人教版高二上學期數(shù)學(選擇性必修1)《2.11圓的方程》同步測試題及答案

第第頁人教版高二上學期數(shù)學(選擇性必修1)《2.11圓的方程》同步測試題及答案考試時間：60分鐘；滿分：100分學校：___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．圓的定義圓的定義：平面內到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)是圓(定點為圓心,定長為半徑).圓心決定圓的位置,半徑決定圓的大小.2．圓的標準方程(1)圓的標準方程：方程(r>0)叫作以點(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程.(2)圓的標準方程的優(yōu)點：根據圓的標準方程很容易確定圓心坐標和半徑.

(3)圓的標準方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個圓的標準方程中含有三個字母(待定)，因此在一般條件下，只要已知三個獨立的條件，就可以求解圓的標準方程.3．圓的一般方程(1)方程叫做圓的一般方程.

(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個圓的一般方程中含有三個字母(待定)，因此在一般條件下，只要已知三個獨立的條件，就可以求解圓的一般方程.下列情況比較適用圓的一般方程：

①已知圓上三點，將三點坐標代入圓的一般方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn)；

②已知圓上兩點，圓心所在的直線，將兩個點代入圓的方程，將圓心代入圓心所在的直線方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn).4．二元二次方程與圓的方程(1)二元二次方程與圓的方程的關系：

二元二次方程，對比圓的一般方程，我們可以看出圓的一般方程是一個二元二次方程，但一個二元二次方程不一定是圓的方程.(2)二元二次方程表示圓的條件：二元二次方程表示圓的條件是5．點與圓的位置關系(1)如圖所示，點M與圓A有三種位置關系：點在圓上，點在圓內，點在圓外.(2)圓A的標準方程為，圓心為，半徑為；圓A的一般方程為.平面內一點.6．與圓有關的對稱問題(1)圓的軸對稱性：圓關于直徑所在的直線對稱.

(2)圓關于點對稱

①求已知圓關于某點對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.

②若兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點.

(3)圓關于直線對稱

①求已知圓關于某條直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.

②若兩圓關于某直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.7．與圓有關的最值問題(1)與圓的代數(shù)結構有關的最值問題

①形如t=形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；

②形如t=ax+by形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；

③形如t=形式的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題.(2)與圓的幾何性質有關的最值問題①記C為圓心，r為圓的半徑，則圓外一點A到圓上距離的最小值為|AC|-r，最大值為|AC|+r；②過圓內一點的最長弦為圓的直徑，最短弦是以該點為中點的弦；

③記圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，直線與圓相離，則圓上的點到直線的最大距離為d+r，最小距離為d-r；

④過兩定點的所有圓中，面積最小的圓是以這兩個定點為直徑端點的圓.【題型1圓的方程的求法】【方法點撥】(1)圓的標準方程的求法①直接代入法：已知圓心坐標和半徑大小，直接代入求圓的標準方程.???????②待定系數(shù)法：圓的標準方程中含有三個參變量，必須具備三個獨立的條件才能確定出圓的方程.當已知曲線為圓時，一般用待定系數(shù)法，即列出關于a,b,r的方程組，求出a,b,r.(2)圓的一般方程的求法待定系數(shù)法：①設：根據題意設出圓的一般方程；②列：根據已知條件，建立關于D,E,F的方程組；③解：解方程組，求出D,E,F的值.【例1】（2022·江蘇·高二課時練習）經過三個點A(0,0),B(23,0),C(0,?2)的圓的方程為（A．x?32+C．x?32+【變式1-1】（2022·江蘇省高二階段練習）以原點為圓心，2為半徑的圓的標準方程是（

