2025屆山西省臨汾一中、翼城中學(xué)高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆山西省臨汾一中、翼城中學(xué)高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．總體由編號為01，02，...，39，40的40個個體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表（如表）第1行的第4列和第5列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（）A．23 B．21 C．35 D．322．在直三棱柱中，己知，，，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．3．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員?面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)?緊跟時代脈搏的熱門?該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”?“視聽學(xué)習(xí)”兩個學(xué)習(xí)模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項答題”?“挑戰(zhàn)答題”四個答題模塊?某人在學(xué)習(xí)過程中，“閱讀文章”不能放首位，四個答題板塊中有且僅有三個答題板塊相鄰的學(xué)習(xí)方法有（）A．60 B．192 C．240 D．4324．袋中裝有標(biāo)號為1，2，3，4，5，6且大小相同的6個小球，從袋子中一次性摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩個號碼的和是3的倍數(shù)，則獲獎，若有5人參與摸球，則恰好2人獲獎的概率是（）A． B． C． D．5．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AC⊥BE B．EF平面ABCDC．三棱錐A-BEF的體積為定值 D．異面直線AE,BF所成的角為定值6．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列的前n項和為，，且對于任意，滿足，則（）A． B． C． D．9．已知正項等比數(shù)列中，存在兩項，使得，，則的最小值是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)f(x)=xex2+axeA．1 B．-1 C．a(chǎn) D．-a11．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，每次正反面出現(xiàn)的概率相同，連續(xù)拋擲5次，至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，內(nèi)角所對的邊分別是.若，，則__，面積的最大值為___.14．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為________.15．能說明“若對于任意的都成立，則在上是減函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是________.16．兩光滑的曲線相切，那么它們在公共點處的切線方向相同．如圖所示，一列圓(an>0，rn>0，n=1，2…)逐個外切，且均與曲線y=x2相切，若r1=1，則a1=___，rn=______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，函數(shù)的最小值為.（1）求證：；（2）若恒成立，求實數(shù)的最大值.18．（12分）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：．19．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，已知．（1）若，，成等差數(shù)列，求的值；（2）是否存在滿足為直角？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．20．（12分）在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與交于、兩點，中點為，的垂直平分線交于、.以為坐標(biāo)原點，極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.（1）求的直角坐標(biāo)方程與點的直角坐標(biāo)；（2）求證：.21．（12分）直線與拋物線相交于，兩點，且，若，到軸距離的乘積為．（1）求的方程；（2）設(shè)點為拋物線的焦點，當(dāng)面積最小時，求直線的方程．22．（10分）表示，中的最大值，如，己知函數(shù)，.（1）設(shè)，求函數(shù)在上的零點個數(shù)；（2）試探討是否存在實數(shù)，使得對恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法的抽樣方法，確定選出來的第5個個體的編號.【詳解】隨機(jī)數(shù)表第1行的第4列和第5列數(shù)字為4和6，所以從這兩個數(shù)字開始，由左向右依次選取兩個數(shù)字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，…其中落在編號01，02，…，39，40內(nèi)的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重復(fù)的第5個編號為21.故選：B【點睛】本小題主要考查隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽樣，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

由條件可看出，則為異面直線與所成的角，可證得三角形中，，解得從而得出異面直線與所成的角．【詳解】連接，，如圖：又，則為異面直線與所成的角.因為且三棱柱為直三棱柱，∴∴面，∴，又，，∴，∴，解得.故選C【點睛】考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質(zhì)，考查了異面直線所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】

四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法．注意按“閱讀文章”分類．【詳解】四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數(shù)為．故選：C．【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，考查捆綁法和插入法求解排列問題．對相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法是解決這類問題的常用方法．4、C【解析】

先確定摸一次中獎的概率，5個人摸獎，相當(dāng)于發(fā)生5次試驗，根據(jù)每一次發(fā)生的概率，利用獨立重復(fù)試驗的公式得到結(jié)果．【詳解】從6個球中摸出2個，共有種結(jié)果，兩個球的號碼之和是3的倍數(shù)，共有摸一次中獎的概率是，5個人摸獎，相當(dāng)于發(fā)生5次試驗，且每一次發(fā)生的概率是，有5人參與摸獎，恰好有2人獲獎的概率是，故選：．【點睛】本題主要考查了次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率，考查獨立重復(fù)試驗的概率，解題時主要是看清摸獎5次，相當(dāng)于做了5次獨立重復(fù)試驗，利用公式做出結(jié)果，屬于中檔題．5、D【解析】

