高級計量-時間序列

博士生高級計量經(jīng)濟學（管理類）之

時間序列計量經(jīng)濟分析

I.平穩(wěn)時間序列模型

II.非平穩(wěn)時間序列

III.向量自回歸VAR模型

IV.ARCH與GARCH模型

平穩(wěn)時間序列模型

時間序列的分析研究始終是計量經(jīng)濟學和統(tǒng)計學的一個熱點。近代計量經(jīng)濟

學和金融市場分析的許多研究成果都建立在時間序列分析的基礎之上。傳統(tǒng)的應

用較廣的是Box和Jenkins（1970）提出的ARMA（自回歸移動平均）模型。

Engle（1982）提出了ARCH模型（一階自回歸條件異方差），用以研究非線性金融

時間序列模型，由此開創(chuàng)了時間序列分析獨樹一幟的研究思路和方法。就時間序

列分析理論和方法的發(fā)展而言，平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計分析，在理論上的發(fā)展比較

成熟，構成時間序列分析的基礎。

一、基本概念

（一）、隨機過程

在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中，隨機變量是分析隨機現(xiàn)象的有力工具。對丁些簡

單的隨機現(xiàn)象，一個隨機變量就夠了；對于一些復雜的隨機現(xiàn)象，需要用若干個

隨機變量來加以刻畫。例如平面上的隨機點，某企業(yè)一天的工作情況（產(chǎn)量、次

品率、耗電量、出勤人數(shù)等）都需要用多個隨機變量來刻畫。

還有些隨機現(xiàn)象，要認識它必須研究其發(fā)展變化過程，這一類隨機現(xiàn)象不能

只用一個或多個隨機變量來描述，而必須考察其動態(tài)變化過程，隨機現(xiàn)象的這種

動態(tài)變化過程就是隨機過程。例如，某一天電話的呼叫次數(shù)-它是一個隨機變

量。若考察它隨時間f變動的情況，則需要考察依賴于時間，的隨機變量｝

就是一個隨機過程。又例如，某國某年的G0P總量，是一個隨機變量，但若考

查它隨時間變化的情形，則｛GO《｝就是一個隨機過程。

一般地，若對于每一特定的r（，￡丁），》為一隨機變量，則稱這一族隨機

變量｛?｝為一個隨機過程。隨機過程的分類一般有兩種方法：（1）以參數(shù)集7

和咒的取值的特征來分類；（2）以統(tǒng)計特征或概率特征來分類。為了簡便，我們

以參數(shù)集和其的取值的特征來分類。以參數(shù)集7的性質，隨機過程可分為兩大類:

7為可數(shù)集合與不可數(shù)集合。以*所取的值的特征，隨機過程也可以分為兩大類:

離散狀態(tài)，即匕所取的值是離散的點；連續(xù)狀態(tài)，即），，所取的值是連續(xù)的。由此

可將隨機過程分為以下四類：離散參數(shù)離散型隨機過程；連續(xù)參數(shù)離散型隨機過

程；連續(xù)參數(shù)連續(xù)型隨機過程；離散參數(shù)連續(xù)型隨機過程。

（二）、時間序列

離散型時間指標集的隨機過程通常稱為隨機型時間序列，簡稱為時間序列。

經(jīng)濟分析中常用的時間序列數(shù)據(jù)都是經(jīng)濟變量隨機序列的一個實現(xiàn)。時間序列分

析是一種根據(jù)動態(tài)數(shù)據(jù)揭示系統(tǒng)動態(tài)結構和規(guī)律的統(tǒng)計方法。

時間序列的特點是：序列中的數(shù)據(jù)依賴丁時間順序；序列中每個數(shù)據(jù)的取值

具有一定的隨機性；序列中前后的數(shù)值有一定的用關性--系統(tǒng)的動態(tài)規(guī)律；序列

整體上呈現(xiàn)某種趨勢性或周期性。時間序列的統(tǒng)/特征通常用其分布及數(shù)字特征

來刻畫。例如期望E（y）,方差和協(xié)方差Cov（y“x）。

研究時間序列具有重要的現(xiàn)實意義，通過對時間序列的分析和研究，認識系

統(tǒng)的結構特征（如趨勢的類型，周期波動的周期、振幅，等等）；揭示系統(tǒng)的運

行規(guī)律；進而預測或控制系統(tǒng)的未來行為，或修正和重新設計系統(tǒng)（如改變參數(shù)、

周期等）按照新的結構運行。

（三）、時間序列的平穩(wěn)性

所謂時間序列的平穩(wěn)性，是指時間序列的統(tǒng)計規(guī)律不會隨著時間的推移而發(fā)