）A．x2+yC．x?22+y?2【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習）與圓x2+y2?4x+6y+3=0A．x2+yC．x2+y【變式1-3】（2022·全國·高二專題練習）△ABC三個頂點的坐標分別是A1,1，B4,2，C3,0，則△ABCA．x2+yC．x2+y【題型2二元二次方程表示圓的條件】【方法點撥】判斷一個二元二次方程是否表示圓，可以從以下幾個方面入手：①看系數(shù)：與的系數(shù)應相等；②看形式：表達式中不應含有xy項；③在比較：要大于0.【例2】（2022·江蘇·高二課時練習）設甲：實數(shù)a<3；乙：方程x2+yA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2-1】（2022·江蘇·高二課時練習）若曲線C：x2+y2+2ax?4ay?10a=0A．?2,0 B．?C．?2,0 D．?【變式2-2】（2022·全國·高二專題練習）若方程x2+y2?4x+2y+5k=0A．(1,+∞) B．(?∞,1) C．【變式2-3】（2022·內蒙古·高一期中）若方程x2+y2+6x+m=0A．?∞,9 B．?∞,?9 C．【題型3點與圓的位置關系】【方法點撥】點M與圓A有三種位置關系：點在圓上，點在圓內，點在圓外.根據具體條件，可以通過幾何法或代數(shù)法進行判斷.【例3】（2022·四川省高二階段練習（理））點P(m，3)與圓(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置關系為（

）A．點在圓外 B．點在圓內 C．點在圓上 D．與m的值有關【變式3-1】（2021·全國·高二課前預習）兩個點M2,?4、N?2,1與圓C:xA．點M在圓C外，點N在圓C外B．點M在圓C內，點N在圓C內C．點M在圓C外，點N在圓C內D．點M在圓C內，點N在圓C外【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習）已知點A（1，2）在圓C：x2+y2+mx?2y+2=0A．?3,?2∪2,+∞C．?2,+∞ D．【變式3-3】（2022·江蘇·高二課時練習）已知點(a,2)在圓x2+yA．?∞,94 B．94,+【題型4圓有關的軌跡問題】【方法點撥】求曲線的軌跡方程，常用以下幾種方法：直接法、代入法、定義法等.①“軌跡”與“軌跡方程”有區(qū)別，“軌跡”是圖形，要指出形狀、位置、大小(范圍)等特征；“軌跡方程”是方程(等式)，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍.②求動點的軌跡往往先求出動點的軌跡方程，然后由方程研究軌跡圖形；求動點的軌跡方程有時需要先由條件判斷軌跡圖形，再由圖形求方程.【例4】（2022·全國·高二課時練習）已知點M(?2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是（

）A．x2+yC．x2+y【變式4-1】（2021·全國·高二課時練習）已知A（3，3），點B是圓x2+y2＝1上的動點，點M是線段AB上靠近A的三等分點，則點M的軌跡方程是（

