2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市高二上學(xué)期第二次月考 數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線l的傾斜角滿足，則l的斜率k的取值范圍是（）A． B．C． D．2．甲、乙兩人在一座7層大樓的第一層進(jìn)入電梯，假設(shè)每個(gè)人從第2層開始在每一層離開電梯是等可能的，則甲、乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和為9的概率是（）A． B． C． D．3．若橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，則的值為（）A． B． C． D．4．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，短軸長為，離心率為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，則的周長為A．4 B．8 C．16 D．325．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形，且一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.在陽馬中，若平面，且，異面直線與所成角的余弦值為，則（

）A． B． C．2 D．36．已知，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線上，又經(jīng)過直線反射到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程為（

）A． B．6 C． D．7．已知圓C：上存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則m可能的值為（）A．5 B．1 C． D．8．已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，其中為左焦點(diǎn)，是與在第一象限的公共點(diǎn).線段的垂直平分線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若的離心率為，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B．若直線經(jīng)過第一象限、第二象限、第四象限，則C．已知雙曲線左焦點(diǎn)為，是雙曲線上的一點(diǎn)，則PF的最小值是D．已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，則的最小值是?210．如圖所示，在棱長為2的正方體中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．平面平面B．的最小值為C．若是的中點(diǎn)，則到平面的距離為D．若直線與所成角的余弦值為，則11．已知橢圓分別為的左、右焦點(diǎn)，A，B分別為的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到距離的最大值和最小值分別為3和1.下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率為B．存在點(diǎn)，使得C．若，則外接圓的面積為D．的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，兩組數(shù)據(jù)，其中：2，3，4，5，6；：11，，13，14，12；組數(shù)據(jù)的方差為，若，兩組數(shù)據(jù)的方差相同，試寫出一個(gè)值．13．點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，過作圓的切線，且直線與直線平行，則與之間的距離是.14．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線與交于另外一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為A，直線交于另外一點(diǎn)，且，則的離心率為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓過兩點(diǎn)，且圓心在直線上.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過圓心的直線在軸，軸上的截距相等，求直線的方程.16．已知雙曲線的離心率為，焦點(diǎn)F到漸近線的距離為1.(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與雙曲線E的左支交于不同兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.17．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，是等邊三角形，且平面平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值.18．為培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，協(xié)同發(fā)展學(xué)科綜合能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，某校數(shù)學(xué)組舉行了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽，素養(yǎng)大賽采用回答問題闖關(guān)形式．現(xiàn)有甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽，甲、乙兩人能正確回答問題的概率分別是和．假設(shè)兩人是否回答出問題，相互之間沒有影響；每次回答是否正確，也沒有影響．(1)若乙回答了4個(gè)問題，求乙至少有1個(gè)回答正確的概率；(2)若甲、乙兩人各回答了3個(gè)問題，求甲回答正確的個(gè)數(shù)比乙回答正確的個(gè)數(shù)恰好多2個(gè)的概率；(3)假設(shè)某人連續(xù)2次未回答正確，則退出比賽，求甲恰好回答5次被退出比賽的概率．19．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)是上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且的周長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與交于另外一點(diǎn)A，直線與交于另外一點(diǎn).①若，求直線的方程；②記的面積分別為，求的最大值.

答案1．【正確答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí),.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的取值范圍是.故選：C.2．【正確答案】C【詳解】將甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)配對(duì)，組成種等可能的結(jié)果，用表格表示如下：甲乙234567234567記事件“甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和是9”，則事件A的可能結(jié)果有6種，即，所以事件A的概率為：，故選：C.3．【正確答案】D【詳解】由題知，橢圓的半焦距為，所以，解得.故選：D4．【正確答案】C【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，橢圓的短軸長為，離心率為，所以，，則，所以，所以的周長為，故選C．本題主要考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．【正確答案】C【詳解】由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建系如圖，設(shè)，因?yàn)?，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則，解得，即.故選：C6．【正確答案】C【詳解】直線的方程為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，得，即點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，