生變化。也就是說，生成變量時間序列數(shù)據(jù)的隨機過程的特征不隨時間變化而變

化“以平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)作為計量經(jīng)濟模型變量的觀測值時，其估計方法、檢驗

過程才可能采用前面所介紹的方法。

直觀上，一個平穩(wěn)的時間序列可以看做作一條圍繞其均值上下波動的曲線。

從理論上，有兩種意義的平穩(wěn)性，一是嚴格平穩(wěn)，另一是弱平穩(wěn)。嚴格平穩(wěn)是指

隨機過程｛上｝的聯(lián)合分布函數(shù)與時間的位移無關。設｛R｝為一隨機過程，〃

為任意正整數(shù)，力為任意實數(shù)，若聯(lián)合分布函數(shù)滿足：

G心,….（冷…，X"）=氣:—（不…，天）

則稱｛%｝為嚴格平穩(wěn)過程，它的分布結構不隨時間推移而變化。

弱平穩(wěn)是指隨機過程｛￡｝的期望、方差和協(xié)方差不隨時間推移而變化，若

｛上｝滿足以下三條件：

2

E（y）=u,Var（yt）=a,Cov（y,工）=/（—s）

則稱｛￡｝為弱平穩(wěn)隨機過程。在以后的討論中，關于平穩(wěn)性的概念通常是指弱

平穩(wěn)，弱平穩(wěn)通常也被稱作寬平穩(wěn)。

需要注意的是嚴平穩(wěn)和弱平穩(wěn)之間的關系：只有具有有限二階矩的嚴平穩(wěn)過

程，才是弱平穩(wěn)過程；弱平穩(wěn)過程只限定一階矩和二階矩，即它并沒有規(guī)定分布

函數(shù)的性質，所以弱平穩(wěn)并不一定屬于嚴平穩(wěn)。

時間序列分析中常用到的平穩(wěn)隨機過程是一一白噪聲過程（序列）。

2

對于一個隨機過程｛%/￡為，如果f（y,）=O；Var（yt）=<J<oo；

Cov（K，”）=0,/ws,則稱｛y"wT｝為白噪聲過程（序列）。

白噪聲序列因其均值為零，方差不變，隨機變量之間非相關，顯然白噪聲是

二階寬平穩(wěn)隨機過程。如果｛￡｝同時還服從正態(tài)分布，則它就是一個嚴平穩(wěn)的

隨機過程。白噪聲源于物理學與電學，原指音頻和電信號在一定頻帶中的一種強

度不變的干擾聲。下圖是由噪聲過程產(chǎn)生的時間序列。

圖1由白噪聲過程產(chǎn)生的時間序列圖2口元對美元匯率的收益率序列

在時間序列分析中，我們經(jīng)常要用到滯后算子L,它的定義為

L

y.=yt-\

這個滯后算子L是把一個時間序列轉換成另一新的時間序列的映射。如果應用兩

次滯后算子，有

L

(Lyt)=Lyt_x=yz_2

記兩個滯后算子的乘積為有/?),,=),々°規(guī)定。°x=y,即它是一個恒等映

射。滯后算子L的逆算子L滿足一般地，對于任意的整數(shù)，我們

k

有^yt=yt-k

滯后算子L對于數(shù)量乘法和加法滿足交換律和分配律，即對于任意的常數(shù)6和時

間序列()小2，*,｝二，｛叱｝二，有

L(優(yōu))=pLyt,L(xt+M;)=Lxt+Lw,

如果y,=(a+/?L)ZA,,那么有y,=(aL+bl3)x,=axt_t+bxt_2

另一個例子

2

=(1-A1L-Z!L+/1]/UL)A;

