專題24以三角形為載體的幾何綜合問(wèn)題 （原卷版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國(guó)通用）

專題24以三角形為載體的幾何綜合問(wèn)題

【例1】（2022·山東棗莊·中考真題）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方

向以每秒cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間2為t秒．

(1)如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；

(2)如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形QPCP′為菱形？

【例2】（2022·山東菏澤·中考真題）如圖1，在中，于點(diǎn)D，在DA上取點(diǎn)E，使，

連接BE、CE．△???∠???=45°,??⊥????=??

(1)直接寫(xiě)出CE與AB的位置關(guān)系；

(2)如圖2，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，得到（點(diǎn)，分別與點(diǎn)B，E對(duì)應(yīng)），連接、，在旋轉(zhuǎn)

′′′′′

的過(guò)程中與△??的?位置關(guān)系與（1）中△的?C?E?與AB?的位?置′關(guān)系是否一致?請(qǐng)說(shuō)明理由；????△???

′

(3)如圖3，??當(dāng)′??繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，射線與AD、分別交于點(diǎn)G、F，若，求

′

的長(zhǎng)．△?????′????=??,??=3

′

??

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【例3】（2022·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段

AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．

(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；

(2)延長(zhǎng)ED交直線BC于點(diǎn)F．

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)______；

②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，且ED＝EC時(shí)，猜想∠BAD的度數(shù)，并說(shuō)明理由．

【例4】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．

(1)如圖1，點(diǎn)E、F分別是線段BD、AD上的點(diǎn)，且DE＝DF，AE與CF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，則AE與CF的數(shù)

量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

(2)如圖2，點(diǎn)E、F分別在DB和DA的延長(zhǎng)線上，且DE＝DF，EA的延長(zhǎng)線交CF于點(diǎn)M．

①（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②連接DM，求∠EMD的度數(shù)；

③若DM＝6，ED＝12，求EM的長(zhǎng)．

2

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【例5】（2022·遼寧大連·中考真題）綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，D是上一點(diǎn)，．求證．

獨(dú)立思考：△?????∠???=∠???∠???=∠???

（1）請(qǐng)解答王老師提出的問(wèn)題．

實(shí)踐探究：

（2）在原有問(wèn)題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問(wèn)題，請(qǐng)你解答．“如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn)

E，使，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別在上，，．在??圖中

找出與??=相?等?的線??段，??并證明．”??,????=??∠???=∠???

問(wèn)題解決??：

（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組河學(xué)時(shí)上述問(wèn)題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，若給出中任意兩邊長(zhǎng)，

則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段長(zhǎng)均可求，該小組提出下面的∠問(wèn)??題?，=請(qǐng)9你0°解答．“如圖△3?，?在?（2）的條件下，

若，，，求的長(zhǎng)．”

∠???=90°??=4??=2??

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26．（2022·山東煙臺(tái)·中考真題）

(1)【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．

(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接

寫(xiě)出的值．

??

(3)【?拓?展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．

????3

①求的值；????4

??

②延長(zhǎng)??CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．

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一、解答題【共20題】

1．（2022·安徽·合肥市五十中學(xué)新校二模）和都是等腰直角三角形，，是

的中點(diǎn)，連接、．△???△???∠???=∠???=90°???

????

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)、分別是線段、上的點(diǎn)時(shí)，求的度數(shù)；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)?是線?段上的點(diǎn)?時(shí)?，?求?證：；∠???

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)?、、?共?線且是的中點(diǎn)時(shí)??，=探?究?和之間的數(shù)量關(guān)系．

???????△????△???

2．（2022·上海·華東師范大學(xué)松江實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）如圖所示，的頂點(diǎn)在矩形對(duì)角線的延長(zhǎng)線上，

，，與交于點(diǎn)，連接，滿足∽△???，其中?對(duì)應(yīng)?，??對(duì)?應(yīng)，?對(duì)?應(yīng)

??=1??=3???????△???△?????????

(1)求證：．

(2)若∠?，??求=30°的值．

1

??=3tan∠???

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3．（2022·福建·廈門市翔安區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校（廈門市翔安區(qū)教育研究中心）模擬預(yù)測(cè)）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，

與均為等腰直角三角形，，則線段、的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)______，、所在△直??線?

