人教版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修1)《2.1直線的傾斜角與斜率》同步測試題帶答案

第第頁人教版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修1)《2.1直線的傾斜角與斜率》同步測試題帶答案考試時間：60分鐘；滿分：100分學(xué)校：___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．直線的傾斜角(1)傾斜角的定義①當(dāng)直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．②當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.2．直線的斜率(1)直線的斜率把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα.(2)斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<0(3)過兩點的直線的斜率公式過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3．兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對應(yīng)關(guān)系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線的斜率都不存在圖示4．兩條直線垂直的判定圖示對應(yīng)關(guān)系l1⊥l2(兩直線的斜率都存在)?k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2【題型1直線的傾斜角】【方法點撥】直線傾斜角的概念和范圍：(1)求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時要根據(jù)情況分類討論．(2)注意傾斜角的范圍．【例1】（2022·江蘇·鹽城市高二階段練習(xí)）直線x?3y+1=0的傾斜角為（A．30° B．45° C．120° D．150°【變式1-1】（2022·甘肅臨夏·高二期末（文））直線3x?3y?2m=0A．120° B．60° C．30°【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過A(1,?3)，B(?2,0)兩點的直線的傾斜角是（

）A．45 B．60° C．120° D．135°【變式1-3】（2021·安徽·高二階段練習(xí)）直線ax+ay+1=0a≠0A．π6 B．π4 C．2π3【題型2直線的斜率】【方法點撥】求直線的斜率：(1)運用公式的前提條件是“x1≠x2”，當(dāng)直線與x軸垂直時，斜率是不存在的．(2)斜率公式與兩點P1，P2的先后順序無關(guān)．【例2】（2022·北京十五中高二期中）如圖，直線l1,lA．k4<kC．k4<k【變式2-1】（2022·安徽省亳州市高二期末）將直線3x?3y=0繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)A．33 B．?33 C．3【變式2-2】（2021·廣東·深圳高二階段練習(xí)）直線y=?tanA．33 B．C．?3 D．【變式2-3】（2021·全國·高二專題練習(xí)）已知在直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC中A與原點重合，若AB的斜率為32，則BCA．33 B．34 C．?3【題型3傾斜角和斜率的應(yīng)用】【方法點撥】傾斜角和斜率的應(yīng)用(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯(lián)系．(2)涉及直線與線段有交點問題，常根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，利用斜率公式求解．【例3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點A(3,?5)，B(?2,?2)，直線l過點P(1,1)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（）A．k≥1或k≤?3 B．?3≤k≤1C．?1≤k≤3 D．以上都不對【變式3-1】（2022·貴州·遵義市高二期中（理））直線l的傾斜角等于直線x?3y=0傾斜角的2倍，則直線A．233 C．23 D．【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)直線l的斜率為k，且?1≤k<3，求直線l的傾斜角αA．0,π3∪C．π6,3【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線m:x?2y+2=0，n:2x?y+1=0，若直線l過P(1,3)且與直線m?n在第一象限圍成一個等腰銳角三角形，則直線l的斜率是（

）A．?1 B．?23 C．?【題型4兩條直線平行的判定】【方法點撥】判斷兩條不重合的直線是否平行的方法【例4】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）直線ax?2y?1=0和直線2y?3x+b=0平行，則直線y=ax+b和直線y=3x+1的位置關(guān)系是（

）A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交【變式4-1】（2022·河南高二階段練習(xí)）若直線x+my+3=0與直線4mx+y+6=0平行，則m=（

）A．12 B．?12 C．12【變式4-2】（2021·山西·懷仁市高二階段練習(xí)）直線l1:a?1x+y+1=0，l2A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式4-3】（2021·全國·高二課時練習(xí)）滿足下列條件的直線l1與l2，其中①l1的斜率為2，l2過點A1,2②l1經(jīng)過點P3,3，Q?5,3，l2平行于③l1經(jīng)過點M?1,0，N?5,?2，l2經(jīng)過點A．①② B．②③C．①③ D．①②③【題型5兩條直線垂直的判定】【方法點撥】判斷兩條直線是否垂直：在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可，但應(yīng)注意有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時，這兩條直線也垂直．【例5】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）下列方程所表示的直線中，一定相互垂直的一對是(