二七一(4+4)X,T+443_2

像(立+力力這樣的表達式我們稱之為滯后算子多項式。

二、移動平均(M4)過程

在金融收益率序列的建模中有一類簡單模型是移動平均模型(Moving

AverageModel,縮寫為MA模型)。它可以看作是白噪聲序列的簡單推廣。

(-)一階移動平均過程M4(l)

如果｛〃/是白噪聲過程，定義

y="+勺+43

其中〃和0為常數(shù)，這個序列稱為一階移動平均過程M4⑴o

期望為E(y,)=〃+E(〃J+6E(k)=〃

222

方差為E(y,=E(wz+6?wz.,)=(1+^)CT

一階自協(xié)方差為cov(y,,}；-|)=以%+&_I)(q_1+紈2)=比2

高階自協(xié)方差為cov(y,,y,_j)=￡(wz+Out_{)(+Ou,^)=0(j>1)

上述均值和協(xié)方差都不是時間的函數(shù)，因此不管0為何，M4⑴過程都是平穩(wěn)的。

而一階自相關系數(shù)p.1比：廣當

高階自相關系數(shù)均為0。此時自相關函數(shù)在1階處截尾。

(二).q階移動平均過程加4(4：

q階移動平均過程的表達式為：

y=〃+/+。必?1+.2+…+6Mr

其中｛〃,｝為白噪聲過程，(氏為,…,q)為任何實數(shù)。其均值、方差、自協(xié)方差和

自相關函數(shù)分別為：

E⑸="

/o=V?r(y,)=E(w,+4明+O2ut-2+…+W)

=(i+e；+e；+...+e；”2

力=COV("T)

=E(〃,+〃%+...+即口/(/7+...+“t-j-q)

_(%+%?+%2。2+…+約%,)/j=12...,q

。j>q

夕階移動平均過程的自相關函數(shù)為

4+4+1―+4+22+…+4憶,?

Pk=<1+標+出+…+夕：‘‘(1)

0k>q

(1)式告訴我們，當移動平均過程的階為q時，間隔期大于q的自相關函數(shù)值為零。

這個性質稱為M&q)的自相關函數(shù)的截尾性，意思是說，自相關函數(shù)的圖形隨著

自變量k到達①+1)時突然被截去。MA(q)的截尾性給我們一個重要啟示：如果

某時間序列是來自一個移動平均過程，則當該時間序列的樣本自相關函數(shù)，從某

個間隔期(4+1)開始，其值均為零時，我們就可以推測，原時間序列的階數(shù)為“。

［例］MA⑵?過程上=%+4〃一+a%-

2

容易算得%二(1+6；+。；)/,%=(q+aa)/，r2=O2a,力=0,J>2;

_"+,-———7,0=0,y>2o

［例］一個一階移動平均過程

y=1.6+%+0.5〃小

其中吃是。一=2高斯白噪聲過程，表1是它容量為100的一個樣本。

表1一階自回歸過程y,=1.6+%+0.54_］的一個實現(xiàn)

tY,iY,tY,t匕

10.8855262.23351-0.1954761.3707

24.2934271.2258520.2623773.2748

3-0.1071281.0914532.6973784.642

40.0796293.8662541.5055794.514

52.8523303.6584551.8346806.3372

62.480131-1.2055562.371813.0025

72.300332-0.5732571.4937321.9877

81.0175331.2197581.2863831.8743

93.2323341.4091592.0144842.1319

102.499935-0.844601.7401850.4165

112.300736-1.031661-0.299386-1.1645

123.1032371.1887621.3933871.3004

133.1367381.7468630.366881.0471

142.4248390.5279642.5341891.3628

152.5574400.1392653.2576900.7714

162.5946410.992661.0231913.2516

171.1813422.8198672.6489923.1616

180.230543-0.603682.1931.6074

192.311544-0.4252692.183942.5893

20-0.0818450.1535701.6981952.3218

21-3.168846-1.1038712.3432960.8638

220.5128471.0635723.7589972.582

232.4507482.0526733.9677982.4109

240.8341491.7068743.0588990.8723

251.259550-0.8452751.63041003.4713

(1)畫出》的線圖；(2)求y的自相關函數(shù)

在EViews中輸入命令Ploty,可得該樣本的線圖如下

圖3過程)，,=1.6+u,+0.5〃小的線圖

根據(jù)公式(1)式，容易求得上的總體自相關函數(shù)為

a0.5

=0.4,k=\

Pk=<\+耳1+0.5?

