課時(shí)1導(dǎo)數(shù)正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

5.3.1課時(shí)1導(dǎo)數(shù)正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性1.理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.3.能利用導(dǎo)數(shù)的方法解決相關(guān)的單調(diào)性問題.復(fù)習(xí)導(dǎo)入函數(shù)

y=f(x)在給定區(qū)間

G

上，當(dāng)x1、x2∈G

且x1＜x

2時(shí),（1）都有f(x1)＜f(x2)，則

f(x)在G

上是增函數(shù)；

（2）都有f(x1)＞

f(x2)，則f(x)在G

上是減函數(shù)；函數(shù)的單調(diào)性的定義yxoabyxoab若

f(x)在G上是增函數(shù)或減函數(shù)，則f(x)在G上具有嚴(yán)格的單調(diào)性。單調(diào)函數(shù)的圖像特征G

稱為單調(diào)區(qū)間增函數(shù)減函數(shù)我們先來研究前面學(xué)習(xí)過的高臺(tái)跳水問題.情境圖(1)是某高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的重心相對(duì)于水面的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+4.8t+11的圖象，圖(2)是跳水運(yùn)動(dòng)員的速度v隨時(shí)間t變化的函數(shù)v(t)=h′(t)=-9.8t+4.8的圖象.a=,b是函數(shù)h(t)的零點(diǎn).thaOb(1)tvaOb(2)問題1

運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？如何從數(shù)學(xué)上刻畫這種區(qū)別？觀察圖象可以發(fā)現(xiàn):

(1)從起跳到最高點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員的重心處于上升狀態(tài)，離水面的高度h隨時(shí)間t的增加而增加，即h(t)單調(diào)遞增.相應(yīng)地，v(t)=h'(t)>0.

(2)從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動(dòng)員的重心處于下降狀態(tài)，離水面的高度h隨時(shí)間t的增加而減小，即h(t)單調(diào)遞減.相應(yīng)地，v(t)=h'(t)<0.thaOb(1)tvaOb(2)問題2我們看到，函數(shù)h(t)的單調(diào)性與h'(t)的正負(fù)有內(nèi)在聯(lián)系.那么，我們能否由h'(t)的正負(fù)來判斷函數(shù)h(t)的單調(diào)性呢?對(duì)于高臺(tái)跳水問題，可以發(fā)現(xiàn):

當(dāng)t∈(0,a)時(shí)，h′(t)>0，函數(shù)h(t)的圖象是“上升”的，函數(shù)h(t)在(0,a)內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)t∈(a,b)時(shí)，h'(t)<0，函數(shù)h(t)的圖象是“下降”的，函數(shù)h(t)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.追問

這種情況是否具有一般性呢？在區(qū)間(a,b)上，h′(t)>0在區(qū)間(a,b)上，h′(t)<0在區(qū)間(a,b)上，h(t)單調(diào)遞增在區(qū)間(a,b)上，h(t)單調(diào)遞減猜測問題3

觀察下面一些函數(shù)的圖象，你能說明函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系嗎？xyO(1)xyO(2)xyO(3)xyO(4)xyOy＝xxyOy′＝1在(-∞,+∞)上，f(x)單調(diào)遞增在(-∞,+∞)上，f′(x)>0xyO

y＝x2xyOy′＝2x在(-∞,

0)上，f(x)單調(diào)遞減在(-∞,

0)上，f′(x)<0在(0,+∞)上，f(x)單調(diào)遞增在(0,+∞)上，f′(x)>0xyOy＝x3xyOy′＝3x2在(-∞,

0)上，f(x)單調(diào)遞增在(-∞,

0)上，f′(x)>0在(0,+∞)上，f(x)單調(diào)遞增在(0,+∞)上，f′(x)>0xyOxyO在(-∞,

0)上，f(x)單調(diào)遞減在(-∞,

0)上，f′(x)<0在(0,+∞)上，f(x)單調(diào)遞減在(0,+∞)上，f′(x)<0追問

能否從導(dǎo)數(shù)的幾何意義的角度來探討導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系？xyO(x0,f(x0))(x1,f(x1))如圖示，導(dǎo)數(shù)f