)A．a(chǎn)x+2y?1=0與2x+ay+2=0 B．6x?4y?3=0與10x+15y+c=0C．2x+3y?7=0與4x?6y+5=0 D．3x?4y+b=0與3x+4y=0【變式5-1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）下列直線中，與直線l:y=3x+1垂直的是（

）A．直線y=?3x+1 B．直線y=3x?1C．直線y=13x?1【變式5-2】已知直線l1:x?2y+1=0，l2:2x+ay?1=0，若A．1 B．12 C．?12【變式5-3】（2022·河南高二階段練習(xí)）m＝－1是直線mx＋(2m－1)y＋1＝0和直線3x＋my＋2＝0垂直的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【題型6垂直與平行的應(yīng)用】【方法點撥】用代數(shù)運算解決幾何圖形問題(1)利用直線的斜率判定平面圖形的形狀一般要運用數(shù)形結(jié)合的方法，先由圖形作出猜測，然后利用直線的斜率關(guān)系進行判定．(2)明確運算對象，探究運算思路，是對邏輯推理與數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的考查．【例6】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知A?4,3，B2,5，C6,3，D?3,0四點，若順次連接【變式6-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)A(5,?1)，B(?3,0)，C(2,m)，問是否存在正實數(shù)m，使△ABC為直角三角形?【變式6-2】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OPQR的頂點按逆時針順序依次是O0,0，P1,t，Q1?2t,2+t，R?2t,2，其中【變式6-3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知A1,2，B5,0，（1）若A，B，C，D可以構(gòu)成平行四邊形，求點D的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，判斷A，B，C，D構(gòu)成的平行四邊形是否為菱形.參考答案【題型1直線的傾斜角】【方法點撥】直線傾斜角的概念和范圍：(1)求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時要根據(jù)情況分類討論．(2)注意傾斜角的范圍．【例1】（2022·江蘇·鹽城市高二階段練習(xí)）直線x?3y+1=0的傾斜角為（A．30° B．45° C．120° D．150°【解題思路】求得直線的斜率，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解.【解答過程】由題意，直線可化為y=33x+設(shè)直線的傾斜角為α，則tanα=因為0°≤α<180°，所以α=30°．故選：A．【變式1-1】（2022·甘肅臨夏·高二期末（文））直線3x?3y?2m=0A．120° B．60° C．30°【解題思路】根據(jù)直線斜率k=tan【解答過程】直線3x?3y?2m=0中，斜率k=?AB=3又α∈0°,180°，∴α=30°故選：C.【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過A(1,?3)，B(?2,0)兩點的直線的傾斜角是（