[0,k>\

在EViews中雙擊序列￡,然后點擊View\Correlograms,選擇水平序列可

得AutocorrelationandPartialcorrelations函數(shù)圖如下,

AutocorrelationPartialCorrelationACPAC

1—11ZZI10.4040.404

1011[I20.112-0.061

1□1=J30.2570.280

1n1i40.2370.038

111:150,072-0.040

1?50,011-0.049

19110170.1220.098

1IE1B-0.001-0.139

1?]13-0.0300.062

I]1100.0880.064

圖4過程y=1.6+ii,+05%的自相關與偏相關圖

從圖4的樣本自相關函數(shù)值可以看出：滯后2期的自相關函數(shù)值衣=0.112與

立=0.404相比，大幅度減少，2>2的樣本自相關函數(shù)值也越來越小。

移動平均過程的另一個重要問題是可逆性：

MA（q）表達為：y,=,+q+即%+…+巧產(chǎn)一,=〃+

其中。"）=1+夕/+*[?+......稱為特征多項式。

MA（q）可逆的充分必要條件是：特征方程0（￡）=0的根都在單位圓外。

（三）.無限階移動平二勻過程M4（8）

對于一個M4g）過程，如果讓qf8,我們就得到如下的過程：

￡

y=〃+Z0jt-j=〃+%+6必.|++…

j=0

我們稱此過程為M43）過程，這里％=1。我們可以證明：如果MA3）過程

的系數(shù)是平方可加的，即￡外<8，那么M48）是一個平穩(wěn)的過程。

六0

一般地，我們用一個更強的絕對可加條件￡向卜00來代替平方可加條

六0

件，絕對可加蘊涵平方可加。系數(shù)是絕對可加的MA（8）過程的均值和自協(xié)

方差分別為

七（。必一+。%/一）〃

￡[?]=Tli—m>x?4+%+124-2+…+7=

/o=￡(>;-//)2=lim￡1(%+a4_i+-2+,,,+，/”)2

T-xc

=iim(i+e：+e；+-?+。；爐

T—>oo—

乙二E(y-〃)(“一〃)

=〃(4〃+4+&+4+2%+…)

(四)、移動平均過程的參數(shù)估計

移動平均過程的參數(shù)估計就是在已確定移動平均過程的階以后，根據(jù)它的一

個現(xiàn)實樣本(X，L，來估計移動平均過程的均值〃二鳳匕)，及移動平均

系數(shù)(或稱權數(shù))。，以及被假定為白噪聲過程的吃的方差。：。不失一般性，我們

假定MAS)的均值〃=E(匕)=0,以便于對其它參數(shù)的估計。

匕=%+4〃川+。2%.2+…+(2)

其中｛〃/是一日噪聲過程。

估計(2)式中的參數(shù)的一個方法是將它化成4R(8)的形式(因為它是可逆的,

這種轉換是可行的)：

(1+/L+rll七+〃3七'+,,,)-=〃/

即匕=一7匕.|-小匕一2-小Z-3---+%

求使上式所表示的計量經(jīng)濟學模型的殘差平方和最小的諸〃，即求各"，使

00

S(7，%，%，…)=Z("71+%*+/*+…)2

/=1

最小。

我們的估計問題首先就是要求各力使S(7，%,%,…，么)最小(%=1)。當我們估

計出〃以后，再根據(jù)〃與。的關系，求出各。的估計值。

上述過程所用的方法是最小二乘法，但是由于各〃與各。的關系較復雜，上

述估計屬于非線性估計，往往要在一組初始值下進行迭代。有計量經(jīng)濟學軟件

EViews中有相應的程序對AM⑷過程進行參數(shù)估計。

例如:如要估計MA(2)過程,則估計命令為

LsycMA(1)MA(2)

