【模塊1】（數(shù)與式）學(xué)生版

模塊一數(shù)與式

第一講實(shí)數(shù)

知識(shí)梳理夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)1：實(shí)數(shù)的分類

正整數(shù)

整數(shù)零無(wú)理數(shù)的幾種常見(jiàn)形式

有理數(shù)負(fù)整數(shù)(1)開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)的方根,如7，32，12等;

實(shí)數(shù)正分?jǐn)?shù)(2)π及化簡(jiǎn)后含π的數(shù);

分?jǐn)?shù)有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)(3)構(gòu)造型的數(shù),如0.1010010001…(相鄰兩個(gè)1

正無(wú)理數(shù)之間依次多一個(gè)0)等;

無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)(4)某些三角函數(shù)值,如sin60°,cos45°等.

負(fù)無(wú)理數(shù)

正實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)零

負(fù)實(shí)數(shù)

知識(shí)點(diǎn)2：實(shí)數(shù)的相關(guān)概念

1、數(shù)軸

（1）數(shù)軸的三要素:原點(diǎn)、和。例：

（2）實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)。

2、相反數(shù)

（1）定義：只有不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。

（2）a的相反數(shù)是，特殊地，0的相反數(shù)是。

（3）實(shí)數(shù)a，b互為相反數(shù)ab0。

（4）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

3、絕對(duì)值

（1）定義：在數(shù)軸上，表示數(shù)a的點(diǎn)到的距離，叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作a。

a0

若a0，則a

（2）aa0或

若a0，則a

a0

4、倒數(shù)

（1）定義：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積為，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)互為倒數(shù)。

（2）實(shí)數(shù)a，b互為倒數(shù)ab1。

（3）非零實(shí)數(shù)a的倒數(shù)為，0沒(méi)有倒數(shù)，倒數(shù)等于它本身的數(shù)是。

知識(shí)點(diǎn)3：科學(xué)計(jì)數(shù)法

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為，其中1a10，n為整數(shù)。

用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較大的數(shù)：當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)

減去1；

用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較小的數(shù)：當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，n是一個(gè)負(fù)整數(shù)，它的絕對(duì)值

等于原數(shù)左起第一個(gè)非零數(shù)字前面零的個(gè)數(shù)(含整數(shù)位上的零)。

第1頁(yè)共23頁(yè).

溫馨提示：

將含有計(jì)數(shù)（量）單位的數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí),應(yīng)先把計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化為數(shù)字，

把計(jì)量單位轉(zhuǎn)化為題目要求的單位，再用科學(xué)記數(shù)法來(lái)表示。?？嫉挠?jì)數(shù)單位

有：1千=103，1萬(wàn)=104，1億=108；?？嫉挠?jì)量單位有：1mm=10-3m，1m106m，

1nm109m等。

知識(shí)點(diǎn)4：近似數(shù)

1、定義：一個(gè)與很接近的數(shù)叫做近似數(shù)。

2、精確度：一般由“四舍五入”法取近似數(shù)，“四舍五入”到哪一位,就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到

哪一位。

知識(shí)點(diǎn)5：平方根、算術(shù)平方根與立方根

名稱定義性質(zhì)

一般地,如果一個(gè)數(shù)的

一個(gè)正數(shù)a的平方根有兩個(gè)，它們互

平方等于aa0，那么

平方根為；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平

這個(gè)數(shù)就叫做a的平方方根。

根。

算術(shù)平當(dāng)a0時(shí),是有意義的，一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)；0的算術(shù)

方根它表示a的算術(shù)平方根.平方根是，即0=。

一般地，如果一個(gè)數(shù)的正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是

立方根立方等于a，那么這個(gè)數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)；0的立方根是0。立方根具有唯一

就叫做a的立方根.性。

易失分點(diǎn)a的“雙重非負(fù)性”

a具有雙重非負(fù)性:①被開(kāi)方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù),即a≥0;②a是非負(fù)數(shù),即a≥0。

知識(shí)點(diǎn)6：實(shí)數(shù)的運(yùn)算

1、加、減、乘、除、乘法的運(yùn)算法則

（1）加法法則：

同號(hào)兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；

絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕

對(duì)值，互為相反數(shù)的兩數(shù)相加和為零；

一個(gè)數(shù)與零相加，仍得這個(gè)數(shù)。

（2）減法法則：

減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

（3）乘法法則：

兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；

任何數(shù)與0相乘仍得0。

（4）除法法則：

除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

（5）幾種常見(jiàn)的運(yùn)算：

乘方：anaa…a（n個(gè)a相乘）

第2頁(yè)共23頁(yè).

