專題31中考命題核心元素有關(guān)中點問題（原卷版）

專題31中考命題核心元素有關(guān)中點問題（原卷版）

模塊一典例剖析+針對訓(xùn)練

模型一倍長中線

【模型解讀】當(dāng)已知條件中出現(xiàn)三角形中線時，常常將此中線倍長構(gòu)造全等三角形解決問題．解題時，

條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證

的結(jié)論集合到同一個三角形中．

基本圖形：

典例1（2022?南寧模擬）【閱讀理解】倍長中線是初中數(shù)學(xué)一種重要的數(shù)學(xué)思想，如圖①，在△ABC中，

AD是BC邊上的中線，若延長AD至E，使DE＝AD，連接CE，可根據(jù)SAS證明△ABD≌△ECD，則

AB＝EC．

【類比探究】如圖②，在△DEF中，DE＝3，DF＝7，點G是EF的中點，求中線DG的取值范圍；

【拓展應(yīng)用】如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E是BC的中點．若AE是∠BAD的平分線．試

探究AB，AD，DC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

針對訓(xùn)練

1．（2020?貴陽模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點，DC⊥BC，則△ABC

的面積是（）

A．16B．16C．8D．8

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模型二中位線

【模型解讀】當(dāng)已知條件中同時出現(xiàn)兩個及兩個以上中點時，?？紤]構(gòu)造中位線；或出現(xiàn)一個中點，

要求證明平行線段或線段倍分關(guān)系時，也?？紤]構(gòu)造中位線．

基本圖形：

典例2如圖，在△ABC的兩邊AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中點M、Q、N．求

證：MQ＝QN．

針對訓(xùn)練

1．（2022春?鳳翔縣期末）如圖，在△ABC中，D是AB上一點，AD＝AC，AE⊥CD，垂足為點E，F(xiàn)是BC

的中點，若BD＝10，則EF的長為（）

A．8B．10C．5D．4

2．如圖，在△ACE中，點B是AC的中點，點D是CE的中點，點M是AE的中點，四邊形BCGF和四邊

形CDHN都是正方形．求證：△FMH是等腰直角三角形．

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模型三等腰三角形“三線合一”

【模型解讀】當(dāng)出現(xiàn)等腰三角形時，常作底邊的中線，可利用“三線合一”的性質(zhì)解題．

基本圖形：

典例3（高平市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，點D為BC的中點，DE⊥AB，垂足為

點E，求DE的長．

針對訓(xùn)練

1．（2021秋?下城區(qū)期中）如圖，在鈍角△ABC中，AH⊥BC，垂足為點H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝70°，

則∠BAC＝，若將題目改為在銳角△ABC中，其它條件不變，則∠BAC＝．

2．（2022秋?揚州期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D為BC的中點，

（1）求AD長；

（2）若DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E、F，求證：DE＝DF．

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3．（2011春?內(nèi)江期末）如圖1所示，等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，根據(jù)等腰三角形的“三線合

一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，則有∠BAD＝30°，．于是可得出結(jié)論“直角

1

三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”．??=??=2??

請根據(jù)從上面材料中所得到的信息解答下列問題：

（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝a，則BC＝；

（2）如圖2所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線交AB于點D，垂足為E，當(dāng)BD＝5cm，

∠B＝30°時，△ACD的周長＝．

（3）如圖3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中點，DE⊥AB，垂足為E，那么

BE：EA＝．

（4）如圖4所示，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且∠CAD＝∠ABE，AD、BE交于

點P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB與PQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

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模型四直角三角形斜邊中線

【模型解讀】當(dāng)已知條件中同時出現(xiàn)直角三角形和中點時，常構(gòu)造直角三角形斜邊中線，然后利用直

角三角形斜邊的中線性質(zhì)解決問題．

基本圖形：

典例4如圖，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分別是BC、DE的中點，連接GF、EG、DG．求證：（1）

EG＝DG；

（2）GF⊥DE．

針對訓(xùn)練

1．（2022秋?上城區(qū)期中）已知：如圖∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分別是AC、BD的中點．

（1）求證：MN⊥BD．

（2）若∠BAD＝45°，連接MB、MD，判斷△MBD的形狀，并說明理由．

2．（2018秋?閔行區(qū)期末）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點E在AC上，ABDE，AD∥BC．

1

求證：∠CBA＝3∠CBE．=2

模型五三角形邊的垂直平分線

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【模型解讀】當(dāng)三角形某一邊的垂線過該邊的中點時，可以考慮用垂直平分線的性質(zhì)得到BE＝CE，

進而證明線段間的數(shù)量關(guān)系．

基本圖形：

典例5（2019秋?姜堰區(qū)期中）如圖，直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，l與m分別交

邊AB于點D和點E．

（1）若AB＝10，求△CDE的周長；

（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度數(shù)．

針對訓(xùn)練

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，若CD＝5，

則AE＝．

2．（2022秋?無棣縣期中）如圖，BD垂直平分AG于D，CE垂直平分AF于E，若BF＝2，F(xiàn)G＝4，GC＝

3，則△ABC的周長為．

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模塊二2023中考押題預(yù)測

1．（2022秋?新吳區(qū)期中）如圖，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝6．過C作∠BAC的角平分線的垂線，垂

足為D，點E為DC邊的中點連結(jié)BD，CD，則S△BEC的最大值為（）

A．10B．9.2C．8D．7.5

2．（2021春?青龍縣期末）在△ABC中，AB＝7，AC＝6，BC＝5，D、E分別是AB、AC的中點，則DE的

長為（）

A．4B．3.5C．3D．2.5

3．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE與BC的垂直平分線DF交于點D，連接AD，CD，則∠ABC

與∠ADC之間的數(shù)量關(guān)系為．

4．（2020春?市南區(qū)期末）如圖，點D是△ABC三邊垂直平分線的交點，若∠A＝63°，則∠D＝．

5．如圖，AD是△ABC的中線，AB＝AC＝13，BC＝10，求AD長．

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6．（2021秋?東陽市校級月考）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若點P從點A出發(fā)，

以每秒2cm的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運動，設(shè)運動時間為t秒（t＞0）．

（1）求AC的長及斜邊AB邊上的高；

（2）若點P在AC上，且滿足PA＝PB時，求出此時t的值；

（3）若點P恰好在∠BAC的角平分線上，求t的值．

7．如圖所示，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，AC的中點為M，BD的中點為N，判斷MN與BD之

間的位置關(guān)系，并說明理由．

8．（2022?茂南區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB中點，BE∥CD，CE∥AB．試判斷

四邊形BDCE的形狀，并證明你的結(jié)論．

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9．（2019秋?洛陽期末）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點O，

分別交BC于點D、E，已知△ADE的周長5cm．

（1）求BC的長；

（2）分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為13cm，求OA的長．

10．如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，過D點作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，M、N分別是AD，

EF的中點．求證：MN⊥EF．

第9