下圖是某MA(2)序列的EViews估計的輸出結果

F-------------------------------------------------------------------------------------------------------

EViews-[Equation:UWTITLEDTorkfile:gftIAl+2\Unti...目回鹵

□FileEditOlj.ctViewProcQuickO￡tionsWindsH?lp-SX

Vi8MpObject1外匕|Name〔Freeze|Estimate]Forec蚊|Stats|Resids|

TV

DependentVariableY

Method:LeastSquares

Date:06/21/10Time10:38

Sample:1100

Includedobservations100

Convergenceachijvedafter9iterations

Backcast-10

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb,

C1960306006341831.226330.0000

MA(1)0.2389060.0998792.3919650.0187

MA(2)0.18895801044031.8098840.0734

R-squared0.066722Meandependentvar1.982562

AdjustedR-squared0.047479S.D.dependentvar0.456385

S.E.ofregression0.445418Akaikeinfocriterion1.249936

Sumsquaredresii1924457Schwarzcriterion1.328091

Loglikelihood■5949679F-statistic3.467371

Durbin-Watsonstat2043234Prob(F-slati$tic)0.035118

InvertedMARoots-12-.42i-.12+.42i

V

」D?p?nd?ntVonabh:I

圖5MA（2）過程的EVicws估計結果

若假設⑵式中｛〃』是一高斯白噪聲過程（〃,?N（0Q2））,也可用最大似然估

計來估計模型中的參數(shù)。（略）

三、自回歸（AR）過程

另一類常用的模型是自I可歸模型（AutoRegressiveModel,縮寫為AR模型）。

（一）.一階自回歸過程AR⑴

表達式為方程：

y=c+肛T+/⑶

〃，為白噪聲序列。

如果闞＞1,過程（3）中〃，對y的影響隨著時間累增而不是消失，過程不是

有限方差的平穩(wěn)過程。這個過程一般稱為爆炸性過程。當嗣＜1時，可直接利用

差分方程）：=c+”小+勺計算各階矩。對（3）式兩邊取期望：

石（止。+網(wǎng)y.J

從而，

七⑸

對（3）式變形，得到:

y=〃［1一姆+。.%+《或（y-"）=。（坨-M+q

兩邊平方求期望：

二，E（y_i『+2。磯（加-〃）%］+七⑹

將（>；_1-//）=〃小+如_2+"/一3+?…代入，可得

yo=#，o+o'

從而得到協(xié)方差平穩(wěn)AH（l）過程的方差：

（3）兩側同時乘以（）力-〃），再求期望

足（,—〃乂）力一〃）］二"［（）小一〃乂）工廠〃）］+后［與（）"「〃）］

可得自協(xié)方差函數(shù)

九=憶.\

一=，—

則自相關函數(shù)為：

0=匕="（4）

/o

（二）.〃階自回歸過程AR（p）

表達式為：

￡=C+網(wǎng)>r-|+02y.2+--+。/+〃,15）

其平穩(wěn)性條件為特征方程1-4Z-4z2-…-0Z〃=O的根都在單位圓外。假設過程

平穩(wěn)，對（5）兩邊求期望，得至士

〃=6++叁〃+…+力〃

從而可以得到均值：

"=c/（l-a-4_...一勿）

表達式（5）可以寫成：

yd（y7-〃）+4（y”2—〃）+…?+0（其心一4）十%

表達式兩側同時乘以（九/-〃），再取期望可得自協(xié)方差:

。乙一|十。2力—2+3+。/力-〃，=1,2,…

y.=j->10)