零次冪：任何非零數(shù)的零次冪都為1，即a01a0

-1的奇、偶次冪：-1的偶次冪為1，奇次冪為-1。

負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：任何不為零的數(shù)的-p(p為正整數(shù))次冪，等于這個(gè)數(shù)p次冪的倒數(shù)；特別地，一個(gè)

11

不為零的數(shù)的-1次冪是其倒數(shù)。即ap（a0，p為正整數(shù)），a1a0

apa

2、運(yùn)算律：

(1)加法運(yùn)算律

加法交換律:abba；

加法結(jié)合律:abcabc。

(2)乘法運(yùn)算律

乘法交換律:abba；

乘法結(jié)合律:abcabc；

分配律:abcabac。

3、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序

(1)計(jì)算每一小項(xiàng)的值(如零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、開(kāi)方、絕對(duì)值、乘方等)；

(2)根據(jù)原式中的運(yùn)算符號(hào)進(jìn)行實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算(先乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的，同級(jí)運(yùn)

算按照從左到右的順序進(jìn)行)；

(3)寫出算式的結(jié)果。

知識(shí)點(diǎn)7：實(shí)數(shù)的大小比較

數(shù)軸法將兩個(gè)數(shù)表示在同一數(shù)軸上，右邊點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊點(diǎn)表示的數(shù)大。

正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的

類別法

反而小。

設(shè)，是兩個(gè)任意實(shí)數(shù)，則；；

差值法abab0abab0ab

ab0ab

平方法若ab≥0，則ab(用于二次根式的估值及含有根式的實(shí)數(shù)的大小比較).

a

作商法1?若b>0，則a>b；若b<0，則a<b.

b

估算法對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a，b，先估算出a，b兩數(shù)的范圍，再進(jìn)行比較.

把要比較的兩個(gè)數(shù)進(jìn)行適當(dāng)放大或縮小，使復(fù)雜的問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，來(lái)達(dá)到比較

放縮法

兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的目的.

直擊中考勝券在握

31

1．實(shí)數(shù)tan45°，，0，5，，3，sin60°，0．3131131113…（相鄰兩個(gè)3之間依次多一個(gè)1），其中

3

無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是（8）9

A．4B．3C．2D．1

2．（2021·山東·膠州市初級(jí)實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）38的相反數(shù)（）

1

A．B．2C．2D．

22

第3頁(yè)共23頁(yè).

3．（2021·廣東·珠海市文園中學(xué)三模）實(shí)數(shù)-3的絕對(duì)值是（）

1

A．3B．3C．3D．

3

4．（2019·山東·寧津縣育新中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）下列說(shuō)法①﹣5的絕對(duì)值是5；②﹣1的相反數(shù)是1；③0的

1

倒數(shù)是0；④64的立方根是±4，⑤是無(wú)理數(shù)，⑥4的算術(shù)平方根是2，其中正確的個(gè)數(shù)為（）

3

A．2B．3C．4D．5

5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）下列各數(shù)：4，2.8，0，4，其中比3小的數(shù)是（）

A．4B．4C．0D．2.8

27

6．（2020·陜西·一模）﹣的立方根是（）

64

3349

A．﹣B．C．﹣D．

48916

7．（2021·四川涼山·中考真題）81的平方根是（）

A．3B．3C．9D．9

8．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．如果ab0，那么下列結(jié)論

正確的是（）

a

A．a(chǎn)cB．a(chǎn)c0C．a(chǎn)bc0D．1

b

9．下面不等式正確的是（）

2313

A．B．C．(8)2(7)2D．0.911.1

34611

10．（2019·天津?yàn)I海新·中考模擬）若a30，b6，c365則下列關(guān)系正確的為()

