1向量及向量的加減法

5．1向量及向量的加減法要點透視：1．由于SKIPIF1<0的方向是任意的，且規(guī)定SKIPIF1<0平行于任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件．2．向量不能比較大小，但向量的模可以比較大?。?．數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的．4．向量的幾何加法有兩種法則：平行四邊形法則和三角形法則．當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則．向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：SKIPIF1<0，但這時必須“首尾相連”．活題解析：例1．給出下列命題：①若|SKIPIF1<0|＝|SKIPIF1<0|，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；②若A，B，C，D是不共線的四點，則SKIPIF1<0是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件：③若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0=SKIPIF1<0的充要條件是|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|且SKIPIF1<0//SKIPIF1<0；⑤若SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，其中正確的序號是。要點精析：①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同．②正確．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0．③正確．∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長度相等且方向相同；又SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長度相等且方向相同，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長度相等且方向相同，故SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．④不正確．當SKIPIF1<0//SKIPIF1<0且方向相反時，即使|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|，也不能得到SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|且SKIPIF1<0//SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0=SKIPIF1<0的充要條件，而是必要不充分條件．⑤不正確．考慮SKIPIF1<0=SKIPIF1<0這種特殊情況．綜上所述，正確命題的序號是②③．思維延伸：本例主要復習向量的基本概念．向量的基本概念較多，因而容易遺忘．為此，復習時一方面要構建良好的知識結構，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進行類比和聯(lián)想．例2．如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，試用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0將向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示出來．要點精析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0來表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可．解：因為六邊形ABCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點A，B，C四點構成平行四邊形ABCO，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，由于A，B，O，F(xiàn)四點也構成平行四邊形ABOF，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，同樣在平行四邊形BCDO中，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋(SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0)＝SKIPIF1<0＋2SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0.思維延伸：其實在以A，B，C，D，E，F(xiàn)及O七點中，任兩點為起點和終點，均可用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示，且可用規(guī)定其中任兩個向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，另外任取兩點為起點和終點，也可用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示．例3．求證：起點相同的三個非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3SKIPIF1<0－2SKIPIF1<0的終點在同一條直線上．要點精析：證明：設起點為O，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0b，SKIPIF1<0＝3SKIPIF1<0－2SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=2(SKIPIF1<0－SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0－SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0共線且有公共點A，因此，A，B，C三點共線，即向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3SKIPIF1<0－2SKIPIF1<0的終點在同一直線上．思維延伸：利用向量平行證明三點共線，需分兩步完成：①證明向量平行；②說明兩個向量有公共點，用向量平行證明兩線段平行也需分兩步完成：①證明向量平行；②說明兩向量無公共點．練習題一、選擇題1．在下列各命題中，為真命題的有（）（1）物理學中的作用力與反作用力是一對共線向量（2）溫度有零上溫度和零下溫度，因此溫度也是向量（3）方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量（4）坐標平面上的x鈾和y軸都是向量A．1個B．2個C．3個D．42．已知命題P：非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．命題Q：表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的有向線段可構成三角形，則P是Q的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件3．下列命題中，正確的是（）A．|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0B．|SKIPIF1<0|>|SKIPIF1<0|SKIPIF1<0SKIPIF1<0>SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0//SKIPIF1<0D．|SKIPIF1<0|=0SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<04在平行四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，則必有（）A．SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0或SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0C．ABCD是矩形D．ABCD是正方形5．下列命題：(1)如果非零向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向相同或相反，那么SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0的方向必與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之一方向相同；(2)三角形ABC中，必有SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則A，B，C為三角形的三個頂點；(4)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為非零向量，則|SKIPIF1<0+SKIPIF1<0|與|SKIPIF1<0|+|SKIPIF1<0|一定相等，其中假命題的個數(shù)為（）A．0個B．1個C．2個D．3個6．化簡以下各式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0結果為零向量的個數(shù)是（）A．1個B．2個C．3個D．4個二、填空題：7．若SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，則|SKIPIF1<0|=；SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為．8．若點P為三角形△ABC的外心，且SKIPIF1<0，則三角形的內角C=.9．兩個非零向量的模相等是兩個向量相等的條件．10．已知點M是△ABC的重心，則SKIPIF1<0=.三、解答題：11．如圖所示，三角形ABC的外接圓的圓心為O，三條高的交點為H，連接BO并延長交外接圓于D．求證：（1）SKIPI