專題24以三角形為載體的幾何綜合問題 （原卷版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學壓軸題之學霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題24以三角形為載體的幾何綜合問題

【例1】（2022·山東棗莊·中考真題）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點P從點A出發(fā)，沿AB方

向以每秒cm的速度向終點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點C運動，設

運動的時間2為t秒．

(1)如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；

(2)如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當t為何值時，四邊形QPCP′為菱形？

【例2】（2022·山東菏澤·中考真題）如圖1，在中，于點D，在DA上取點E，使，

連接BE、CE．△???∠???=45°,??⊥????=??

(1)直接寫出CE與AB的位置關系；

(2)如圖2，將繞點D旋轉(zhuǎn)，得到（點，分別與點B，E對應），連接、，在旋轉(zhuǎn)

′′′′′

的過程中與△??的?位置關系與（1）中△的?C?E?與AB?的位?置′關系是否一致?請說明理由；????△???

′

(3)如圖3，??當′??繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°時，射線與AD、分別交于點G、F，若，求

′

的長．△?????′????=??,??=3

′

??

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【例3】（2022·山東濟南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段

AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．

(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關系并給出證明；

(2)延長ED交直線BC于點F．

①如圖2，當點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關系為_______；

②如圖3，當點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．

【例4】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．

(1)如圖1，點E、F分別是線段BD、AD上的點，且DE＝DF，AE與CF的延長線交于點M，則AE與CF的數(shù)

量關系是，位置關系是；

(2)如圖2，點E、F分別在DB和DA的延長線上，且DE＝DF，EA的延長線交CF于點M．

①（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；

②連接DM，求∠EMD的度數(shù)；

③若DM＝6，ED＝12，求EM的長．

2

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【例5】（2022·遼寧大連·中考真題）綜合與實踐

問題情境：

數(shù)學活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1，在中，D是上一點，．求證．

獨立思考：△?????∠???=∠???∠???=∠???

（1）請解答王老師提出的問題．

實踐探究：

（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答．“如圖2，延長至點

E，使，與的延長線相交于點F，點G，H分別在上，，．在??圖中

找出與??=相?等?的線??段，??并證明．”??,????=??∠???=∠???

問題解決??：

（3）數(shù)學活動小組河學時上述問題進行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當時，若給出中任意兩邊長，

則圖3中所有已經(jīng)用字母標記的線段長均可求，該小組提出下面的∠問??題?，=請9你0°解答．“如圖△3?，?在?（2）的條件下，

若，，，求的長．”

∠???=90°??=4??=2??

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26．（2022·山東煙臺·中考真題）

(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．

(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接

寫出的值．

??

(3)【?拓?展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．

????3

①求的值；????4

??

②延長??CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．

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一、解答題【共20題】

1．（2022·安徽·合肥市五十中學新校二模）和都是等腰直角三角形，，是

的中點，連接、．△???△???∠???=∠???=90°???

????

(1)如圖①，當點、分別是線段、上的點時，求的度數(shù)；

(2)如圖②，當點?是線?段上的點?時?，?求?證：；∠???

(3)如圖③，當點?、、?共?線且是的中點時??，=探?究?和之間的數(shù)量關系．

???????△????△???

2．（2022·上海·華東師范大學松江實驗中學三模）如圖所示，的頂點在矩形對角線的延長線上，

，，與交于點，連接，滿足∽△???，其中?對應?，??對?應，?對?應

??=1??=3???????△???△?????????

(1)求證：．

(2)若∠?，??求=30°的值．

1

??=3tan∠???

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3．（2022·福建·廈門市翔安區(qū)教師進修學校（廈門市翔安區(qū)教育研究中心）模擬預測）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，

與均為等腰直角三角形，，則線段、的數(shù)量關系為_______，、所在△直??線?

的位△置??關?系為________；∠???=∠???=90°????????

（2）深入探究：在（1）的條件下，若點A，E，D在同一直線上，為中邊上的高，請判斷

的度數(shù)及線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．??△?????∠???