A．a(chǎn)bcB．cbaC．bacD．bca

11．（2019·福建南安·中考模擬）已知m2＝4+23，則以下對(duì)|m|的估算正確的（）

A．2＜|m|＜3B．3＜|m|＜4C．4＜|m|＜5D．5＜|m|＜6

12．設(shè)a為最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c是絕對(duì)值最小的數(shù)，d是倒數(shù)等于自身的有理數(shù)，則a-b+c-d

的值為（）

A．1B．3C．1或3D．2或-1

13．（2020濱州中考）冠狀病毒的直徑約為80～120納米，1納米＝1.0109米，若用科學(xué)記數(shù)法表示110納

米，則正確的結(jié)果是（）

A．1.1109米B．1.1108米C．1.1107米D．1.1106米

14．第七次全國(guó)人口普查結(jié)果顯示，我國(guó)具有大學(xué)文化程度的人口超218000000人．?dāng)?shù)據(jù)218000000用科學(xué)記

數(shù)法表示為（）

A．218106B．21.8107C．2.18108D．0.218109

15．（2021·江蘇儀征·八年級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是（）

A．近似數(shù)4.80精確到十分位

第4頁(yè)共23頁(yè).

B．近似數(shù)5000萬(wàn)精確到個(gè)位

C．近似數(shù)4.51萬(wàn)精確到0.01

D．1.15×104精確到百位

2511

16．（2021·山東膠州·八年級(jí)期中）比較大?。篲__．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）

33

17．（2021·浙江·杭州第十四中學(xué)附屬學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，e是12

的整數(shù)部分，f是5的小數(shù)部分，則代數(shù)式abcdef的值是___．

18．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在如圖所示的數(shù)軸上，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，C、A兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別

是5和1，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為_(kāi)_．

19．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，實(shí)數(shù)5，15，m在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，點(diǎn)B關(guān)于原

點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為D．若m為整數(shù)，則m的值為_(kāi)_______．

20．（2021·江蘇溧陽(yáng)·七年級(jí)期中）數(shù)軸上有兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b，且a>0，b＜0，a+b＜0，則四個(gè)數(shù)a，b，-a，-b的大

小關(guān)系為_(kāi)___（用“＜”號(hào)連接）．

21．（2021·麗水中考）計(jì)算：|2021|(3)04．

2021

22．（2021·金華）計(jì)算：1+84sin45+2．

2

01

23．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：|12|2sin45(3.14)．

2

11

24．（2019·四川達(dá)州·中考真題）a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為1，

1a12

11

1的差倒數(shù)，已知a5，a是a的差倒數(shù)，a是a的差倒數(shù)，a是a的差倒數(shù)…，依此類推，a2019的

1(1)21213243

值是（）

144

A．5B．C．D．

435

第5頁(yè)共23頁(yè).

25．觀察下列等式：

211

第一個(gè)等式：a；

113222221221

211

第二個(gè)等式：a；

213222(22)2221231

211

第三個(gè)等式：a；

313232(23)2231241

211

第四個(gè)等式：a；

413242(24)2241251

按上述規(guī)律，回答下列問(wèn)題：

（1）請(qǐng)寫出第六個(gè)等式：a6==；

（2）用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：an==；

（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=（得出最簡(jiǎn)結(jié)果）；

（4）計(jì)算：a1+a2+…+an．

模塊一數(shù)與式

第二講整式與因式分解

知識(shí)梳理夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)1：整式的相關(guān)概念

1、單項(xiàng)式：

用數(shù)字或字母的表示的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)字或字母也是單項(xiàng)式。

(1)單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的。

(2)一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母指數(shù)的叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。

2、多項(xiàng)式：

幾個(gè)單項(xiàng)式的叫做多項(xiàng)式。其中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫

做。

一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，這個(gè)多項(xiàng)式就是幾項(xiàng)式，多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)

式的次數(shù)。

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

知識(shí)點(diǎn)2：整式的運(yùn)算

1.加減運(yùn)算

(1)整式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是、合并同類項(xiàng)。

(2)同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，所有的常數(shù)項(xiàng)都是同

類項(xiàng)。

第6頁(yè)共23頁(yè).