'(x0)表示函數(shù)y=f

(x)的圖象在點(diǎn)(x0,f

(x0))處的切線的斜率，可以發(fā)現(xiàn):在x=x0處f′(x0)>0函數(shù)y=f(x)的圖象上升，在x=x0附近單調(diào)遞增切線“左下右上”上升在x=x1處f′(x1)<0函數(shù)y=f(x)的圖象下降，在x=x1附近單調(diào)遞減切線“左上右下”下降函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一般地，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f'(x)的正負(fù)之間具有如下的關(guān)系:在某個(gè)區(qū)間(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增;在某個(gè)區(qū)間(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.追問1

如果在某個(gè)區(qū)間上恒有f′(x)=0，那么函數(shù)f(x)有什么特性?函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上是常數(shù)函數(shù).追問2

存在有限個(gè)點(diǎn)使得f'(x)=0,其余點(diǎn)都恒有f′(x)>0,則f(x)有什么特性?f(x)仍為增函數(shù).例如:對(duì)于函數(shù)y=x3，y′=3x2.當(dāng)x=0時(shí)，y′=0，當(dāng)x>0時(shí)，y′>0，

而函數(shù)y=x3在R上單調(diào)遞增.xyO

例1

利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:解：xyO(1)（1）因?yàn)?/p>

，其定義域?yàn)镽

.

所以

所以

在R上單調(diào)遞增，如圖（1）所示.（2）因?yàn)?/p>

，所以所以，函數(shù)

在

單調(diào)遞減，如右圖所示.xyO(2)π-π

例1

利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:（2）因?yàn)?/p>

，所以所以，函數(shù)

在

單調(diào)遞減，如右圖所示.xyO(2)π-π

例1

利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:xyO(3)11

例1

利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:①求出函數(shù)的定義域；②求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f

(x)；③判定導(dǎo)數(shù)f

(x)的符號(hào)；④確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性.判定函數(shù)單調(diào)性的步驟：【方法歸納】1.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:解：(2)因?yàn)閒(x)=ex-x，其定義域?yàn)镽.所以f′(x)=ex-1.

令f′(x)=0，得x=0所以當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，f′(x)<0當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f′(x)>0

.

所以，函數(shù)f(x)=ex-x在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增.1.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:解：例2

已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：試畫出函數(shù)f(x)圖象的大致形狀.

在此區(qū)間遞增在此區(qū)間遞減

在此兩處附近幾乎沒有升降變化，切線平行于x軸解：當(dāng)1<x<4時(shí),可知

在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)x>4,或x<1時(shí),可知f(x)在區(qū)間(-∞,1)和(4,+∞)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;分析：例2

已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：試畫出函數(shù)f(x)圖象的大致形狀.

xyO14在此區(qū)間遞增在此區(qū)間遞減

在此兩處附近幾乎沒有升降變化，切線平行于x軸當(dāng)x=1,或x=4時(shí),臨界點(diǎn)

綜上,函數(shù)

f(x)圖象的大致形狀如右圖所示.分析：xyo12xyo12xyo12xyo12xyo21(A)(B)(C)(D)C3.設(shè)

是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，

的圖象如右圖所示，則的圖象最有可能的是()解：xyOabcxyOabc4.

討論1

由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，與我們之前學(xué)習(xí)的函數(shù)單調(diào)性定義是否一致？

由函數(shù)單調(diào)性的定義，你能用平均變化率來表示函數(shù)的單調(diào)性嗎？

（1）?x1、x2∈I，都有

，那么

f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增

（2）?x1、x2∈I，都有

，那么

f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減

【知識(shí)提升】討論2對(duì)于在區(qū)間（a,b）上的單調(diào)函數(shù)

y=f(x)，其平均變化率的幾何意義與

f

'(x)的正負(fù)有什么關(guān)系？

abxoyAB

?x1、x2∈（a,b）,經(jīng)過點(diǎn)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直線AB的斜率就是平均變化率

設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間（a,b）上的導(dǎo)數(shù)f

'(x)為正

直觀上，能找到一點(diǎn)T(x0，f(x0))，使函數(shù)

f(x)的圖像在點(diǎn)T處的切線與直線AB平行，即

T用此方法同樣可以說明函數(shù)