4．（2020·重慶?市?育才??中學?二?模）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E、F分別是BC、

CD上的點，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關系．小王同學探究此問題的方法：

延長FD到點G，使DG=BE．連接AG．先證明△ABE≌△ADG，再證△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論

應是．

【靈活運用】

（2）如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，F(xiàn)、F分別是BC、CD上的點．且EF=BE+FD，

上述結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．

【延伸拓展】

（3）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD．若點E在CB的延長線上，點F在CD的延

長線上，仍然滿足EF=BE+FD，請寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關系，并給出證明過程．

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5．（2022·北京市三帆中學模擬預測）已知四邊形，，，，，是

的角平分線，交射線于，線段的延長線上?取?一??點∠使?=120°∠，?直=線60°，??=交?于?點??．≠????∠???

????????=???????

(1)補全圖形；

(2)猜想的形狀，并證明你的猜想；

(3)求△與???的數(shù)量關系．

????

6．（2022·北京市第十九中學三模）如圖，在中，，，是的中點，是延長線

上一點，平移到，線段的中垂線與線△段???的延長∠?線??交=于9點0°，?連?接>??、?．?????

?????????????

(1)連接，求證：；

(2)依題意??補全圖形，∠?用?等?式=表2∠示?線??段，，之間的數(shù)量關系，并證明．

??????

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7．（2022·安徽·合肥一六八中學模擬預測）知識呈現(xiàn)

（1）如圖，在四邊形中，與互余，我們發(fā)現(xiàn)四邊形中這對互余的角可進行拼合：先作

1，再過點??作??∠交???于∠點??，?連接后，易于發(fā)現(xiàn)??，??，之間的數(shù)量關系是______；

∠方?法??運=用∠???A??⊥?????????????

（2）如圖，在四邊形中，連接，，點是兩邊垂直平分線的交點，連接，．

求證：2????；??∠???=90°?△?????∠???=∠???

①連接∠，??如?圖+∠，??已?知=90°，，，求的長用含，的式子表示．

??

②??3??=???=???=2??(??)

8．（2022·浙江寧波·一模）若一個三角形的兩條邊的和等于第三條邊的兩倍，我們把這個三角形叫做和諧三角形．

(1)已知是和諧三角形，，，請直接寫出所有滿足條件的的長；

(2)在△??中?，，?D?為=3邊??上=一4點，，連接，若??為和諧三角形，求的長；

(3)如△圖?，?在?等?腰?=4?中?=8，D??為的中點，??且=2??，E為△??上?一點，滿足??，連接．求

證：為和諧△三??角?形．??=????∠???=∠?????:??=3:2??

△???

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9．（2022·廣東·華南師大附中三模）在我們的數(shù)學課本上有這樣一道練習題：

已知，如圖1所示，ABC中∠BAC=90°，AB=AC，直線MN經(jīng)過點A，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分別為點D，

E試判斷BD+CE與D△E的關系，并給出證明．

(1)還記得是怎么做的嗎？請你再做一遍．

(2)拓展探究：請從上面的練習題中獲取靈感來解決下面的問題：

已知，如圖2，ABC、DEC均為等腰直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=90°，連接BE、AD，過C點作CP⊥BE

于P，延長PC△交AD于△Q，試判斷Q點在AD上的位置，并說明理由．

10．（2021·吉林·長春市赫行實驗學校二模）閱讀理解在學習中，我們學習了一個定理：直角三角形斜邊上的中

線等于斜邊的一半，即：如圖1，在[中，]，若點是斜邊的中點，則．

1

靈活應用如圖2，中，RtΔAB，C∠?，??=90，°點是?的中點??，將沿??翻=折2?得?到，

[連接，]．Δ???∠???=90°??=6??=8???Δ?????Δ???

????

(1)根據(jù)題意，則的長為．

(2)判斷的形?狀?，并說明理由．

(3)請直接Δ?寫??出的長．

??

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11．（2022·廣東·東莞市光明中學三模）中，，，點為直線上一動點點不與，

重合，以為邊在右側(cè)作菱形△?，?使?∠???=，60連°接??．=?????(??