的位△置??關(guān)?系為_(kāi)_______；∠???=∠???=90°????????

（2）深入探究：在（1）的條件下，若點(diǎn)A，E，D在同一直線上，為中邊上的高，請(qǐng)判斷

的度數(shù)及線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．??△?????∠???

4．（2020·重慶?市?育才??中學(xué)?二?模）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E、F分別是BC、

CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法：

延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG．先證明△ABE≌△ADG，再證△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論

應(yīng)是．

【靈活運(yùn)用】

（2）如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，F(xiàn)、F分別是BC、CD上的點(diǎn)．且EF=BE+FD，

上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

【延伸拓展】

（3）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD．若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延

長(zhǎng)線上，仍然滿足EF=BE+FD，請(qǐng)寫(xiě)出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過(guò)程．

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5．（2022·北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知四邊形，，，，，是

的角平分線，交射線于，線段的延長(zhǎng)線上?取?一??點(diǎn)∠使?=120°∠，?直=線60°，??=交?于?點(diǎn)??．≠????∠???

????????=???????

(1)補(bǔ)全圖形；

(2)猜想的形狀，并證明你的猜想；

(3)求△與???的數(shù)量關(guān)系．

????

6．（2022·北京市第十九中學(xué)三模）如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，是延長(zhǎng)線

上一點(diǎn)，平移到，線段的中垂線與線△段???的延長(zhǎng)∠?線??交=于9點(diǎn)0°，?連?接>??、?．?????

?????????????

(1)連接，求證：；

(2)依題意??補(bǔ)全圖形，∠?用?等?式=表2∠示?線??段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

??????

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7．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）知識(shí)呈現(xiàn)

（1）如圖，在四邊形中，與互余，我們發(fā)現(xiàn)四邊形中這對(duì)互余的角可進(jìn)行拼合：先作

1，再過(guò)點(diǎn)??作??∠交???于∠點(diǎn)??，?連接后，易于發(fā)現(xiàn)??，??，之間的數(shù)量關(guān)系是______；

∠方?法??運(yùn)=用∠???A??⊥?????????????

（2）如圖，在四邊形中，連接，，點(diǎn)是兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，連接，．

求證：2????；??∠???=90°?△?????∠???=∠???

①連接∠，??如?圖+∠，??已?知=90°，，，求的長(zhǎng)用含，的式子表示．

??

②??3??=???=???=2??(??)

8．（2022·浙江寧波·一模）若一個(gè)三角形的兩條邊的和等于第三條邊的兩倍，我們把這個(gè)三角形叫做和諧三角形．

(1)已知是和諧三角形，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的的長(zhǎng)；

(2)在△??中?，，?D?為=3邊??上=一4點(diǎn)，，連接，若??為和諧三角形，求的長(zhǎng)；

(3)如△圖?，?在?等?腰?=4?中?=8，D??為的中點(diǎn)，??且=2??，E為△??上?一點(diǎn)，滿足??，連接．求

證：為和諧△三??角?形．??=????∠???=∠?????:??=3:2??

△???

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9．（2022·廣東·華南師大附中三模）在我們的數(shù)學(xué)課本上有這樣一道練習(xí)題：

已知，如圖1所示，ABC中∠BAC=90°，AB=AC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分別為點(diǎn)D，

E試判斷BD+CE與D△E的關(guān)系，并給出證明．

(1)還記得是怎么做的嗎？請(qǐng)你再做一遍．

(2)拓展探究：請(qǐng)從上面的練習(xí)題中獲取靈感來(lái)解決下面的問(wèn)題：

已知，如圖2，ABC、DEC均為等腰直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=90°，連接BE、AD，過(guò)C點(diǎn)作CP⊥BE

于P，延長(zhǎng)PC△交AD于△Q，試判斷Q點(diǎn)在AD上的位置，并說(shuō)明理由．

10．（2021·吉林·長(zhǎng)春市赫行實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）閱讀理解在學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了一個(gè)定理：直角三角形斜邊上的中

線等于斜邊的一半，即：如圖1，在[中，]，若點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，則．

1

靈活應(yīng)用如圖2，中，RtΔAB，C∠?，??=90，°點(diǎn)是?的中點(diǎn)??，將沿??翻=折2?得?到，

[連接，]．Δ???∠???=90°??=6??=8???Δ?????Δ???