合并同類項(xiàng)的法則:同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的不變。

去括號(hào)法則:

如果括號(hào)前面是“+”，去括號(hào)時(shí)括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都不改變符號(hào)；

如果括號(hào)前面是“-”，去括號(hào)時(shí)括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都改變符號(hào)。

添括號(hào)法則:

所添括號(hào)前面是“+”,括到括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都不改變符號(hào)；

所添括號(hào)前面是“-”，括到括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都改變符號(hào)。

2、重要公式：

常用變形：

222

完全平方公式：abab2ab222222

aba+b2aba+bab+2ab

22

平方差公式：ababab2222

a+b=ab+4abab=ab4ab

3、冪的運(yùn)算

性質(zhì)1、同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。amanamn（m，n為正整數(shù)）

nm

性質(zhì)2、冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。amamnan（m，n為正整數(shù)）

n

性質(zhì)3、積的乘方等于各因式乘方的積。abanbn（m，n為正整數(shù)）

性質(zhì)4、同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減。amanamn（a0，mn）

4、乘法運(yùn)算

單項(xiàng)式與單項(xiàng)單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)

式的乘法法則單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)。

單項(xiàng)式與多項(xiàng)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式分別去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積

式的乘法法則相加，如m(a+b+c)=。

多項(xiàng)式與多項(xiàng)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的

式的乘法法則每一項(xiàng)，再把所得的積，如(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.

知識(shí)點(diǎn)3：代數(shù)式及其求值

用加、減、乘、除及乘方等運(yùn)算符號(hào)把連接而成的式子，叫做代數(shù)式。

代數(shù)式求值：

①直接代入法：把已知字母的值代入代數(shù)式，并按原來(lái)的運(yùn)算順序計(jì)算求值。

②化簡(jiǎn)后求值：先對(duì)所求代數(shù)式進(jìn)行去括號(hào)、合并同類項(xiàng)等化簡(jiǎn)，在把已知字母的值帶入化簡(jiǎn)后的

代數(shù)式計(jì)算求值。

③整體代入法：先觀察已知條件和所求代數(shù)式的關(guān)系，再將所求代數(shù)式變形(一般會(huì)用到提公因式、

平方差公式、完全平方公式)，最后把已知代數(shù)式看成一個(gè)整體代入變形后的代數(shù)式中求值。

知識(shí)點(diǎn)4：因式分解

1、定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的的形式，叫做因式分解。

2、方法

(1)提公因式法

(2)公式法

3.因式分解的步驟（注意：因式分解一定要分解到底）

(1)多項(xiàng)式為兩項(xiàng)或三項(xiàng)時(shí)，步驟如下:

第7頁(yè)共23頁(yè).

十字相乘法：

頭尾分解，交叉相

乘，求和湊中，觀

察實(shí)驗(yàn)。

(2)多項(xiàng)式為四項(xiàng)及以上時(shí)，通常需先分組，分組后再利用提公因式法或公式法進(jìn)行分解。

直擊中考勝券在握

ab2c3

1．單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)分別是（）

3

1

A．-1和5B．和6C．-和5D．-和6

333

2．（2021·黑龍江·哈爾濱市第十七中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（）

A．a(chǎn)-3?a2＝a5B．（x3）3＝x6

C．x5+x5＝x10D．（﹣a2b）5＝﹣a10b5

1

3．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算(mn3)2n2的結(jié)果是（）

2

111

A．4m2n6B．﹣m2n4C．m2n4D．﹣m5n4

444

4．（2021·山東泰安·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

3

A．2x23x35x5B．2x6x3

2

C．xyx2y2D．3x223x49x2

5．（2021·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）下列運(yùn)算中，正確的是（）

343

A．a(chǎn)3a2a6B．a(chǎn)2a5a10C．2a316a12D．a(chǎn)b2a3b6

6．（甘肅省天水市秦安縣古城農(nóng)業(yè)中學(xué)2019-2020學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，將圖1中陰影部分無(wú)