A．通過線面的垂直關(guān)系可證真假；B．根據(jù)線面平行可證真假；C．根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假；D．根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【詳解】A．因為，所以平面，又因為平面，所以，故正確；B．因為，所以，且平面，平面，所以平面，故正確；C．因為為定值，到平面的距離為，所以為定值，故正確；D．當(dāng)，，取為，如下圖所示：因為，所以異面直線所成角為，且，當(dāng)，，取為，如下圖所示：因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯誤.故選：D.【點睛】本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，難度較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內(nèi).6、A【解析】

由復(fù)數(shù)的運算法則計算．【詳解】因為，所以故選：A．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算．屬于簡單題．7、A【解析】

分析可得,顯然在上恒成立,只需討論時的情況即可,,然后構(gòu)造函數(shù),結(jié)合的單調(diào)性,不等式等價于,進(jìn)而求得的取值范圍即可.【詳解】由題意,若,顯然不是恒大于零,故.,則在上恒成立;當(dāng)時,等價于,因為,所以.設(shè),由,顯然在上單調(diào)遞增,因為,所以等價于,即,則.設(shè),則.令,解得,易得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,從而，故.故選:A.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題,利用函數(shù)單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵,考查了學(xué)生的推理能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項公式，然后求解數(shù)列的和，判斷選項的正誤即可．【詳解】當(dāng)時，．所以數(shù)列從第2項起為等差數(shù)列，，所以，，．，，．故選：．【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．9、C【解析】

由已知求出等比數(shù)列的公比，進(jìn)而求出，嘗試用基本不等式，但取不到等號，所以考慮直接取的值代入比較即可.【詳解】，，或（舍）.，，.當(dāng)，時；當(dāng)，時；當(dāng)，時，，所以最小值為.故選:C.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算及最小值，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

令xex=t，構(gòu)造g(x)=xex，要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個不同的零點x1,x2,【詳解】令xex=t，構(gòu)造g(x)=xex，求導(dǎo)得g'(x)=故g(x)在-∞,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，且x<0時，g(x)<0，x>0時，g(x)>0，g(x)max=g(1)=1e，可畫出函數(shù)g(x)的圖象（見下圖），要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個不同的零點x1,x若a>0，即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4，即t1+t2=-a>4t1故選A.【點睛】解決函數(shù)零點問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.11、A【解析】

將整理成的形式，得到復(fù)數(shù)所對應(yīng)的的點，從而可選出所在象限.【詳解】解：，所以所對應(yīng)的點為在第一象限.故選:A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算，考查了復(fù)數(shù)對應(yīng)的坐標(biāo).易錯點是誤把當(dāng)成進(jìn)行計算.12、A【解析】

首先求出樣本空間樣本點為個，再利用分類計數(shù)原理求出三個正面向上為連續(xù)的3個“1”的樣本點個數(shù)，再求出重復(fù)數(shù)量，可得事件的樣本點數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】樣本空間樣本點為個，具體分析如下：記正面向上為1，反面向上為0，三個正面向上為連續(xù)的3個“1”，有以下3種位置1____，__1__，____1．剩下2個空位可是0或1，這三種排列的所有可能分別都是，但合并計算時會有重復(fù)，重復(fù)數(shù)量為，事件的樣本點數(shù)為：個．故不同的樣本點數(shù)為8個，.故選：A【點睛】本題考查了分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，古典概型的概率計算公式，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

由正弦定理，結(jié)合，，可求出；由三角形面積公式以及角A的范圍,即可求出面積的最大值.【詳解】因為，所以由正弦定理可得，所以;所以，當(dāng)，即時，三角形面積最大.故答案為(1).1(2).【點睛】本題主要考查解三角形的問題，熟記正弦定理以及三角形面積公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.14、3【解析】

作出可行域,可得當(dāng)直線經(jīng)過點時,取得最大值,求解即可.【詳解】作出可行域（如下圖陰影部分）,聯(lián)立,可求得點,當(dāng)直線經(jīng)過點時,.故答案為:3.【點睛】本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.15、答案不唯一，如【解析】