）A．(x?2)2+(y?2)C．(x?3)2+(y?3)【變式4-2】（2022·江蘇·高二課時練習）已知A，B為圓C:x2+y2?2x?4y+3=0上的兩個動點，P為弦A．(x?1)2+(y?2)C．(x+1)2+(y+2)【變式4-3】（2022·江蘇·高二課時練習）古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數(shù)k(k>0,k≠1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系xOy中，A(?4,0)，B(2,0)，點M滿足|MA||MB|=2，則點M的軌跡方程為（A．(x+4)2+y2=16 B．(x?4)2【題型5與圓有關的對稱問題】【方法點撥】(1)圓關于點對稱：①求已知圓關于某點對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.②若兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點.(2)圓關于直線對稱：①求已知圓關于某條直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.②若兩圓關于某直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.【例5】（2021·全國·高二課時練習）圓(x+2)2+y2=5A．(x?2)2+yC．(x+2)2+(y+2)【變式5-1】（2022·江蘇·高二課時練習）若圓x2?2x+y2=0與圓C關于直線x+y=0A．x2+2x+y2=0 B．x2【變式5-2】（2021·全國·高二課時練習）圓(x?1)2+(y?2)2=1A．(x+5)2+(y?4)C．(x?5)2+(y+4)【變式5-3】（2021·廣東·高二階段練習）若圓C1:(x?1)2+y2=9和圓A．y=?2x?3 B．y=?2x+3C．y=?12x?【題型6與圓有關的最值問題】【方法點撥】與圓有關的最值問題主要有兩類：①與圓的代數(shù)結構有關的最值問題；②與圓的幾何性質有關的最值問題；解題時，根據具體題目分析是哪類最值問題，再進行求解即可.【例6】（2022·山西·高三階段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知A，B為圓x2+y2=9上兩動點，點P(1,1)，且PA⊥PBA．3?2 B．3+2 C．4?2【變式6-1】（2022·河南·高二階段練習）若x，y滿足x2+y2?2x+4y?20=0A．5 B．5?5 C．30?105【變式6-2】（2022·全國·高二課時練習）已知點m,n在過?2,0點且與直線2x?y=0垂直的直線上，則圓C：x?352+y+12A．1 B．2 C．5 D．3【變式6-3】（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，直線y=kx+mk≠0與x軸和y軸分別交于A，B兩點，AB=22，若CA⊥CB，則當k，m變化時，點C到點1,1A．42 B．32 C．22 參考答案【題型1圓的方程的求法】【方法點撥】(1)圓的標準方程的求法①直接代入法：已知圓心坐標和半徑大小，直接代入求圓的標準方程.???????②待定系數(shù)法：圓的標準方程中含有三個參變量，必須具備三個獨立的條件才能確定出圓的方程.當已知曲線為圓時，一般用待定系數(shù)法，即列出關于a,b,r的方程組，求出a,b,r.(2)圓的一般方程的求法待定系數(shù)法：①設：根據題意設出圓的一般方程；②列：根據已知條件，建立關于D,E,F的方程組；③解：解方程組，求出D,E,F的值.【例1】（2022·江蘇·高二課時練習）經過三個點A(0,0),B(23,0),C(0,?2)的圓的方程為（A．x?32+C．x?32+【解題思路】根據三點在坐標系的位置，確定出△ABC是直角三角形，其中BC是斜邊，則有過三點的圓的半徑為BC的一半，圓心坐標為BC的中點，進而根據圓的標準方程求解.【解答過程】由已知得，A(0,0),B(23,0),C(0,?2)分別在原點、x軸、∴AB⊥AC，∴經過三點圓的半徑為r=1圓心坐標為BC的中點23+02∴圓的標準方程為x?3故選：C.【變式1-1】（2022·江蘇省高二階段練習）以原點為圓心，2為半徑的圓的標準方程是（

）A．x2+yC．x?22+y?2【解題思路】根據題意直接寫出圓的標準方程即可.【解答過程】以原點為圓心，2為半徑的圓的標準方程為x2故選：B.【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習）與圓x2+y2?4x+6y+3=0A．x2+yC．x2+y【解題思路】設所求圓的方程為x2+y2?4x+6y+m=0【解答過程】依題意，設所求圓的方程為x2由于所求圓過點1,?1，所以1+1?4?6+m=0，解得m=8，所以所求圓的方程為x2故選：B.【變式1-3】（2022·全國·高二專題練習）△ABC三個頂點的坐標分別是A1,1，B4,2，C3,0，則△ABCA．x2+yC．x2+y【解題思路】利用待定系數(shù)法進行求解即可.【解答過程】設圓的一般方程為x2因為A1,1，B4,2，所以有12故選：B.【題型2二元二次方程表示圓的條件】【方法點撥】判斷一個二元二次方程是否表示圓，可以從以下幾個方面入手：①看系數(shù)：與的系數(shù)應相等；②看形式：表達式中不應含有xy項；③在比較：要大于0.【例2】（2022·江蘇·高二課時練習）設甲：實數(shù)a<3；乙：方程x2+yA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由方程表示圓可構造不等式求得a的范圍，根據推出關系可得結論.【解答過程】若方程x2+y2?x+3y+a=0∵a<3?a<52，∴甲是乙的必要不充分條件.故選：B.【變式2-1】（2022·江蘇·高二課時練習）若曲線C：x2+y2+2ax?4ay?10a=0A．?2,0 B．?C．?2,0 D．?【解題思路】根據圓的一般式變形為標準式，進而可得參數(shù)范圍.【解答過程】由x2得x+a2由該曲線表示圓，可知5a解得a>0或a<?2，故選：B.【變式2-2】（2022·全國·高二專題練習）若方程x2+y2?4x+2y+5k=0A．(1,+∞) B．(?∞,1) C．【解題思路】根據圓的一般式方程需滿足的條件即可直接求出答案.【解答過程】因為方程x2所以?42+2故選：B.【變式2-3】（2022·內蒙古·高一期中）若方程x2+y2+6x+m=0A．?∞,9 B．?∞,?9 C．【解題思路】運用配方法，結合圓的標準方程的特征進行求解即可.【解答過程】由x2得x+32+y故選：A.【題型3點與圓的位置關系】【方法點撥】點M與圓A有三種位置關系：點在圓上，點在圓內，點在圓外.根據具體條件，可以通過幾何法或代數(shù)法進行判斷.【例3】（2022·四川省高二階段練習（理））點P(m，3)與圓(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置關系為（

