滬科版九年級(jí)上冊(cè)二次函數(shù)最值問題提升練習(xí)

二次函數(shù)最值問題提升練習(xí)1．（2022·日照）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=-x2+2mx+3m，點(diǎn)A（3，0）．（1）當(dāng)拋物線過點(diǎn)A時(shí)，求拋物線的解析式；（2）證明：無(wú)論m為何值，拋物線必過定點(diǎn)D，并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（1）的條件下，拋物線與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P是拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，連接AB，PD交于點(diǎn)M，PD與y軸交于點(diǎn)N．設(shè)S=2．（2022·朝陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）如圖，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ長(zhǎng)度的最大值．（3）動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BC上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BO上由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．（2022·廣安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax（1）求此拋物線的函數(shù)解析式.（2）點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、BD，探究是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（3）點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).4．（2022九上·舟山期中）已知拋物線y=ax2?3ax?4a（1）若S△ABC（2）若a=1，過點(diǎn)P作直線垂直于x軸，交BC于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）直線AP交y軸于點(diǎn)M，直線BP交y軸于點(diǎn)N，求4OM+ONOC5.（202九上·溫州月考）如圖1，拋物線y=a與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為拋物線第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PF，AF（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，-4），求出此時(shí)△AFP面積的最大值；（3）如圖2，是否存在點(diǎn)F，使得△AFP是以AP為腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.6.（2021九上·泗水期中）如圖，拋物線y=a求拋物線解析式平行于x軸的直線y=-14與拋物線分別交于D,E，求線段DE的長(zhǎng).點(diǎn)P是線段OB上一點(diǎn)（不與B,O重合），過點(diǎn)P作PM⊥x軸交拋物線于點(diǎn)M,連接CM、BM,求△BCM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)。7.（2022九上·鄞州月考）如圖，已知拋物線y=a（1）求拋物線的表達(dá)式（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,求△PAD周長(zhǎng)的最小值；（3）拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)△MAD是等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)8.（2021九上·歷下期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系XOY中，拋物線y=a（1）求拋物線的解析式（2）如圖1，點(diǎn)P為BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP、CP，當(dāng)S△（3）如圖2，點(diǎn)N為線段OC上一點(diǎn)，求AN+9、（2021九上·興寧期末）如圖，拋物線y=a求拋物線的解析式點(diǎn)P是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)E,求線段PE最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)D,使得以點(diǎn)A、C、D、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形、如果存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.10、(2021九上·萊蕪期末）如圖，已知拋物線于x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于C(0,3).求拋物線的解析式點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與C、B不重合）.過點(diǎn)D作DF⊥X軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DM⊥BC,垂足為M,求線段DM的最大值；已知點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△PBC是直角三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).答案解析部分1．（2022·日照）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=-x2+2mx+3m，點(diǎn)A（3，0）．（1）當(dāng)拋物線過點(diǎn)A時(shí)，求拋物線的解析式；（2）證明：無(wú)論m為何值，拋物線必過定點(diǎn)D，并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（1）的條件下，拋物線與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P是拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，連接AB，PD交于點(diǎn)M，PD與y軸交于點(diǎn)N．