2024秋高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.4.1全稱量詞1.4.2存在量詞學(xué)案含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-1.4.1全稱量詞1.4.2存在量詞自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入生活中常常遇到這樣的描述：“我國13億人口，都解決了溫飽問題”“我國還存在著犯罪活動”“今日，全班全部同學(xué)都按時到?！薄斑@次數(shù)學(xué)競賽至少有3人參與”等等．其中“都”“存在”“全部”“至少”在數(shù)學(xué)命題中也常常出現(xiàn)，它們在命題中充當(dāng)什么角色呢？它們對命題的真假的推斷有什么影響呢？新知導(dǎo)學(xué)1．全稱量詞與全稱命題(1)短語“__全部的__”“__隨意一個__”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“__?__”表示，含有全稱量詞的命題，叫做__全稱命題__.(2)全稱命題的表述形式：對M中隨意一個x，有p(x)成立，可簡記為：__?x∈M，p(x)__.(3)常用的全稱量詞還有“全部”“每一個”“任何”“隨意”“一切”“任給”“全部”，表示__整體或全部__的含義．2．存在量詞與特稱命題(1)短語“__存在一個__”“__至少有一個__”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“__?__”表示，含有存在量詞的命題，叫做__特稱命題__.(2)特稱命題的表述形式：存在M中的一個x0，使p(x0)成立，可簡記為，__?x0∈M，p(x0)__.(3)存在量詞：“有些”“有一個”“存在”“某個”“有的”，表示__個別或一部分__的含義．預(yù)習(xí)自測1．下列命題中含有全稱量詞的是(D)A．至少有一個自然數(shù)是2的倍數(shù)B．存在小于零的整數(shù)C．方程3x＝2有實數(shù)根D．無理數(shù)是小數(shù)[解析]選項D中“無理數(shù)”指的是全部的無理數(shù)．2．下列語句是特稱命題的是(B)A．整數(shù)n是2和7的倍數(shù)B．存在整數(shù)n0，使n0能被11整除C．x>7D．?x∈M，p(x)成立[解析]選項A、C不是命題，選項B中有存在量間“存在”，故B項是特稱命題．D是全稱命題．3．選出與其他命題不同的命題(B)A．有一個平行四邊形是菱形B．任何一個平行四邊形是菱形C．某些平行四邊形是菱形D．有的平行四邊形是菱形[解析]B選項為全稱命題，其余的為特稱命題．4．下列命題中，假命題是(B)A．?x∈R,3x－2>0 B．?x∈N*，(x－2)2>0C．?x0∈R，lgx0≤2 D．?x0∈R，tanx0＝2[解析]特別值驗證x＝2時，(x－2)2＝0，∴?x∈N*，(x－2)2>0是假命題，故選B．5．若對隨意x>3，x>a恒成立，則a的取值范圍是__(－∞，3]__.[解析]a<x在x∈(3，＋∞)恒成立，令g(x)＝x，則a<g(x)min，∵g(x)min>g(3)＝3，∴a≤3.互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?全稱命題與特稱命題的判定典例1(1)下列命題：①至少有一個x，使x2＋2x＋1＝0成立；②對隨意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③對隨意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0不成立．其中是全稱命題的個數(shù)為(B)A．1 B．2C．3 D．4(2)下列命題為特稱命題的是(D)A．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱B．正四棱柱都是平行六面體C．不相交的兩條直線是平行直線D．存在實數(shù)大于等于3[規(guī)范解答](1)中，只有②③含有全稱量詞，故選B．(2)中，只有選項D含有存在量詞，故選D．『規(guī)律總結(jié)』1.推斷一個語句是全稱命題還是特稱命題的步驟：(1)首先判定語句是否為命題，若不是命題，就當(dāng)然不是全稱命題或特稱命題．(2)若是命題，再分析命題中所含的量詞，含有全稱量詞的命題是全稱命題，含有存在量詞的命題是特稱命題．2．當(dāng)命題中不含量詞時，要留意理解命題含義的實質(zhì)．3．一個全稱(或特稱)命題往往有多種不同的表述方法，有時可能會省略全稱(存在)量詞，應(yīng)結(jié)合詳細問題多加體會．┃┃跟蹤練習(xí)1__■推斷下列語句是否是全稱命題或特稱命題．(1)有一個實數(shù)a，a不能取對數(shù)；(2)若全部不等式的解集為A，則有A?R；(3)三角函數(shù)都是周期函數(shù)嗎？(4)自然數(shù)的平方是正數(shù)．[解析]因為(1)含有存在量詞，所以命題(1)為特稱命題；(4)因為“自然數(shù)的平方是正數(shù)”的實質(zhì)是“隨意一個自然數(shù)的平方都是正數(shù)”，所以(2)(4)均含有全稱量詞，故為全稱命題，(3)不是命題．綜上所述，(1)為特稱命題，(2)(4)為全稱命題，(3)不是命題．命題方向?全稱命題與特稱命題的真假推斷典例2指出下列命題中，哪些是全稱命題，哪些是特稱命題，并推斷真假．(1)在平面直角坐標系中，隨意有序?qū)崝?shù)對(x，y)都對應(yīng)一點；(2)存在一個實數(shù)，它的肯定值不是正數(shù)；(3)對隨意實數(shù)x1、x2，若x1<x2，則tanx1<tanx2；(4)存在一個函數(shù)，既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)．[規(guī)范解答](1)(3)是全稱命題，(2)(4)是特稱命題．(1)在平面直角坐標系中，隨意有序?qū)崝?shù)對(x，y)與平面直角坐標系中的點是一一對應(yīng)的，所以該命題是真命題．(2)存在一個實數(shù)零，它的肯定值不是正數(shù)，所以該命題是真命題．(3)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，所以該命題是假命題．(4)存在一個函數(shù)f(x)＝0，它既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)，所以該命題是真命題．『規(guī)律總結(jié)』1.全稱命題的真假推斷要判定一個全稱命題是真命題，必需對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個x＝x0，使得p(x0)不成馬上可．2．特稱命題的真假推斷要判定一個特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，找到一個x＝x0，使p(x0)成馬上可；否則，這一特稱命題就是假命題．┃┃跟蹤練習(xí)2__■有下列四個命題：①?x∈{1，－1,0},2x＋1>0；②?x0∈N，xeq\o\al(2,0)≤x0；③?x0∈N*，x0為29的約數(shù)；④有的向量方向不定．其中真命題的個數(shù)為(C)A．1 B．2C．3 D．4學(xué)科核心素養(yǎng)利用全稱命題和特稱命題的真假求參數(shù)范圍典例3命題p：?x∈R，sinxcosx≥m，若命題p是真命題，求實數(shù)m的取值范圍．[規(guī)范解答]m≤sinxcosx，?x∈R恒成立，令f(x)＝sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x，f(x)min＝－eq\f(1,2)，?x∈R，∴m≤－eq\f(1,2)，∴實數(shù)m的取值范圍eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).┃┃跟蹤練習(xí)3__■若命題“?x0∈R使得xeq\o\al(2,0)＋mx0＋2m＋5<0”為假命題，則實數(shù)m的取值范圍是(C)A．[－10,6] B．(－6,2]C．[－2,10] D．(－2,10)易混易錯警示典例4指出下列命題是全稱命題還是特稱命題．(1)“末位是0的整數(shù)，可以被5整除”；(2)當(dāng)x∈(0,1)時，eq\f(1,2)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<1；(3)有的平面四邊形兩對角線相互垂直．[錯解](1)無法判定．(2)特稱命題．(3)全稱命題．[辨析]對省略全稱量詞和存在性量詞的命