)…+%Yp+b7=0

(6)兩側同時除以加，得到尤拉--沃克(Yule-Walker)方程：

Pi=域0T+。2。.2+…+耙P/_pj=12.…⑺

式(6)和(7)表明，〃階自回歸過程的自協(xié)方差函數(shù)和自相關函數(shù)具有相同形

式的p階差分方程，其自相關函數(shù)的具有拖尾特征。也就是說隨著L的增大，pk

的絕對值逐漸下降，但是不會到某一點以后被突然截斷，而是一直拖下去，我們

稱自回歸模型的自相關函數(shù)的這種特性為自相關函數(shù)的拖尾性。

顯然自相關函數(shù)的拖尾性是AR模型的特征而自相關函數(shù)的截尾性則是MA

模型的特征。但是用自相關函數(shù)的拖尾性并不足以說明時間序列是來自自回歸過

程。下面引入偏自相關函數(shù)的概念。

在⑺式中令/=1,2,得到如卜的Yule-Walker方程組

P\=族+圾8+…

22=族。I+A夕0+…。小

pP=Mpf+app-2+,??+?

其中運用了夕0=1和04=Pko

當ZVA，…，夕〃為己知時，可從Yule-Walker方程組中解出諸但用方程(8)

求解諸友需要先知道自回歸過程的階數(shù)P，但是我們并不知道。因此，我們可以

分別p=l,2,…求解。

當〃時，求解方程組(8),并利用樣本自相關函數(shù)，得必的估計值3二4。

如果必顯著地不為零，則自回歸過程的階數(shù)至少為1。記J為0“。

當〃=2時，求解方程組(8),并利用樣本自相關函數(shù)，得族和人的估計值，

設人的估計值為初。如果么顯著地不為零，則自回歸過程的階數(shù)至少為2。汜&

為為。

對〃連續(xù)取值3,4,…，重復上述過程，如對〃=3,得到由的估計值&，

記為％，等等。我們稱序歹U%,仍2，033,…，為偏相關函數(shù)。

性質結論：AR(p)模型的偏自相關函數(shù)p階后截尾。(MA模型拖尾)

(三)、有限階自回歸過程的估計

可以利用最小二乘法來估計4R(p)過程中的未知參數(shù)。把觀察值代入方程(5)

中可得

%+i=。+價)％+仍)，%］+???+%,)，］+〃》］

先+2=。+例+%)'〃+…+%%+〃p+2

*

*

二c+(P\?7+(p2yT_2+…+UT

把它寫成矩陣的形式為

y=X(p+u

其中>=(%+1，力+2,…，)'r)'，u=Qp+M+2,…，％)'，。=(。,必，…,。J

1”?*-M一

丫1加…乃

X=....

????

????

J>7-1…)7-p.

參數(shù)向量。的最小二乘估計量為

3=(xx『xy

如果〃，服從正態(tài)分布，那么最小二乘法估計量。是一致的和漸近正態(tài)的。

EViews軟件中有相應的程序對AR(p)過程進行參數(shù)估計。

例如：如要估計AR(2)過程,則估計命令為LsycAR⑴AR(2)

四、自回歸移動平均過程ARMA(p，4)

如果自回歸移動平均過程中自回歸部分的階數(shù)為零，則它就成為一個純移動

平均過程；如果自回歸移動平均過程中移動平均部分的階數(shù)為零，則它就成為一

個純自回歸過程。所以AR過程和MA過程均可看成是ARMA過程的特例。

(一)、4知以(〃國)過程的性質

ARMA(p,q)表達式為：

X=c+埼y,_,+我乂_2+…?++%+夕必”+…+自產(chǎn)519)

寫成滯后算子的形式為：

0—0Z-02尸一….一內(nèi)尸）y=C+（1+，J+…+a戶（10）

可以發(fā)現(xiàn)，4加4（PM）過程的平穩(wěn)性完全取決于回歸參數(shù)（落如…場,）而與移動

平均參數(shù)無關。即例（PM）過程的平穩(wěn)性條件為特征方程：

l-^z-^z2-....-^,zp=O（11）

的根在單位圓外。

ARM4（p，4）過程的自相關函數(shù)都具有拖尾特征。

（二）、例（〃M）過程的識別與估計

ARMA（p⑺過程既有自回歸的某些性質又有移動平均的某些性質，從其自相

關函數(shù)來看，它與自回歸過程一樣是拖尾的；從其偏自相關函數(shù)來看，它和移動

平均過程一樣也是拖尾的。所以，如果其自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)都是拖尾的,

則我們就可以判定這個線性時間序列是一個ARMA過程。

［例］ARMA模型的識別。

根據(jù)某樣本容量100的數(shù)據(jù)表（略）擬合一個ARMA模型。

用EViews可得樣本自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)

AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-Stat

1]1110.675087578858

1匚120694-030312904

1]1n30596032716642

1口140.515-0.21219463

1]1150,416003621324

1=□匚160.301-0.19022308

113?70.2100.115227.93

11180.165-0.01023096

11190.1360.045233.04

11?c1100079-0.162233,75

11?C111-0010-0.094233.76

'[1112-0.105-0.167235.04

C11113-0.1780.00323876

匚1?C114-0.236-0.103245.39

■1IC115-0.315-0.113257.27

111D16-0357018727274

U11i17-0.337-0.02528674

U1?1i18-0.322-0.05529964

1=11i19-0.320-0.01231256

匚11i20-0.3070.00632460

匚11i21-0.279-0.00133465

1?1i22-0.255-0.053343.16

11■23-0.2080.25234888

|[11124-0.140-0.031351.50

1[11125-0.095-000735273

1[1c126-0.081-0.188353.63

'[11127-0.074-0.018354.40

1111128-0.042001735464

111129-0.006-0.00135465

111c130-0.001-0.074354.65

111131-0.009001135466

111132-0.003002635466

111330.0480151355.01

1?I1340.116-0.06235709

11[1350.131-0.087359.79

1pi111360,108005036166

圖6時間序列X的樣本自相關函數(shù)AC與偏自相關函數(shù)PAC

從圖6可看出自樣本自相關圖（表中的第一欄）具有拖尾特征，而偏自相關圖（表中

的第二欄）也具有拖尾特征，所以該時間序列是一個混合自回歸移動平均過程。

下面我們用計量經(jīng)濟學軟件EViews分別進行不同階的擬合：

根據(jù)ARM41J）擬合的結果如下表所示

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C19.645710.70590627.830480.0000

AR(1)0.7273110.0733539.9151740.0000

MA(1)0.7489210.07086C10.569040.0000

R-squared0.822026Meandependentvar19.67056

AdjustedR-squared0.818318S.D.dependentvar2.572546

S.E.ofregression1.096525Akaikeinfocriterion3.052004

Sumsquaredresid115.4273Schwarzcriterion3.130644

Loglikelihood-148.0742F-statistic221.7024

Durbin-Watsonstat2.160162Prob(F-stalistic)0.000000

根據(jù)ARM42J）擬合的結果則為:

VariableCoefficientStd.Errcrt-StatisticProb.

C19.711410.83044723.735910.0000

AR⑴0.5347560.1291764.1397500.0001

AR⑵0.2194580.1277951.7172680.0892

MA(1)0.8575970.07050712.163360.0000

R-squared0.827770Meandepsndentvar19.68422

AdjustedR-squared0.822274S.D.dependentvar2.582161

S.E.ofregression1.088577Akaikeinfocriterion3.047580

Sumsquaredresid111.3901Schwarzcriterion3.153089

Loglikelihood-145.3314F-statistic150.5943

Durbin-Watsonstat2.017941Prob(F-statistic)0.000000

根據(jù)ARM42,2）擬合的結果為:

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C19.725240.81644924.159780.0000

AR(1)0.4421830.3349201.3202660.1900

AR⑵0.2818680.2527201.1153360.2676

MA(1)0.9568900.3274212.9225040.0044

MA(2)0.0805570.2536260.3176210.7515

R-squared0.827780Meandependentvar19.68422

AdjustedR-squared0.820372S.D.dependentvar2.582161

S.E.ofregression1.094384Akaikeinfocriterion3.067934

Sumsquaredresid111.3840Schwarzcriterion3.199820

Loglikelihood-145.3288F-statistic111.7516

Durbin-Watsonstat2.020893Prob(F-statistic)0.000000

上述三個結果中，以4用"42,1）擬合的調(diào)