2024-2025學(xué)年重慶市高二上學(xué)期期中聯(lián)合診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市高二上學(xué)期期中聯(lián)合診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知向量，向量，若，則的值為（

）A．1 B． C． D．3．橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)，點(diǎn)，則以為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．5．已知是空間的一個(gè)基底，則可以和，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量為（

）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段MP的垂直平分線交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．7．如圖，在平行六面體中，，，，，則（

）A． B． C． D．8．已知圓.若為直線上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線，直線，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．直線過(guò)定點(diǎn)C．若，則 D．當(dāng)時(shí)，直線不經(jīng)過(guò)第二象限10．圓和圓的交點(diǎn)為、，則有（

）A．公共弦所在的直線方程為B．線段的中垂線方程為C．公共弦的長(zhǎng)為D．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則到直線距離的最大值為11．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．異面直線AP與所成角的取值范圍是C．平面ADP與平面ABCD所成夾角的余弦值取值范圍是D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.13．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上且在軸上方，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則的面積為.14．在棱長(zhǎng)為的正方體中，、、分別為、、中點(diǎn)，、分別為直線、上的動(dòng)點(diǎn)，若、、共面，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，、、，線段的中點(diǎn)為，且.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求邊上的中線所在的直線方程.16．如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，，，點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.17．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓C上.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率為的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且，求直線的方程.18．已知矩形ABCD，，，為CD中點(diǎn)，沿AE折成直二面角，為BC為中點(diǎn).

(1)求證：；(2)在棱DE上是否存在點(diǎn)N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼·閔可夫斯基提出的（如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段AB是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過(guò)），所以在“曼哈頓幾何中”，這兩點(diǎn)最短距離用表示，又稱“曼哈頓距離”；即，因此：“曼哈頓兩點(diǎn)間距離”：若Ax1,y1，Bx2,y2，則，在平面直角坐標(biāo)系中，我們把到兩定點(diǎn)F1(1)已知，，求的值；(2)分別求，的取值范圍；(3)若，，求“新橢圓”圍成的面積.

答案1．【正確答案】C【詳解】化直線為，所以直線的斜率，令直線的傾斜角為，則，，.故選：C.2．【正確答案】C【詳解】因?yàn)椋?，且，則，解得.故選：C.3．【正確答案】A【詳解】在橢圓中，，，則，因此，該橢圓的離心率為.故選：A.4．【正確答案】B【詳解】由題意可知，圓心為線段的中點(diǎn)，圓的半徑為，因此，所求圓的方程為.故選：B.5．【正確答案】D【詳解】因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底，可知，，不為共面向量，對(duì)于A：因?yàn)?，可知，，為共面向量，不能作為基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，可知，，為共面向量，不能作為基底，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，可知，，為共面向量，不能作為基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：假設(shè)，，共面，則，可得，方程組無(wú)解，可知，，不為共面向量，可以作為基底，故D正確；故選：D.6．【正確答案】B【詳解】

由題意得，圓心，半徑，因?yàn)?，，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，故選：B.7．【正確答案】D【詳解】由題意可得，，，所以，向量、、兩兩夾角為，由空間向量數(shù)量積的定義可得，同理可得，因?yàn)?，故，因此?故選：D.8．【正確答案】C【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點(diǎn)共線（點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間）時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.

故選：C.9．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，解得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由可得，即直線過(guò)定點(diǎn)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，解得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，作出直線的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線不經(jīng)過(guò)第一象限，D錯(cuò).故選：AC.10．【正確答案】ABD【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，對(duì)于A選項(xiàng)，將兩圓方程作差可得，所以，公共弦所在的直線方程為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，，所以，，則，又因?yàn)椋傻妊切稳€合一的性質(zhì)可知，垂直平分線段，，所以，直線的方程為，即，故線段的中垂線方程為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，圓心到直線的距離為，所以，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則到直線距離的最大值為，D對(duì).故選：ABD.11．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A，，平面，平面，所以平面，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積為定值，故三棱錐的體積為定值，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以異面直線與所成的角即為與所成的角，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，與所成的角為，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)槠矫?，，所以，此時(shí)，與所成的角為，所以異面直線與所成角的取值范圍是，故B正確；對(duì)于C，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，，，則，，設(shè)平面的法向量，設(shè)平面的法向量，，則，即，令，則，則得，面與平面所成夾角為，所以，因?yàn)?，，所以，，所以平面與平面所成夾角的余弦值取值范圍是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，則，，，，，，設(shè)平面的法向量n=x,y,z，則，即，令，則，得，所以直線與平面所成角的正弦值為：，當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值取得最大值，最大值為，故D正確.故選：ACD.12．【正確答案】2,3【詳解】聯(lián)立，解得，因此，直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為.13．【正確答案】【詳解】由橢圓方程可知：，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則，可得，因?yàn)?，則，且，所以的面積為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)、，其中、，易知、，則，，，因?yàn)椤?、共面，則存在、，使得，即，解得，所以，，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，直線的中點(diǎn)為，則，因?yàn)?，則，即，解得.（2）由（1）知點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，所以，，所以，邊上的中線所在的直線方程為，即.16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，即，因?yàn)?，、平面，故平?（2）因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，所以，，因此，平面與平面夾角的余弦值為.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知：，則，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線：，

聯(lián)立方程，消去y可得，則，解得，可得，則，解得，所以直線的方程為，即.18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在；【詳解】（1）

取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榫匦蜛BCD，，，所以，由為CD中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，由為的中點(diǎn)，為四邊形的中位線，，所以，又平面，，所以平面，由平面，所以.（2）

作平面，以為原點(diǎn)，以所在直線為建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）得為四邊形的中位線，所以，由得，，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)點(diǎn)存在，，，所以，所以，由平面得，所以，解得，即，所以所以存在點(diǎn)N，使得平面ADM，.19．【正確答案】(1)(2)的取值范圍為；的取值范圍為(3)6【詳解】（1）因?yàn)?，，所?（2）設(shè)