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規(guī)定
曲率4.8.1弧長的微分
單調(diào)增函數(shù)弧長的微分(簡稱弧微分).曲率是描述曲線局部性質(zhì)(彎曲程度)的量.))弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角相同弧段越短1.曲率的定義)轉(zhuǎn)角越大彎曲程度越大4.8.2曲率及其計算公式
設(shè)曲線C是光滑的,曲線的彎曲程度與轉(zhuǎn)角成正比,與弧長成反比.定義4.4
)yxo(則稱其極限值為曲線C在點M處的曲率.曲率
曲率的計算公式由曲率的計算公式得設(shè)曲線由參數(shù)方程給出,
因所以所以直線的曲率恒為零.證明:例4.48證明:直線的曲率恒為零.不妨設(shè)圓的參數(shù)方程為證明:例4.49證明:圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù).于是曲率為例4.50求拋物線上曲率最大的點.解顯然,當時,k最大.所以,拋物線在頂點處的曲率最大.定義4.5
使曲率中心,曲率半徑.設(shè)曲線
y=f(x)在點M(x,y)處的曲率為k(k≠0).在點M處的曲線的法線上,在凹的一側(cè)取一點D,稱此圓為曲線在點M處的曲率圓.4.8.3曲率圓與曲率半徑以D為圓心,為半徑作圓(如圖).(1)曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的(2)曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點處(3)曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點注曲率半徑越小,曲率越大(曲線越彎曲).的曲率越小(曲線越平坦
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