）A．點在圓外 B．點在圓內 C．點在圓上 D．與m的值有關【解題思路】將點的坐標代入圓的方程中，看結果即可判斷選項是哪個.【解答過程】將點P(m，3)坐標代入(x－2)2＋(y－1)2＝2中，有：(m?2)2+4>2恒成立，故點故選：A.【變式3-1】（2021·全國·高二課前預習）兩個點M2,?4、N?2,1與圓C:xA．點M在圓C外，點N在圓C外B．點M在圓C內，點N在圓C內C．點M在圓C外，點N在圓C內D．點M在圓C內，點N在圓C外【解題思路】本題可將點M、N代入方程左邊，通過得出的值與0的大小關系即可判斷出結果.【解答過程】將M2,?4代入方程左邊得2則點M在圓C內，將N?2,1代入方程左邊得?2則點N在圓C外，故選：D.【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習）已知點A（1，2）在圓C：x2+y2+mx?2y+2=0A．?3,?2∪2,+∞C．?2,+∞ D．【解題思路】由x2+y2+mx?2y+2=0表示圓可得m2+【解答過程】由題意，x2故m2+(?2)2點A（1，2）在圓C：x2故12+故實數(shù)m的取值范圍為m>2或?3<m<?2即m∈故選：A.【變式3-3】（2022·江蘇·高二課時練習）已知點(a,2)在圓x2+yA．?∞,94 B．94,+【解題思路】由點在圓外以及方程表示圓得到不等式組，解不等式組即可.【解答過程】由點在圓外知a2+22?2a?a?3×2+又x2+y解得a<94，故故選：D.【題型4圓有關的軌跡問題】【方法點撥】求曲線的軌跡方程，常用以下幾種方法：直接法、代入法、定義法等.①“軌跡”與“軌跡方程”有區(qū)別，“軌跡”是圖形，要指出形狀、位置、大小(范圍)等特征；“軌跡方程”是方程(等式)，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍.②求動點的軌跡往往先求出動點的軌跡方程，然后由方程研究軌跡圖形；求動點的軌跡方程有時需要先由條件判斷軌跡圖形，再由圖形求方程.【例4】（2022·全國·高二課時練習）已知點M(?2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是（

）A．x2+yC．x2+y【解題思路】設P(x,y)，根據kMP【解答過程】設P(x,y)，由條件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMP即yx+2?y因為P為直角三角形的直角頂點，所以x≠±2，故所求軌跡方程為x2故選：C.【變式4-1】（2021·全國·高二課時練習）已知A（3，3），點B是圓x2+y2＝1上的動點，點M是線段AB上靠近A的三等分點，則點M的軌跡方程是（