重疊、無(wú)縫隙地拼成圖2，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積關(guān)系得到的等式是()

A．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b)B．a(chǎn)2＋2ab＋b2＝(a＋b)2

C．a(chǎn)2－2ab＋b2＝(a－b)2D．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab

7．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方體的每條棱上放置相同數(shù)目的小球，設(shè)每條棱上的小球數(shù)為m，下

列代數(shù)式表示正方體上小球總數(shù)，則表達(dá)錯(cuò)誤的是（）

第8頁(yè)共23頁(yè).

A．12(m1)B．4m8(m2)C．12(m2)8D．12m16

8．（2021·山西襄汾·八年級(jí)期中）若2021m5，2021n8，則20212mn（）

258

A．B．2C．3D．

825

9．（2021·山東惠民·八年級(jí)階段練習(xí)）下列計(jì)算中錯(cuò)誤的是（）

A．(ab)(ba)a2b2B．(ab)(ab)a2b2

C．(ab)(ba)a22abb2D．(ab)2(ab)24ab

1

10．（2021·上海松江·七年級(jí)期中）已知xy2，xy，那么x3y3x2y2xy3的值為（）

2

1313

A．3B．6C．D．

24

2

11．如果m2m5，那么代數(shù)式mm2m2的值為（）

A．-6B．-1C．9D．14

12．（2021·遼寧鐵西·八年級(jí)期中）若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，則a+b﹣c的值是（）

A．2B．5C．20D．9

13．（2021·黑龍江佳木斯·八年級(jí)期末）已知4x2mxy9y2是完全平方式，則m的值為（）

A．6B．6C．12D．12

14．（2021·湖北天門·八年級(jí)階段練習(xí)）下列因式分解正確的是（）

A．2a24aa(2a4)B．9x24y2(9x4y)(9x4y)

C．x2x2x(x1)2D．m26m9(m3)2

22021

15．（2021·廣西福綿·七年級(jí)期中）若單項(xiàng)式2xmy和xyn3是同類項(xiàng)，則mn的值為（）

3

A．-1B．1C．32021D．32021

16．如圖,是一個(gè)正方形與一個(gè)直角三角形所拼成的圖形,則該圖形的面積為()

2222

21mnmmmnmn

A．mmnB．C．D．

2222

17．（江西省宜春市豐城市2019-2020學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)，將兩張邊長(zhǎng)分別為

a和b(a＞b)的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置(圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊)，長(zhǎng)方形中未

被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示．設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，當(dāng)

AD－AB＝2時(shí)，S2－S1的值為()

A．2a－2B．－2bC．2aD．2b

第9頁(yè)共23頁(yè).

a2bc3xy37

18．（2021·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在下列各式①，②0，③，④，⑤sr2，⑥，⑦b24ac，

53x5

1

⑧m，⑨1中，其中單項(xiàng)式是_______，多項(xiàng)式是_______，整式是_______．（填序號(hào)）

a

19．（2021·河南伊川·七年級(jí)期中）按照如圖所示的計(jì)算程序，若x2，則輸出的結(jié)果是________．

2022

120210

20．（2021·云南·普洱市思茅區(qū)第四中學(xué)八年級(jí)期中）計(jì)算77_______．

7

21．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知xy2,x3y3，則2x3y12x2y218xy3_________．

22．（2021·河南·鄭州楓楊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期中）若m2n1，則3m26mn6n的值為_(kāi)_____．

23．（山東省青島市嶗山區(qū)第三中學(xué)2020-2021學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題）如圖，某廣場(chǎng)地面的圖案

是用大小相同的黑、白正方形地磚鑲嵌而成，圖中第1個(gè)黑色L形由3個(gè)正方形組成，第2個(gè)黑色L形由7個(gè)

正方形組成……那么第n個(gè)黑色L形的正方形個(gè)數(shù)是____________．

24．（2020年貴州省銅仁市中考數(shù)學(xué)試題）觀察下列等式：

2+22=23﹣2；

2+22+23=24﹣2；

2+22+23+24=25﹣2；

2+22+23+24+25=26﹣2；

…

已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220=m，則

220+221+222+223+224+…+238+239+240=_____(結(jié)果用含m的代數(shù)式表示)．

25．（2021·浙江·中考真題）計(jì)算：xx21x1x．

第10頁(yè)共23頁(yè).