????

(1)根據(jù)題意，則的長(zhǎng)為．

(2)判斷的形?狀?，并說(shuō)明理由．

(3)請(qǐng)直接Δ?寫(xiě)??出的長(zhǎng)．

??

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11．（2022·廣東·東莞市光明中學(xué)三模）中，，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)不與，

重合，以為邊在右側(cè)作菱形△?，?使?∠???=，60連°接??．=?????(??

?)????????∠???=60°??

(1)觀察猜想：如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，

與的位置關(guān)1系為：_?_____．??

①??，??，之間的數(shù)量關(guān)系為：______；

②(2)數(shù)??學(xué)思??考：?如?圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論，是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不

成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確2結(jié)論再?給予證明?．?①②

(3)拓展延伸：如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)與相交于點(diǎn)，若已知，，求

1

的長(zhǎng)．3??????????=4??=2????

12．（2022·遼寧鞍山·二模）如圖所示，在中，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BE、AD．

△???

(1)如圖1，若是等邊三角形，點(diǎn)C是AE中點(diǎn)，若，求BE的長(zhǎng)．

(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)△?C?作?，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若??=23，；

①，求證?：?∥??；∠???=∠?????=2??

②∠如?圖??3，=若60°?，?求=??．

??=2??∠???

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13．（2021·福建福州·一模）如圖，直角梯形ABCD中，，，，，．點(diǎn)

E為線段DC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單??位∥的??速度∠?沿?折?線=9A0→°B→??C=向4點(diǎn)C??運(yùn)=動(dòng)8，設(shè)?點(diǎn)?=P1的0運(yùn)動(dòng)

時(shí)間為t．

(1)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BP=_________________；（用含t的代數(shù)式表示）

(2)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果以D、P、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，求t的值；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線LDC，與線段AB交于點(diǎn)Q，使四邊形DQPE為直角梯形，求此

時(shí)直角梯形DQPE與直角梯形ABCD面積之比．∥

14．（2021·浙江寧波·二模）如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC=4，BA＝8，點(diǎn)D、E分別為BC、BA的

中點(diǎn)，作直線AE、CD，設(shè)它們的交點(diǎn)為點(diǎn)P．

(1)猜想：在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，線段AE、CD有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？答：、．

(2)利用圖2，證明你在（1）中的猜想．

(3)當(dāng)點(diǎn)D恰好落在直線AE上時(shí)，求線段PC的長(zhǎng)．

(4)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直接寫(xiě)出△PBC面積的最大值．

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15．（2021·四川樂(lè)山·三模）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)，

將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．

(1)觀察猜想

如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是．

??

(2)類比探究??

如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出，并就圖2的情形說(shuō)明理由．

??

(3)解決問(wèn)題??

當(dāng)α＝90°時(shí)，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C，P，D在同一直線上時(shí)

??

的值．??

16．（2021·四川眉山·三模）如圖，已知邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD，E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），連

接AE，將AE繞著E點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后與∠DCG的角平分線相交于點(diǎn)F，過(guò)F點(diǎn)作BC的垂線交BC的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．

(1)求證：△ABE∽△EGF；

(2)若EC＝2，求證△ABE≌△EGF；

(3)當(dāng)EC為何值時(shí)，△CEF的面積最大，并求出其最大值．

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17．（2018·廣東·陸豐市湖東中學(xué)一模）如圖，是等邊三角形，是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，

重合），是以為邊的等邊三角形，過(guò)點(diǎn)△?作??的平行線交射線?于點(diǎn)??，連接．???

△?????????????

(1)如圖1，點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：；

(2)請(qǐng)判斷圖1?中四邊形??的形狀，并△說(shuō)??明?理?由△；???

(3)若點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線??上??，如圖2，其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)（2）中結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

???

18．（2022·山東東營(yíng)·中考真題）和均為等邊三角形，點(diǎn)E、D分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，以相同的

速度沿、運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B△、?C?停?止△.???

????

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、D分別與點(diǎn)A、B重合時(shí)，請(qǐng)判斷：線段、的數(shù)量關(guān)系是____________，位置關(guān)系是

____________；????

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、D不與點(diǎn)A，B重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)

說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形的面積是