）A．(x?2)2+(y?2)C．(x?3)2+(y?3)【解題思路】通過定比分點坐標公式，用M的坐標表示B，把B的坐標代入圓的方程，整理可得點M的軌跡方程.【解答過程】設M點的坐標（x，y），B（a，b），因為點M是線段AB上靠近A的三等分點，所以a＝3x﹣6，b＝3y﹣6，又點B是圓x2+y2＝1上的動點，所以B的坐標適合圓的方程，即x?2故選：A.【變式4-2】（2022·江蘇·高二課時練習）已知A，B為圓C:x2+y2?2x?4y+3=0上的兩個動點，P為弦A．(x?1)2+(y?2)C．(x+1)2+(y+2)【解題思路】在直角三角形中利用幾何關系即可獲解【解答過程】圓C即(x?1)2+因為CA⊥CB,所以AB=又P是AB的中點,所以CP=所以點P的軌跡方程為(x?1)故選：B.【變式4-3】（2022·江蘇·高二課時練習）古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數(shù)k(k>0,k≠1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系xOy中，A(?4,0)，B(2,0)，點M滿足|MA||MB|=2，則點M的軌跡方程為（A．(x+4)2+y2=16 B．(x?4)2【解題思路】直接設Mx,y，根據兩點間距離公式|AB|=【解答過程】∵|MA||MB|=2設Mx,y，則x+42故選：B．【題型5與圓有關的對稱問題】【方法點撥】(1)圓關于點對稱：①求已知圓關于某點對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.②若兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點.(2)圓關于直線對稱：①求已知圓關于某條直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.②若兩圓關于某直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.【例5】（2021·全國·高二課時練習）圓(x+2)2+y2=5A．(x?2)2+yC．(x+2)2+(y+2)【解題思路】求出已知圓的圓心和半徑，求出圓心A關于原點對稱的圓的圓心B的坐標，即可得到對稱的圓的標準方程．【解答過程】解：圓(x+2)2+y2=5圓心A(?2,0)關于原點(0,0)對稱的圓的圓心B(2,0)，故對稱圓的方程為(x?2)2故選：A．【變式5-1】（2022·江蘇·高二課時練習）若圓x2?2x+y2=0與圓C關于直線x+y=0A．x2+2x+y2=0 B．x2【解題思路】由對稱性得出的圓C圓心坐標，進而寫出方程.【解答過程】圓x2?2x+y2=0的標準方程為因為(1,0)關于直線x+y=0對稱的點為(0,?1)，所以圓C的方程為x即x故選：C.【變式5-2】（2021·全國·高二課時練習）圓(x?1)2+(y?2)2=1A．(x+5)2+(y?4)C．(x?5)2+(y+4)【解題思路】求出圓心(1,2)關于(?2,3)的對稱點，即為對稱圓的圓心，對稱圓的半徑為1.【解答過程】圓(x?1)2+(y?2)因為點(1,2)關于點(?2,3)對稱的點為(?5,4)，所以對稱圓的圓心為(?5,4)，又因為半徑不變，所以所求圓的標準方程為(x+5)2故選：A.【變式5-3】（2021·廣東·高二階段練習）若圓C1:(x?1)2+y2=9和圓A．y=?2x?3 B．y=?2x+3C．y=?12x?【解題思路】由題意可知直線l即為線段C1C2的中垂線，求出線段C1C【解答過程】解：因為圓C1:(x?1)2+所以直線l即為線段C1C1則線段C1C2的中點坐標為?1,?1所以直線l的斜率k=?2，所以直線l的方程是y+1=?2x+1，即y=?2x?3故選：A.【題型6與圓有關的最值問題】【方法點撥】與圓有關的最值問題主要有兩類：①與圓的代數(shù)結構有關的最值問題；②與圓的幾何性質有關的最值問題；解題時，根據具體題目分析是哪類最值問題，再進行求解即可.【例6】（2022·山西·高三階段