2

26．（2021·湖南衡陽(yáng)·中考真題）計(jì)算：x2yx2yx2yxx4y．

27．（2021·湖北鄖西·八年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)，再求值：(2x1)(2x1)(2x3)2，其中x1．

211

28．先化簡(jiǎn)，再求值：2x3y2xy2xy2y其中x,y

56

2

29．（2021·北京·中考真題）已知a22b210，求代數(shù)式abb2ab的值．

30.將下列多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：

（1）4x324x2y36xy2；

2

（2）xy494y．

31．（2019·廣西河池·中考真題）分解因式：(x1)22(x5)．

32．因式分解：9(x2y)24(xy)2

33．因式分解：ab2﹣3ab﹣10a．

第11頁(yè)共23頁(yè).

34．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）將下列各式分解因式：

（1）6y219y15；（2）14x23x27

35.因式分解：（1）m24n24n1．（2）x24y2x2y．

36．把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過(guò)圖形面積的計(jì)算，常?？梢缘玫揭恍┫嚓P(guān)的代數(shù)等式，這些等式可

用于代數(shù)式的證明或求一些不規(guī)則圖形的面積．

（1）如圖1，是將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為abc的正方形，若把這個(gè)大正方形的

面積直接用邊長(zhǎng)表示，其面積是________；若把這個(gè)大正方形的面積用分割成的小正方形或小矩形的面積表示

時(shí)，其面積是________；無(wú)論怎樣表示，面積不變，所以，可得等式是________；并用多項(xiàng)式的乘法公式說(shuō)明

該等式成立；

（2）已知三個(gè)數(shù)a，b，c滿足a2b2c252，abbcca24，利用（1）中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論可直接寫出

(abc)2________；

（3）如圖2，是將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點(diǎn)在同一直線上，連接BD和BF，

若兩正方形的邊長(zhǎng)滿足ab10，ab20，請(qǐng)求出陰影部分的面積．

37．已知（10x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（3x﹣23）可因式分解成（ax+b）（7x+c），其中a、b、c均為整

數(shù)，求a+b+c的值．

第12頁(yè)共23頁(yè).

模塊一數(shù)與式

第三講分式

知識(shí)梳理夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)1：分式的概念

A

一般地,如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母,那么式子叫做分式，其中A叫做分式的

B

分子，叫做分式的分母。

B注意

A1.分式可以表示兩個(gè)整式相除，其中分子為

（1）分式有意義的條件:分母不為零，即B0

B被除式，分母為除式，分?jǐn)?shù)線起除號(hào)和括號(hào)

的作用。

A

（2）分式值為零：分子為零，且分母不為零。即2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含

B字母，但分母中必須含有字母，這是區(qū)別分

（A0且B0）式和整式的重要依據(jù)。

3.在任何情況下，分式的分母的值都不為0，

知識(shí)點(diǎn)2：分式的基本性質(zhì)否則分式無(wú)意義。

分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘（或除以）

AACAAC

同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。,（C0），其中A、B、C是整式。

BBCBBC

利用分式的基本性質(zhì)可以進(jìn)行約分、通分。

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母的約去，叫做分式的約分，約分通常

是把分式化成最簡(jiǎn)分式或整式。

利用分式的基本性質(zhì)，把異分母分式化成分式，叫做分式的通分。

符號(hào)法則：改變分子、分母及整個(gè)分式三者中任意兩個(gè)的符號(hào)，分式的值不變，即

AAAA

BBBB

知識(shí)點(diǎn)3：分式的運(yùn)算

1、分式的運(yùn)算法則

acac

分式乘法分子的積作積的，用分母的積作積的分母

bdbd

acadad

分式除法將除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式

bdbcbc

aan

分式乘方分子、分母分別()n

bbn

abab

同分母分式加減分母不變,分子

ccc

acadbcadbc

異分母分式加減先，變?yōu)橥帜傅姆质胶笤傧嗉訙p。

bdbdbdbd

第13頁(yè)共23頁(yè).

