樣諧波頻譜，將出現(xiàn)放不下的情況，即已達(dá)到采樣率下限了。究竟能放下幾個(gè)重復(fù)周期呢?這個(gè)可由信號(hào)最高頻率f2=fc+0.5B的2倍除以帶寬B所得的整數(shù)值來計(jì)算。圖1.2.9帶通信號(hào)采樣后的頻譜我們定義在可接受的m值下，使得重復(fù)頻譜在原點(diǎn)處正負(fù)頻帶對(duì)接時(shí)的采樣頻率為最佳帶通信號(hào)最佳采樣頻率。

m＝1時(shí)的最佳fs如圖1.2.10(b)所示，但出現(xiàn)基帶頻譜倒置情況。m＝2時(shí)的最佳fs更低，如圖1.2.11(a)所示，而且基帶頻譜正常。圖1.2.10帶通信號(hào)采樣時(shí)的頻譜情況討論圖1.2.11帶通信號(hào)采樣頻率的選擇結(jié)合前面的圖，可以看到，m為偶數(shù)時(shí)，基帶頻譜不會(huì)倒置；m為奇數(shù)時(shí)，如圖1.2.12所示，基帶頻譜出現(xiàn)倒置，不過這個(gè)問題可以通過數(shù)字處理將其翻轉(zhuǎn)過來解決。針對(duì)本例子，似乎應(yīng)該選m=4，既有更低采樣率，又沒有基帶頻譜倒置問題。但如果fc過小，假如只能到m=3的情況，那么應(yīng)該選m=2為正?；鶐ьl譜而付出較高采樣率的代價(jià)，還是選m=3的低的采樣率而另外單獨(dú)處理基帶頻譜倒置問題呢？后者應(yīng)該更可取，因?yàn)榭梢酝ㄟ^簡(jiǎn)單的數(shù)字處理把基帶頻譜翻轉(zhuǎn)過來。以后將會(huì)看到，這個(gè)辦法只是把采樣序列xa(n)與(－1)n相乘，在頻域里表現(xiàn)為0~0.5fs頻帶繞0.25fs左右翻轉(zhuǎn)，即直流DC(0Hz)頻率倒置到±0.5fs。如【例1.2.1】中，這個(gè)正負(fù)1單位交替的工具序列有時(shí)還寫成(－1)n=cos(nπ)=

ejπn。此外，如果原始譜正頻率有意義部分是關(guān)于中心頻率fc偶對(duì)稱的話，那么采樣頻譜就不會(huì)存在倒置的問題。圖1.2.12帶通信號(hào)最佳采樣頻率的確定

【例1.2.1】

頻譜倒置的示例。

解

程序運(yùn)行的結(jié)果如圖1.2.13所示，幅序頻譜在0~0.5fs內(nèi)出現(xiàn)倒置。圖1.2.13將幅度頻譜倒置的辦法圖1.3.1離散系統(tǒng)模型

1.3離散時(shí)間系統(tǒng)

將一個(gè)序列x(n)變換成另一個(gè)序列y(n)的系統(tǒng)稱為離散時(shí)間系統(tǒng)，記為

y(n)=T[x(n)](1.3.1)

這里的符號(hào)T[·]表示某種運(yùn)算或變換。系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系用圖1.3.1所示。1.3.1系統(tǒng)的線性、時(shí)不變性、穩(wěn)定性與因果性

以下是關(guān)于系統(tǒng)特性的一般描述，目的是將各式各樣的系統(tǒng)進(jìn)行分門別類，以便研究。

線性系統(tǒng)滿足疊加原理，它包含兩個(gè)方面的性質(zhì)：均勻性和可加性。

均勻性也稱比例性，是指當(dāng)系統(tǒng)的輸入變化a倍，其輸出也相應(yīng)變化a倍。其中比例a還可以是復(fù)數(shù)。

可加性是指系統(tǒng)分別輸入兩個(gè)序列x1(n)和x2(n)，其各自對(duì)應(yīng)的輸出是y1(n)和y2(n)，那么，當(dāng)混合輸入x1(n)+x2(n)時(shí)，系統(tǒng)將會(huì)輸出y1(n)+y2(n)。