）A．45 B．60° C．120° D．135°【解題思路】求出斜率后，由斜率與傾斜角的關(guān)系可得傾斜角．【解答過程】由已知直線的斜率為k=0?(?3)?2?1=所以傾斜角α=135°．故選：D.【變式1-3】（2021·安徽·高二階段練習(xí)）直線ax+ay+1=0a≠0A．π6 B．π4 C．2π3【解題思路】求出直線的斜率，結(jié)合傾斜角的取值范圍可得結(jié)果.【解答過程】設(shè)直線ax+ay+1=0a≠0的傾斜角為α，則tanα=?1，因為0≤α<π，故故選：D.【題型2直線的斜率】【方法點撥】求直線的斜率：(1)運用公式的前提條件是“x1≠x2”，當(dāng)直線與x軸垂直時，斜率是不存在的．(2)斜率公式與兩點P1，P2的先后順序無關(guān)．【例2】（2022·北京十五中高二期中）如圖，直線l1,lA．k4<kC．k4<k【解題思路】直接由斜率的定義判斷大小即可.【解答過程】由斜率的定義知，k2故選：D.【變式2-1】（2022·安徽省亳州市高二期末）將直線3x?3y=0繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)A．33 B．?33 C．3【解題思路】由題意知直線的斜率為3，設(shè)其傾斜角為α，將直線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到新直線的斜率為tan(α+【解答過程】由3x?3y=0知斜率為3，設(shè)其傾斜角為α，則將直線3x?3y=0繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)則tan(α+故新直線的斜率是?3故選：B.【變式2-2】（2021·廣東·深圳高二階段練習(xí)）直線y=?tanA．33 B．C．?3 D．【解題思路】利用直線的斜截式方程可求得直線的斜率.【解答過程】直線y=?tan2π3故選：D.【變式2-3】（2021·全國·高二專題練習(xí)）已知在直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC中A與原點重合，若AB的斜率為32，則BCA．33 B．34 C．?3【解題思路】先尋求AB，BC傾斜角之間的關(guān)系，然后結(jié)合兩角和的正切公式即可求解.【解答過程】設(shè)AB的傾斜角α，BC的傾斜角β，則β=α+π3或β=2π3當(dāng)β=α+π3時，tanβ當(dāng)β=2π3+α?xí)r，tanβ故選：C.【題型3傾斜角和斜率的應(yīng)用】【方法點撥】傾斜角和斜率的應(yīng)用(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯(lián)系．(2)涉及直線與線段有交點問題，常根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，利用斜率公式求解．【例3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點A(3,?5)，B(?2,?2)，直線l過點P(1,1)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（）A．k≥1或k≤?3 B．?3≤k≤1C．?1≤k≤3 D．以上都不對【解題思路】先畫出線段AB，之后連接PA，PB求得PA，PB的斜率，通過觀察圖像找到直線l斜率的取值范圍【解答過程】如圖所示，直線PB，PA的斜率分別為kPB=1結(jié)合圖形可知k≥1或k≤?3故選：A.【變式3-1】（2022·貴州·遵義市高二期中（理））直線l的傾斜角等于直線x?3y=0傾斜角的2倍，則直線A．233 C．23 D．【解題思路】先求出直線x?3y=0傾斜角，即可求出直線【解答過程】直線x?3y=0的斜率k=3所以l的斜率為3.故選：B.【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)直線l的斜率為k，且?1≤k<3，求直線l的傾斜角αA．0,π3∪C．π6,3【解題思路】由?1≤k<3，得到?1≤【解答過程】由題意，直線l的傾斜角為α，則α∈0,因為?1≤k<3，即?1≤結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，可得α∈0,故選：D．【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線m:x?2y+2=0，n:2x?y+1=0，若直線l過P(1,3)且與直線m?n在第一象限圍成一個等腰銳角三角形，則直線l的斜率是（

）A．?1 B．?23 C．?【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)直線l的斜率為k，分析直線m、n的交點為(0,1)，設(shè)A(0,1)，而點P(1,3)在直線n上，求出tan∠PAB的值，分析可得∠PAB<45°，故A必為頂點，由此可得∠APB=∠ABP，必有2?k1+2k=?【解答過程】解：根據(jù)題意，設(shè)直線l的斜率為k，直線m:x?2y+2=0，n:2x?y+1=0，兩直線相交于點(0,1)，設(shè)A(0,1)，點P(1,3)在直線n上，直線l與直線n相交于點B，△PAB為等腰銳角三角形，則tan∠PAB=2?1故A必為頂點，必有k<0則有∠APB=∠ABP，必有2?k1+2k=?12?k則k=?1，故選：A．【題型4兩條直線平行的判定】【方法點撥】判斷兩條不重合的直線是否平行的方法【例4】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）直線ax?2y?1=0和直線2y?3x+b=0平行，則直線y=ax+b和直線y=3x+1的位置關(guān)系是（

）A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交【解題思路】利用兩直線平行的等價條件即可求解.【解答過程】因為直線ax?2y?1=0和直線2y?3x+b=0平行，所以a=3,b≠1，故直線y=ax+b為y=3x+b，與直線y=3x+1平行故選：B.【變式4-1】（2022·河南高二階段練習(xí)）若直線x+my+3=0與直線4mx+y+6=0平行，則m=（

）A．12 B．?12 C．12【解題思路】根據(jù)兩直線平行，列出方程，去掉兩直線重合的情況，即可得到結(jié)果.【解答過程】由直線x+my+3=0與直線4mx+y+6=0平行，可得:4m2=1故選:B.【變式4-2】（2021·山西·懷仁市高二階段練習(xí)）直線l1:a?1x+y+1=0，l2A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】利用直線與直線平行時，斜率相等且截距不相等的性質(zhì)分別討論充分性和必要性即可.【解答過程】解：①充分性：當(dāng)a=2時，l1:x+y+1=0，l2:4x+4y?1=0，所以l1②必要性：l1:a?1x+y+1=0，則a?1a+2?4=0，解得：a=2或當(dāng)a=?3時，兩直線重合，所以a=?3舍去，當(dāng)a=2時，兩直線斜率相等且截距不相等，符合題意，所以必要.所以“a=2”是“l(fā)1故選：C.【變式4-3】（2021·全國·高二課時練習(xí)）滿足下列條件的直線l1與l2，其中①l1的斜率為2，l2過點A1,2②l1經(jīng)過點P3,3，Q?5,3，l2平行于③l1經(jīng)過點M?1,0，N?5,?2，l2經(jīng)過點A．①② B．②③C．①③ D．①②③【解題思路】從斜率是否相等以及直線是否重合兩個角度逐項分析即可.【解答過程】根據(jù)兩點間的斜率公式知①中l(wèi)2的斜率為2，但是不能保證l②③中的兩條直線斜率相等但不重合，可以保證l1故選：B.【題型5兩條直線垂直的判定】【方法點撥】判斷兩條直線是否垂直：在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可，但應(yīng)注意有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時，這兩條直線也垂直．【例5】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）下列方程所表示的直線中，一定相互垂直的一對是(