設(shè)S=【答案】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，-9+6m+3m=0，∴m=1，∴y=-x2+2x+3；（2）證明：∵y=-x2+m（2x+3），∴當(dāng)2x+3=0時(shí)，即x=?32時(shí)，y=?94，（3）解：如圖，連接OP，設(shè)點(diǎn)P（m，-m2+2m+3），設(shè)PD的解析式為：y=kx+b，∴?32k+b=?9∴PD的解析式為：y＝?12(2m?7)x?32m+3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝?32∵S=S△PAM-S△BMN，∴S=（S△PAM+S四邊形AONM）－（S四邊形AONM+S△BMN）=S四邊形AONP-S△AOB，∵S四邊形AONP當(dāng)x＝0時(shí)，y=-x2+2x+3＝3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），OB＝3，S△AOB=12×32=∴當(dāng)m=1時(shí)，S最大=94，當(dāng)m=1時(shí)，?m【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問題2．（2022·朝陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）如圖，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ長(zhǎng)度的最大值．（3）動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BC上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BO上由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）解：把點(diǎn)A(1，0)，C(0，﹣3)代入y=axc=?3a+2×1+c=0，解得：c=?3∴拋物線解析式為y=x令y=0，則x2解得：x1∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0）（2）解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0)，把點(diǎn)B（-3，0），C(0，﹣3)代入得：b=?3?3k+b=0，解得：k=?1∴直線BC的解析式為y=?x?3，設(shè)點(diǎn)P(m，?m+3)，則∴PQ=(?m?3)?(m∴當(dāng)m=?32（3）解：存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(?3，?3【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問題【解析】【解答】（3）解：存在，根據(jù)題意得：PC=2t，如圖，當(dāng)BM=PM時(shí)，∵B（-3，0），C（0，-3），∴OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，延長(zhǎng)NP交y軸于點(diǎn)D，∵點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，∴PN∥x軸，BN∥PM，即DN⊥y軸，∴△CDP為等腰直角三角形，∴CD=PD=PC?sin∵BM=PM，∴∠MPB=∠OBC=45°，∴∠PMO=∠PDO=∠MOD=90°，∴四邊形OMPD是矩形，∴OM=PD=t，MP⊥x軸，∴BN⊥x軸，∵BM+OM=OB，∴t+t=3，解得t=3∴P(?3∴N(?3，如圖，當(dāng)PM=PB時(shí)，作PD⊥y軸于D，連接PN，∵點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，∴PN⊥BM，NE=PE，∴BM=2BE，∴∠OEP=∠DOE=∠ODP=90°，∴四邊形PDOE是矩形，∴OE=PD=t，∴BE=3-t，∴t=2（3-t），解得：t=2，∴P（-2，-1），∴N（-2，1）；如圖，當(dāng)PB=MB時(shí)，32?2∴PN=BP=BM=6?32過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，∴PE⊥PM，∴∠EON=∠OEP=∠EPN=90°，∴四邊形OEPN為矩形，∴PN=OE，PN⊥y軸，∵∠OBC=45°，∴BE=PE=PB?sin∴OE=OB?BE=3?(32∴點(diǎn)N在y軸上，∴N(0，綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(?3，?33．（2022·廣安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax（1）求此拋物線的函數(shù)解析式.（2）點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、BD，探究是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（3）點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】（1）解：將B（0，-4），C（2，0）代入y=ax得：m=?44a+2+m=0解得：m=?4a=∴拋物線的函數(shù)解析式為：y=1（2）解：向下平移直線AB，使平移后的直線與拋物線只有唯一公共點(diǎn)D時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D到直線AB的距離最大，此時(shí)△ABD的面積最大，∵12x2+x?4=0時(shí)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-4，0），設(shè)直線AB關(guān)系式為：y=kx+b（k≠0），將A（-4，0），B（0，-4），代入y=kx+b（k≠0），得：?4k+b=0b=?4解得：k=?1b=?4∴直線AB關(guān)系式為：y=?x?4，設(shè)直線AB平移后的關(guān)系式為：y=?x?4+n，則方程?x?4+n=1即12∴n=?2，即12將x=-2代入拋物線解析式得，y=1∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（-2，-4）時(shí)，△ABD的面積最大；（3）解：①當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，即PA⊥AB，則設(shè)PA所在直線解析式為：y=x+z，將A（-4，0）代入y=x+z得，?4+z=0，解得：z=4，∴PA所在直線解析式為：y=x+4，∵拋物線對(duì)稱軸為：x=-1，∴當(dāng)x=-1時(shí)，y=?1+4=3，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，3）；②當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，即PB⊥AB，則設(shè)PB所在直線解析式為：y=x+t，將B（0，-4）代入y=x+t得，t=?4，∴PA所在直線解析式為：y=x?4，∴當(dāng)x=-1時(shí)，y=?1?4=?5，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，-5）；③當(dāng)∠APB=90°時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