當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)滿足均勻性和可加性時(shí)，我們稱該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng)。時(shí)不變是指系統(tǒng)的性能不會(huì)隨時(shí)間發(fā)生改變。也就是無論何時(shí)輸入信號(hào)，只要x(n)相同，系統(tǒng)輸出也總是相同的y(n)，只不過是隨著x(n)加到系統(tǒng)的先后，y(n)出現(xiàn)的時(shí)間不同而已。用符號(hào)表示就是：若y(n)=T[x(n)]，有y(n－n0)=T[x(n－n0)]成立，則稱系統(tǒng)T[·]是時(shí)不變的。

若系統(tǒng)輸入是有界的，其輸出也一定是有界的，這樣的系統(tǒng)即為穩(wěn)定系統(tǒng)。如果從系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)來考慮，則穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是其h(n)絕對(duì)可和，即滿足下式：

(1.3.2)一個(gè)因果系統(tǒng)的輸出y(n)只取決于當(dāng)前以及以往的輸入x(n)，x(n－1)，x(n－2)，…，x(n－N)等，輸出與這些輸入在時(shí)間先后上是符合因果規(guī)律的，因此稱為因果系統(tǒng)。相反，如果當(dāng)前輸出y(n)還要依賴未來的輸入x(n+1)、x(n+2)等，這是不現(xiàn)實(shí)的，就是所謂的非因果系統(tǒng)。

判斷一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)是不是因果系統(tǒng)的充分必要條件是：

h(n)=0，n<0

即系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)序列沒有負(fù)序號(hào)項(xiàng)。這一點(diǎn)其實(shí)從h(n)定義上就能知道，在零狀態(tài)下，系統(tǒng)于0時(shí)刻之前都沒有響應(yīng)，處于松弛狀態(tài)，僅當(dāng)受δ(n)激勵(lì)時(shí)，才有響應(yīng)h(n)產(chǎn)生，這樣h(n)必然出現(xiàn)在n≥0之后，時(shí)間上符合因果關(guān)系。也因此常常把n<0時(shí)x(n)=0的序列統(tǒng)稱為因果序列，意味著它可作為因果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。盡管連續(xù)時(shí)間非因果系統(tǒng)是不可實(shí)現(xiàn)的，例如理想模擬低通濾波器，但數(shù)字信號(hào)處理中由于系統(tǒng)有存儲(chǔ)記憶能力，非因果關(guān)系卻是可以實(shí)現(xiàn)的。很多數(shù)據(jù)處理場(chǎng)合可以是非實(shí)時(shí)的，并且實(shí)際工程中即使要求實(shí)時(shí)處理，一般也容許有一定的延遲，對(duì)于輸出y(n)來說，可以將大量的輸入數(shù)據(jù)x(n+1)，x(n+2)，x(n+3)，x(n+4)放入存儲(chǔ)器，經(jīng)過一定延遲后取出來供計(jì)算使用，從而實(shí)現(xiàn)非因果系統(tǒng)。換句話說，可以用一個(gè)帶有延遲的因果系統(tǒng)來近似等效非因果系統(tǒng)，這是一種獲得更接近于理想頻率特性的方法。1.3.2離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程描述

對(duì)于線性時(shí)不變的離散系統(tǒng)，可用如下常系數(shù)差分方程描述，它給出輸入序列x(n)和輸出序列y(n)的關(guān)系：(1.3.3)式中N稱為離散系統(tǒng)的階次，改寫成

【例1.3.1】

研究差分方程y(n)=0.2y(n－1)+x(n)的解的唯一性問題。

解設(shè)x(n)=δ(n)，且n＜0時(shí)，y(n)=0，那么，可以令n=0代入差分方程：

y(0)=0.2y(－1)+x(0)=0.2×0+1=1

同理

y(1)=0.2y(0)+x(1)=0.2×1+0=0.2

y(2)=0.2×0.2

y(3)=0.2×0.2×0.2

…

y(n)=(0.2)n

，n≥0

或

y(n)=(0.2)nu(n)但若假設(shè)n≥0時(shí)，y(n)=0，那么同樣的δ(n)激勵(lì)下，可得另一組y(n)滿足差分方程。

改寫方程為

y(n－1)=5(y(n)－x(n))，或y(n)=5(y(n＋1)－x(n＋1))

