專題21 全等與相似模型之半角模型解讀與提分精練（全國）

專題21全等與相似模型之半角模型全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就半角模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.半角模型（全等模型） 1模型2.半角模型（相似模型） 13 15大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！模型1.半角模型（全等模型）半角模型概念：半角模型是指是指有公共頂點(diǎn)，較小角等于較大角的一半，較大的角的兩邊相等，通過旋轉(zhuǎn)，可將角進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，構(gòu)造全等三角形的幾何模型。1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。證明：將△CBE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共線。∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，∴AEF的周長=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，過點(diǎn)C作CH⊥EF，則∠CHE=90°，∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等），再利用HL證得：△CBE≌△CHE，∴∠HEC=∠CBE，同理可證：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；結(jié)論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；證明：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2；3）等邊三角形半角模型（120°-60°型）條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周長=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。證明：將△DBE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF，∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，∴AEF的周長=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，過點(diǎn)D作DH⊥EF，DM⊥GF，則∠DHF=∠DMF=90°，∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等），再利用HL證得：△DHF≌△DMF，∴∠HFD=∠MFD，同理可證：∠BFD=∠FED，即DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。4）等邊三角形半角模型（60°-30°型）條件：ABC是等邊三角形，∠EAD=30°；結(jié)論：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+；證明：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，過點(diǎn)F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，F(xiàn)H=CF=BD，∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2；5）任意角度的半角模型（-型）條件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。證明：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針°至△ACF，即△BAD≌△CAF，∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=，∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。例1．（2023·廣東廣州·二模）在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，連接．(1)如圖1，若，，求的長度；(2)如圖2，連接，與、分別相交于點(diǎn)M、N，若正方形的邊長為6，，求的長；(3)判斷線段三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論﹒

例2．（23-24八年級(jí)下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．(1)【問題背景】已知：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊上，，連接，則之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？（分析：我們把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)G、B、C在一條直線上．）于是易證得：和，所以．直接應(yīng)用：正方形的邊長為6，，則的值為．(2)【變式練習(xí)】已知：如圖2，在中，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，請寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【拓展延伸】在（2）的條件下，當(dāng)繞著點(diǎn)A逆時(shí)針一定角度后，點(diǎn)D落在線段BC上，點(diǎn)E落在線段BC的延長線上，如圖3，此時(shí)（2）的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的結(jié)論．

例3．（23-24九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）如圖，在中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D、E都在邊BC上，∠BAD＝15°，∠DAE＝60°．若DE=3，則AB的長為．例4．（23-24九年級(jí)上·江西南昌·期中）（1）如圖①，在直角中，，，點(diǎn)D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），連接，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，那么之間的位置關(guān)系為__________，數(shù)量關(guān)系為__________；（2）如圖②，在中，，，D，E（點(diǎn)D，E不與點(diǎn)B，C重合）為上兩動(dòng)點(diǎn)，且．求證：．（3）如圖③，在中，，，，，D，E（點(diǎn)D，E不與點(diǎn)B，C重合）為上兩動(dòng)點(diǎn)，若以為邊長的三角形是以為斜邊的直角三角形時(shí)，求的長．例5．（2024·江西·九年級(jí)期中）（1）【特例探究】如圖1，在四邊形中，，，，，猜想并寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，證明你的猜想；（2）【遷移推廣】如圖2，在四邊形中，，，．請寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在海上軍事演習(xí)時(shí)，艦艇在指揮中心（處）北偏東20°的處．艦艇乙在指揮中心南偏西50°的處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正西方向以80海里/時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/時(shí)的速度前進(jìn)，半小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)，處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為75°．請直接寫出此時(shí)兩艦艇之間的距離．例6．（2022·湖北十堰·中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形中，，，點(diǎn)，分別在，上，若，則．【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形．已知，，，，道路，上分別有景點(diǎn)，，且，，若在，之間修一條直路，則路線的長比路線的長少_________（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）．模型2.半角模型（相似模型）半角模型特征：①共端點(diǎn)的等線段；②共頂點(diǎn)的倍半角；半角模型輔助線的作法：由旋轉(zhuǎn)（或翻折）構(gòu)造兩對全等，從而將邊轉(zhuǎn)化，找到邊與邊的關(guān)系（將分散的條件集中，隱蔽的關(guān)系顯現(xiàn)）。常見的考法包括：90°與45°（正方形、直角三角形）；120°與60°（等邊三角形）等。1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點(diǎn)，且∠EAF＝45°結(jié)論：如圖1，△MDA∽△MAN∽△ABN；圖1圖2證明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF，∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN；結(jié)論：如圖2，△BME∽△AMN∽△DFN.證明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF，∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN；結(jié)論：如圖3，連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；圖3圖4證明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。同理：△AND∽△AEC，；即。結(jié)論：如圖4，△AMN∽△AFE且．證明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN；又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由圖3證明知：，∴。2）半角模型（含120-60°半角模型）圖5條件：如圖5，已知∠BAC＝120°，；結(jié)論：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）。證明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：，同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；，∴，∵AD=AE=DE，∴例1．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，AE、AF分別交BD于M、N，連按EN、EF，有以下結(jié)論：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③當(dāng)AE=AF時(shí)，；④BE+DF=EF；⑤若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，則CECB．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．2 B．3 C．4 D．5例2．（23-24九年級(jí)上·河北唐山·階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺放在一起，如圖1所示，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，點(diǎn)D在的延長線上，，．若將固定不動(dòng)，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（），此時(shí)線段，射線分別與射線交于點(diǎn)M，N．(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，①求證：；②在圖2中除外還有哪些相似三角形，直接寫出；③如圖2，若，求的長；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，若，請直接寫出的長_________（用含d的式子表示）．