為：(?1，y∴PA所在直線斜率為：yp3，PB在直線斜率為：∵PA⊥PB，∴yp解得：yp1=?2+7∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：(?1，?2+7)綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，3），（-1，-5），(?1，?2+7)，【知識(shí)點(diǎn)】?jī)梢淮魏瘮?shù)圖象相交或平行問題；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用4（2022九上·舟山期中）已知拋物線y=ax2?3ax?4a（1）若S△ABC（2）若a=1，過點(diǎn)P作直線垂直于x軸，交BC于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）直線AP交y軸于點(diǎn)M，直線BP交y軸于點(diǎn)N，求4OM+ONOC【答案】（1）解：令y=0，得ax2?3ax?4a=0，解得：x∵y=ax2?3ax?4a∴A（?1，0），B（4，0），C（0，?4a），AB=5，∵S△ABC=5，解得：a=1（2）解：當(dāng)a=1時(shí)，拋物線為y=x將點(diǎn)B（4，0）、C（0，?4）的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式可求得：直線BC的表達(dá)式為：y=x?4，設(shè)點(diǎn)P（t，t2?3t?4）∴PQ=（t?4）?（t∴當(dāng)t=2時(shí)，PQ有最大值4，此時(shí)點(diǎn)P（2，?6）；（3）解：由（1）知：A（?1，0）、B（4，0）、C（0，?4a），設(shè)點(diǎn)P（m，am將點(diǎn)P、A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線PA的表達(dá)式為：y=a（m?4）x+a（m?4），故OM=?a（m?4），同理，直線BP為y=a（m＋1）x?4a（m＋1），ON=4a（m+1），∴4OM＋ON=?4a（m?4）＋4a（m＋1）=20a，∵C（0，?4a），∴OC=4a，∴4OM+ONOC【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形的面積；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用5（2021九上·溫州月考）如圖1，拋物線y=a與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為拋物線第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PF，AF（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，-4），求出此時(shí)△AFP面積的最大值；（3）如圖2，是否存在點(diǎn)F，使得△AFP是以AP為腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）將A(3,0），B(-1,0）代入y=a由題意得9a+3b+3=0解得a=?1∴拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)為y（2）∵P為拋物線第一象限上的動(dòng)點(diǎn)∴設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m連接PO,PA∵S△AOP=1S△BOP=S△FOP=12∴S△AFP==?32m2∵a=?∴拋物線開口向下，函數(shù)有最大值∵0＜m∴當(dāng)m=13時(shí)，△AFP面積的最大值為（3）過P點(diǎn)作PD⊥X軸，垂足為D設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n則PD當(dāng)△AFP是以AP為腰的等腰直角三角形時(shí)，①若∠PAF=90°由題意得Rt△ADP≌Rt△AOF∴PD=AO=3∴?n解得n=0(不合題意，舍去）或n=2則OF=AD=OA-OD=1且點(diǎn)F在y軸上∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，-1）DD②若∠APF=90°時(shí)過點(diǎn)P分別向x軸，y軸作PR⊥x軸，PQ⊥y軸易證Rt△PQF≌Rt△PRA∴PQ=PR則n解得n=1?13當(dāng)n=1+132時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)（1+13∴OF=AR=OA?OR=3?∴F（0RPQFRPQF6（2021九上·泗水期中）如圖，拋物線y=a求拋物線解析式平行于x軸的直線y=-14與拋物線分別交于D,E，求線段DE的長(zhǎng).點(diǎn)P是線段OB上一點(diǎn)（不與B,O重合），過點(diǎn)P作PM⊥x軸交拋物線于點(diǎn)M,連接CM、BM,求△BCM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)。【答案】將A(-1,0)，C(0,4)代入y=a由題意得a?b?4解得a=?1∴拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)為y聯(lián)立y由題意得?x解得x∴DE=x2-x線段DE的長(zhǎng)為9設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m∵PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)M∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(m,?m設(shè)直線BC的解析式為y將C(0,4)，B(4,0)代入y=kx+b解得k=-1,b=4∴y=-x+4令PM與直線BC相交于點(diǎn)E則E(m∴ME=?m2+3m∴S△BCM=S△BOM+S△C=?∵?1拋物線開口向下，有最大值當(dāng)m=2時(shí)，△BCM面積的最大值為2，點(diǎn)M(2,4)7（2022九上·鄞州月考）如圖，已知拋物線y=a求拋物線的表達(dá)式拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,求△PAD周長(zhǎng)的最小值；拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)△MAD是等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)【答案】（1）y（2）3（3）?1，?1或?1，68（2021九上·歷下期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系XOY中，拋物線y=a求拋物線的解析式如圖1，點(diǎn)P為BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP、CP，當(dāng)S△如圖2，點(diǎn)N為線段OC上一點(diǎn)，求AN+【答案】已知OA=1，OB=4OA,由題意可知A