?)????????∠???=60°??

(1)觀察猜想：如圖，當點在線段上時，

與的位置關1系為：_?_____．??

①??，??，之間的數(shù)量關系為：______；

②(2)數(shù)??學思??考：?如?圖，當點在線段的延長線上時，結(jié)論，是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不

成立，請你寫出正確2結(jié)論再?給予證明?．?①②

(3)拓展延伸：如圖，當點在線段的延長線上時，設與相交于點，若已知，，求

1

的長．3??????????=4??=2????

12．（2022·遼寧鞍山·二模）如圖所示，在中，點D是BC中點，點E是AC延長線上一點，連接BE、AD．

△???

(1)如圖1，若是等邊三角形，點C是AE中點，若，求BE的長．

(2)如圖2，過點△?C?作?，交AD的延長線于點F，若??=23，；

①，求證?：?∥??；∠???=∠?????=2??

②∠如?圖??3，=若60°?，?求=??．

??=2??∠???

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13．（2021·福建福州·一模）如圖，直角梯形ABCD中，，，，，．點

E為線段DC的中點，動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單??位∥的??速度∠?沿?折?線=9A0→°B→??C=向4點C??運=動8，設?點?=P1的0運動

時間為t．

(1)點P在運動過程中，BP=_________________；（用含t的代數(shù)式表示）

(2)點P在運動過程中，如果以D、P、E為頂點的三角形為等腰三角形，求t的值；

(3)當點P運動到線段BC上時，過點P作直線LDC，與線段AB交于點Q，使四邊形DQPE為直角梯形，求此

時直角梯形DQPE與直角梯形ABCD面積之比．∥

14．（2021·浙江寧波·二模）如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC=4，BA＝8，點D、E分別為BC、BA的

中點，作直線AE、CD，設它們的交點為點P．

(1)猜想：在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段AE、CD有怎樣的數(shù)量和位置關系？答：、．

(2)利用圖2，證明你在（1）中的猜想．

(3)當點D恰好落在直線AE上時，求線段PC的長．

(4)在旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出△PBC面積的最大值．

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15．（2021·四川樂山·三模）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點P是平面內(nèi)不與點A，C重合的任意一點，

將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．

(1)觀察猜想

如圖1，當α＝60°時，的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是．

??

(2)類比探究??

如圖2，當α＝90°時，請寫出，并就圖2的情形說明理由．

??

(3)解決問題??

當α＝90°時，若點E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時

??

的值．??

16．（2021·四川眉山·三模）如圖，已知邊長為10的正方形ABCD，E是BC邊上一動點（與B、C不重合），連

接AE，將AE繞著E點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后與∠DCG的角平分線相交于點F，過F點作BC的垂線交BC的

延長線于點G．

(1)求證：△ABE∽△EGF；

(2)若EC＝2，求證△ABE≌△EGF；

(3)當EC為何值時，△CEF的面積最大，并求出其最大值．

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17．（2018·廣東·陸豐市湖東中學一模）如圖，是等邊三角形，是射線上的一個動點（點不與，

重合），是以為邊的等邊三角形，過點△?作??的平行線交射線?于點??，連接．???

△?????????????

(1)如圖1，點在線段上時，求證：；

(2)請判斷圖1?中四邊形??的形狀，并△說??明?理?由△；???

(3)若點在邊的延長線??上??，如圖2，其它條件不變，請問（2）中結(jié)論還成立嗎？如果成立，請說明理由．

???

18．（2022·山東東營·中考真題）和均為等邊三角形，點E、D分別從點A，B同時出發(fā)，以相同的

速度沿、運動，運動到點B△、?C?停?止△.???

????

(1)如圖1，當點E、D分別與點A、B重合時，請判斷：線段、的數(shù)量關系是____________，位置關系是

____________；????

(2)如圖2，當點E、D不與點A，B重合時，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請

說明理由；

(3)當點D運動到什么位置時，四邊形的面積是