分式的混合運(yùn)算：

分式的混合運(yùn)算，有多項(xiàng)式的，一般先因式分解，能約分的進(jìn)行約分；有括號(hào)的先算括號(hào)，有乘

方的先算乘方；先乘除后加減。異分母相加減，先通分，化為同分母，再加減。

a35

例：a2

a22aa2分式化簡(jiǎn)中的誤區(qū)

a3a2a251.注意分式混合運(yùn)算順序

aa2a2a22.分式化簡(jiǎn)不同于解分式方程,化簡(jiǎn)過(guò)程中不能去分

a3a29母.

aa2a23.分?jǐn)?shù)線有除號(hào)和括號(hào)兩重作用,同分母分式相加減

a3a2

(分子是多項(xiàng)式),分子應(yīng)整體加括號(hào).

aa2a3a34.分式運(yùn)算中含有整式，應(yīng)視其分母為1的式子，然

1

后按分式四則運(yùn)算法則計(jì)算。

aa3

2、分式化簡(jiǎn)求值的一般步驟

(1)按運(yùn)算順序?qū)λo分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，化為最簡(jiǎn)分式或整式；

(2)代入求值(代入求值時(shí)要注意使原分式及化簡(jiǎn)過(guò)程中出現(xiàn)的分式均有意義)。

直擊中考勝券在握

12xy3a2b3c6x

1．（2021·黑龍江五?！ぐ四昙?jí)階段練習(xí)）在式子，，，，y中，分式的個(gè)數(shù)是（）

a43x2

A．2B．3C．4D．5

1

2．（2021·浙江寧波·中考真題）要使分式有意義，x的取值應(yīng)滿足（）

x2

A．x0B．x2C．x2D．x2

3．（2021·山東昌樂(lè)·八年級(jí)期中）當(dāng)x1時(shí)，下列分式?jīng)]有意義的是（）

x1xx1x

A．B．C．D．

xx1xx1

11

4．（2021·山東臨沂·中考真題）計(jì)算(a)(b)的結(jié)果是（）

ba

aabb

A．B．C．D．

bbaa

x0

5．（2021·黑龍江綏化·中考真題）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

x1

A．x–1B．x1且x0C．x1且x0D．x0

ba

6．（2021·江蘇蘇州·中考真題）已知兩個(gè)不等于0的實(shí)數(shù)a、b滿足ab0，則等于（）

ab

A．2B．1C．1D．2

3x227

7．（2021·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）當(dāng)x＝﹣2時(shí)，分式的值是（）

96xx2

A．﹣15B．﹣3C．3D．15

第14頁(yè)共23頁(yè).

x29

8．（2021·北京市平谷區(qū)峪口中學(xué)八年級(jí)期中）分式值為0的條件是x的值為（）

x3

A．3B．3C．3D．0

9．（2021·山東寒亭·八年級(jí)期中）下列變形正確的是（）

aabaa

A．B．

bb2bcbc

a22a1a1xx2

C．D．

a21a1yy2

x2x3xy2y

10．（2021·山東寒亭·八年級(jí)期中）已知y，則（）

12xyxyx

17

A．B．-7C．D．-5

33

yyxxyyaa

11．（2021·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列式子中①；②；③；④中，

xxyxyxxxbb

正確的有（）．

A．①②③④B．①③④C．①②③D．只有④

nmm2n2

12．（2021·四川南充·中考真題）若3，則_________

nmn2m2

a1

13．（2020·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：1________．

1aa2a

28

14．（2021·四川自貢·中考真題）化簡(jiǎn)：_________．

a2a24

x3x1x9

15．（2021·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）當(dāng)x20213時(shí)，代數(shù)式()的值是____．

x23xx26x9x