)A．a(chǎn)x+2y?1=0與2x+ay+2=0 B．6x?4y?3=0與10x+15y+c=0C．2x+3y?7=0與4x?6y+5=0 D．3x?4y+b=0與3x+4y=0【解題思路】兩直線一條斜率為零，一條斜率不存在，此時它們垂直；或者兩直線斜率均存在且不為零，斜率之積為－1，則它們垂直.據(jù)此即可求解.【解答過程】A：a＝0時，兩直線分別為：y=12,x=?1，此時它們垂直；當(dāng)aB：兩直線斜率之積為：64C：兩直線斜率之積為：?2D：兩直線斜率之積為：34故選：B.【變式5-1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）下列直線中，與直線l:y=3x+1垂直的是（

）A．直線y=?3x+1 B．直線y=3x?1C．直線y=13x?1【解題思路】由兩直線垂直，當(dāng)斜率存在時，有k1【解答過程】因為直線l:y=3x+1的斜率為3，所以與直線l:y=3x+1垂直的直線的斜率為?13故選：D.【變式5-2】已知直線l1:x?2y+1=0，l2:2x+ay?1=0，若A．1 B．12 C．?12【解題思路】利用一般式下兩直線垂直的充要條件“l(fā)1【解答過程】由l1故選：A．【變式5-3】（2022·河南高二階段練習(xí)）m＝－1是直線mx＋(2m－1)y＋1＝0和直線3x＋my＋2＝0垂直的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】求出直線mx＋(2m－1)y＋1＝0和直線3x＋my＋2＝0垂直時m的值，再根據(jù)充分必要條件的定義即可得出答案.【解答過程】因為直線mx＋(2m－1)y＋1＝0和直線3x＋my＋2＝0垂直，所以m?3+2m?1?m=0，所以2m2+2m=0所以當(dāng)m＝－1時，直線mx＋(2m－1)y＋1＝0和直線3x＋my＋2＝0垂直.但直線mx＋(2m－1)y＋1＝0和直線3x＋my＋2＝0垂直時，m＝－1不一定成立.所以m＝－1是直線mx＋(2m－1)y＋1＝0和直線3x＋my＋2＝0垂直的充分不必要條件.故選：A.【題型6垂直與平行的應(yīng)用】【方法點撥】用代數(shù)運算解決幾何圖形問題(1)利用直線的斜率判定平面圖形的形狀一般要運用數(shù)形結(jié)合的方法，先由圖形作出猜測，然后利用直線的斜率關(guān)系進行判定．(2)明確運算對象，探究運算思路，是對邏輯推理與數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的考查．【例6】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知A?4,3，B2,5，C6,3，D?3,0四點，若順次連接【解題思路】計算四條邊所在直線的斜率，判斷邊之間的位置關(guān)系，即可判斷圖形ABCD的形狀.【解答過程】由斜率公式，得kAB=5?32??4=1所以kAB=kCD，又因為kAC所以AB//CD．因為kAD≠kBC，所以又因為kAB?k故四邊形ABCD為直角梯形．【變式6-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)A(5,?1)，B(?3,0)，C(2,m)，問是否存在正實數(shù)m，使△ABC為直角三角形?【解題思路】由A,B,C分別為直角求解（相應(yīng)直線斜率乘積為?1）可得．【解答過程】要使△ABC為直角三角形，則角A，B，C中需有一個為直角.由題意知，直線AB，BC，AC的斜率都存在．當(dāng)A為直角時，則AC⊥A