例3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）（1）如圖，等腰中，，，、在線段上，且，，，求的長．（2）如圖，在中，，如果，在直線上，在上，在的右側(cè)，，若，，求的長．（3）如圖，在中，若，、是線段上的兩點(diǎn)，，若，，探究與的數(shù)量關(guān)系．例4．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）在菱形中，．點(diǎn)，分別在邊，上，且．連接，．（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）平分交于點(diǎn)．①如圖2，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長．②如圖3，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)不重合）．當(dāng)，時(shí)，是否存在直線將分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1∶3．若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．例5．（2024·山東煙臺(tái)·一模）如圖①，在正方形中，點(diǎn)N、M分別在邊、上，連結(jié)、、．，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到．易證：，從而得．

【實(shí)踐探究】（1）在圖①條件下，若，，則正方形的邊長是_________．（2）如圖②，點(diǎn)M、N分別在邊、上，且．點(diǎn)E、F分別在、上，，連接，猜想三條線段、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，在矩形中，，，點(diǎn)M、N分別在邊、上，連結(jié)，，已知，，求的長．

1．（2024·福建南平·二模）已知正方形的邊長為6，E，F(xiàn)分別是，邊上的點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．若，則的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．6.52．（2024·重慶·一模）如圖，正方形中，是上一點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，，連接為中點(diǎn)，連接．若，則（

）

A． B． C． D．3．（2023·江蘇宿遷·三模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，長方形，點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸的正半軸上，，，，、分別交，于點(diǎn)D、E，且，則的長為（

）

A．1 B． C．2 D．4．（23-24九年級(jí)下·湖北襄陽·期中）如圖所示，邊長為4的正方形中，對角線，交于點(diǎn)O，E在線段上，連接，作交于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則，正確的是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④5．（2024·山東淄博·二模）如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)M在CB延長線上，作交延長線于點(diǎn)N，則的長為．6．（2024·吉林·二模）已知：正方形中，，它的兩邊分別交CB，于點(diǎn)，，于點(diǎn)，連結(jié)，則下列結(jié)論①；②；③；④當(dāng)時(shí)，，其中結(jié)論一定正確的序號(hào)是．7．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，，，分別為，邊上的點(diǎn)．若，，則的長為．

8．（2023·上海寶山·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，∠DAE=∠B=30°，且，那么的值是．9．（23-24九年級(jí)上·黑龍江綏化·期中）已知四邊形中，，，，，，繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交，（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，如圖1，易證．（不用證明）(1)當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，如圖2，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；(2)當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，如圖3，（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，線段，，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給予證明．10．（2024·廣西·模擬預(yù)測）實(shí)踐與探究：小明在課后研究正方形與等腰直角三角形疊放后各個(gè)線段間的數(shù)量關(guān)系．已知正方形的邊長為6，等腰的銳角頂點(diǎn)A與正方形的頂點(diǎn)A重合，將此三角形繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，兩邊分別交直線，于M，N，旋轉(zhuǎn)過程中，等腰的邊與正方形沒有交點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)M，N分別在邊，上時(shí)，小明通過測量發(fā)現(xiàn)，他給出了如下的證明：過A作交延長線于G，連接，如圖2，易證，則有．請你幫助小明后續(xù)證明；(2)如圖3，當(dāng)M，N分別在，的延長線上時(shí)，請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰直角三角形的一邊正好經(jīng)過正方形邊上的中點(diǎn)P，求出此時(shí)的長．11．（2024·重慶市育才中學(xué)二模）回答問題（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_______________；（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．12．（2024·山西呂梁·九年級(jí)校考期中）在練習(xí)課上，慧慧同學(xué)遇到了這樣一道數(shù)學(xué)題：如圖，把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD，∠ACD＝30°，以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC，BC于點(diǎn)M，N，∠MDN＝60°，連接MN．探究AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．慧慧分析：可先利用旋轉(zhuǎn)，把其中的兩條線段“接起來”，再通過證明兩三角形全等，從而探究出AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．慧慧編題：在編題演練環(huán)節(jié)，慧慧編題如下：如圖（1），把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD，∠ACD＝45°，以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC，BC于點(diǎn)M，N，，連接MN．（1）先猜想AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，再證明．（2）∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)M，N分別在CA，BC的延長線上，完成圖（2），其余條件不變，直接寫出AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．請你解答：請對慧慧同學(xué)所編制的問題進(jìn)行解答．13．（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，，E、F分別是上的點(diǎn)，且，分別交于點(diǎn)M，N，連接．(1)如圖①，試探究和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)如圖②，若點(diǎn)G是的中點(diǎn)，連接，求證：；(3)在（2）的條件下，若，求的面積．14．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）【模型建立】(1)如圖1，在正方形中，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小明的探究思路如下：延長到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明．①，，之間的數(shù)量關(guān)系為________；②小亮發(fā)現(xiàn)這里可以由經(jīng)過一種圖形變換得到，請你寫出這種圖形變換的過程________．像上面這樣有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型．【類比探究】(2)如圖2，在四邊形中，，與互補(bǔ)，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，試問線段，，之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？判斷并說明理由．【模型應(yīng)用】(3)如圖3，在矩形中，點(diǎn)在邊上，，，，求的長．15．（2024·四川樂山·中考真題）在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問題：【問題情境】如圖1，在中，，，點(diǎn)