根據(jù)對基本函數(shù)的理解可得到滿足條件的函數(shù).【詳解】由題意，不妨設(shè)，則在都成立，但是在是單調(diào)遞增的，在是單調(diào)遞減的，說明原命題是假命題.所以本題答案為，答案不唯一，符合條件即可.【點睛】本題考查對基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)的理解，關(guān)鍵是假設(shè)出一個在上不是單調(diào)遞減的函數(shù)，再檢驗是否滿足命題中的條件，屬基礎(chǔ)題.16、【解析】

第一空：將圓與聯(lián)立，利用計算即可；第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系，再將與聯(lián)立，得到，與結(jié)合可得為等差數(shù)列，進(jìn)而可得.【詳解】當(dāng)r1=1時，圓，與聯(lián)立消去得，則，解得；由圖可知當(dāng)時，①，將與聯(lián)立消去得，則，整理得，代入①得，整理得，則.故答案為：；.【點睛】本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題，關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系，建立遞推式，由遞推式求通項公式，綜合性較強(qiáng)，是一道難度較大的題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）最大值為.【解析】

（1）將函數(shù)表示為分段函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出該函數(shù)的最小值，進(jìn)而可證得結(jié)論成立；（2）由可得出，并將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，進(jìn)而可得出實數(shù)的最大值.【詳解】（1）.當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，則；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，則；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，則.綜上所述，，所以；（2）因為恒成立，且，，所以恒成立，即.因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，實數(shù)的最大值為.【點睛】本題考查含絕對值函數(shù)最值的求解，同時也考查了利用基本不等式恒成立求參數(shù)，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.18、（1）（2）證明見解析【解析】

（1），①當(dāng)時，，②兩式相減即得數(shù)列的通項公式；（2）先求出，再利用裂項相消法求和證明.【詳解】（1）解：，①當(dāng)時，．當(dāng)時，，②由①-②，得，因為符合上式，所以．（2）證明：因為，所以．【點睛】本題主要考查數(shù)列通項的求法，考查數(shù)列求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.19、見解析【解析】

（1）因為，，成等差數(shù)列，所以，由余弦定理可得，因為，所以，即，所以．（2）若B為直角，則，，由及正弦定理可得，所以，即，上式兩邊同時平方，可得，所以（*）．又，所以，，所以，與（*）矛盾，所以不存在滿足為直角．20、（1），；（2）見解析.【解析】

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程變形為，再由可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，求出點、的坐標(biāo)，即可得出線段的中點的坐標(biāo)；（2）求得，寫出直線的參數(shù)方程，將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程可化為，即，將代入曲線的方程得，所以，曲線的直角坐標(biāo)方程為.將直線的極坐標(biāo)方程化為普通方程得，聯(lián)立，得或，則點、，因此，線段的中點為；（2）由（1）得，，易知的垂直平分線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入的普通方程得，，因此，.【點睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時也考查了直線參數(shù)幾何意義的應(yīng)用，涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.21、（1）；（2）【解析】

（1）設(shè)出兩點的坐標(biāo)，由距離之積為16，可得.利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)運算，將轉(zhuǎn)化為.再利用兩點均在拋物線上，即可求得p的值，從而求出拋物線的方程；（2）設(shè)出直線l的方程，代入拋物線方程，由韋達(dá)定理發(fā)現(xiàn)直線l恒過定點，將面積用參數(shù)t表示，求出其最值，并得出此時的直線方程.【詳解】解：（1）由題設(shè)，因為，到軸的距離的積為，所以，又因為，，，所以拋物線的方程為．（2）因為直線與拋物線兩個公共點，所以的斜率不為，所以設(shè)聯(lián)立，得，即，，即直線恒過定點，所以，當(dāng)時，面積取得最小值，此時.【點睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與拋物線相交的問題，其中垂直條件的轉(zhuǎn)化，直線過定點均為該題的關(guān)鍵，屬于綜合性較強(qiáng)的題.22、（1）個；（1）存在，.【解析】試題分析：（1）設(shè)，對其求導(dǎo)，及最小值，從而得到的解析式，進(jìn)一步求值域即可；（1）分別對和兩種情況進(jìn)行討論，得到的解析式，進(jìn)一步構(gòu)造，