那么令n=－1代入，得

y(－1)=5(y(0)－x(0))=5×(－1)=－5

y(－2)=5(y(－1)－x(－1))=5×y(－1)=－25

y(－3)=－5×5×5

…

y(n)=－(5)(－n)，n＜0

或

y(n)=－(0.2)nu(－n－1)

顯然，后者是一非因果系統(tǒng)。1.3.3離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述

狀態(tài)方程能夠規(guī)范地描述多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，解決在單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)中慣用的傳遞函數(shù)所難以表達(dá)的問題，這是它的一個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn)。對(duì)于一個(gè)動(dòng)態(tài)的線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，除了用前面小節(jié)所述的N階差分方程描述外，也可以把它改寫成一階的差分方程組。引入了一個(gè)所謂的狀態(tài)變量λ(n)，形式為式(1.3.4)稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，相應(yīng)地，式(1.3.5)稱為系統(tǒng)的輸出方程，簡(jiǎn)寫成矢量方程即矩陣形式：(1.3.6)A為N×N階的系統(tǒng)系數(shù)矩陣，B為N×m階的輸入矩陣，C為r×N階的輸出矩陣，D為r×m階的直通矩陣。系統(tǒng)的方框圖如圖1.3.2所示。注意，輸入與輸出都是向量，表示多輸入多輸出系統(tǒng)。圖1.3.2離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的方框圖

【例1.3.2】

用狀態(tài)方程表示由如下差分方程描述的因果離散系統(tǒng)。

y(n)+0.2y(n－1)+0.4y(n－2)+0.5y(n－3)=0.7x(n)－0.6x(n－1)

解先對(duì)上式兩邊進(jìn)行Z變換，整理成按z降冪形式的系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)(當(dāng)然這一步也可以省，只是為了與標(biāo)準(zhǔn)形式相比較以寫出系數(shù)向量)。即系統(tǒng)狀態(tài)方程描述式為表示了一個(gè)3階的常系數(shù)離散系統(tǒng)。值得注意的是，矩陣A、B、C、D是不唯一的，也就是說，還可以有其他的A、B、C、D組合能表示這個(gè)差分方程。

1.4離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析

1.4.1離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)

在離散系統(tǒng)分析中，單位樣值響應(yīng)的概念非常重要，類似連續(xù)系統(tǒng)分析的單位沖激響應(yīng)。系統(tǒng)在松馳的零狀態(tài)下，因受δ(n)的激勵(lì)而產(chǎn)生的響應(yīng)稱為單位樣值響應(yīng)，記為h(n)，如圖1.4.1所示。圖1.4.1單位樣值響應(yīng)

h(n)揭示了系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特性，與輸入無關(guān)，可以根據(jù)它判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性、因果性等。對(duì)于【例1.3.2】所描述的系統(tǒng)，其h(n)可以用impz函數(shù)輕易得到，只要輸入如下語句：

impz(num，den，40)；%畫出h(n)的前40個(gè)值

例1.3.2離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)如圖1.4.2所示。圖1.4.2例1.3.2離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)1.4.2線性卷積

線性時(shí)不變系統(tǒng)的零狀態(tài)輸出可以通過系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)來求得，這是因?yàn)槿我饧?lì)序列x(n)都能分解成單位樣值δ(n)的加權(quán)和的形式：系統(tǒng)對(duì)于δ(n)的響應(yīng)是h(n)，由線性和時(shí)不變特性可知，系統(tǒng)對(duì)于x(i)δ(n－i)項(xiàng)的響應(yīng)就是x(i)h(n－i)，因此，全部累加起來就得到系統(tǒng)對(duì)于任意序列x(n)的響應(yīng)y(n)