由題意可知，如圖，點(diǎn)都在光線上，并且利用對(duì)稱性可知，，，所以光線經(jīng)過的路程.故選：C7．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意可知以為圓心，以為半徑的圓與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)，由兩圓相交滿足：，列式求解即可.【詳解】以為圓心，以為半徑的圓：，圓C：圓心為，半徑，圓心距，由題意可得兩圓相交，即，解得.故選：C8．【正確答案】B【詳解】令線段的垂直平分線與的交點(diǎn)為，顯然是的中點(diǎn)，而是的中點(diǎn)，則，而，因此，，則，令與的半焦距為，由，得，于是，解得，則，，所以的漸近線方程為.故選：B9．【正確答案】BC【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線的橫縱截距分別為，依題意，，因此，B正確；對(duì)于C，雙曲線實(shí)半軸長，半焦距，為左焦點(diǎn)，當(dāng)為左頂點(diǎn)時(shí)，，C正確；對(duì)于D，點(diǎn)在橢圓外，其長半軸長，點(diǎn)，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，D錯(cuò)誤.故選：BC10．【正確答案】ABC【詳解】A.因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面平面，故正確；B.因?yàn)?，且為定值，所以，故正確；C.因?yàn)槠矫嫫矫妫业狡矫?，所以到平面的距離即為到直線的距離，又，，解得，故正確；D.當(dāng)時(shí)，，則，故錯(cuò)誤；故選：ABC11．【正確答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到距離的最大值和最小值分別為3和1，故有：，解得：，橢圓的離心率，故A正確；B選項(xiàng)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則點(diǎn)在圓上，又因?yàn)榉匠探M無解，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，則，若，即，在中，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，根?jù)正弦定理可知，，故C正確；D選項(xiàng)，設(shè)，則：，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD12．【正確答案】210或15【詳解】組的平均數(shù)，組的平均數(shù)，則組的方差為，則組的方差為，解得或15.故2；10或15.13．【正確答案】45/【詳解】由題意可得圓的圓心，半徑為，則，所以過的切線斜率為，所以直線的方程為，即，又直線與直線平行，所以，則與之間的距離是.故答案為.14．【正確答案】【詳解】設(shè)Px0,y0，M所以，，因?yàn)?，所以，所以，?又，所以，即，解得，即橢圓的離心率為.故答案為.15．【正確答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）由點(diǎn)，得線段的中點(diǎn)，直線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，由，解得，即圓心，半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，點(diǎn)，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線在軸，軸上的截距相等，此時(shí)直線的方程為，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，解得，方程為，所以直線的方程為或.16．【正確答案】(1)(2).【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的離心率，可得，即.又因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，而，所以，則.由且，，可得，解得.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）將直線代入雙曲線方程，得到，展開可得，整理得.因?yàn)橹本€與雙曲線左支交于不同兩點(diǎn)，所以.由，解得.對(duì)于，即，解得.由，（結(jié)合），所以，解得.由，解得，即或.綜合以上條件，取交集得.則實(shí)數(shù)k的取值范圍為.17．【正確答案】(1)證明見解析；(2)．【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，是菱形，則，所以，又是等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?；?），則和都是等邊三角形，連接，則，，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，因此有，，，，，是中點(diǎn)，則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，易知平面的一個(gè)法向量是，則，取，則，，所以平面與平面的夾角的余弦值為．18．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）記“乙至少有1個(gè)回答正確”為事件，所以，即乙至少有1個(gè)回答正確的概率是．（2）記“甲答對(duì)i個(gè)問題”為事件，“乙答對(duì)i個(gè)問題”為事件，則甲回答正確的個(gè)數(shù)比乙回答正確的個(gè)數(shù)恰好多2個(gè)為事件所以，即甲回答正確的個(gè)數(shù)比乙回答正確的個(gè)數(shù)恰好多2個(gè)的概率是．（3）記“甲答對(duì)第i個(gè)問題”為事件，則甲恰好回答5次被退出比賽為事件，所以，即甲恰好回答5次被退出比賽的概率是．19．【