1向量及向量的加減法

5．1向量及向量的加減法要點(diǎn)透視：1．由于SKIPIF1<0的方向是任意的，且規(guī)定SKIPIF1<0平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問(wèn)題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個(gè)條件．2．向量不能比較大小，但向量的模可以比較大?。?．?dāng)?shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個(gè)要素，起點(diǎn)可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的．4．向量的幾何加法有兩種法則：平行四邊形法則和三角形法則．當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則．向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：SKIPIF1<0，但這時(shí)必須“首尾相連”．活題解析：例1．給出下列命題：①若|SKIPIF1<0|＝|SKIPIF1<0|，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則SKIPIF1<0是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件：③若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0=SKIPIF1<0的充要條件是|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|且SKIPIF1<0//SKIPIF1<0；⑤若SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，其中正確的序號(hào)是。要點(diǎn)精析：①不正確．兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同．②正確．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0．③正確．∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長(zhǎng)度相等且方向相同；又SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長(zhǎng)度相等且方向相同，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長(zhǎng)度相等且方向相同，故SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．④不正確．當(dāng)SKIPIF1<0//SKIPIF1<0且方向相反時(shí)，即使|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|，也不能得到SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|且SKIPIF1<0//SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0=SKIPIF1<0的充要條件，而是必要不充分條件．⑤不正確．考慮SKIPIF1<0=SKIPIF1<0這種特殊情況．綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③．思維延伸：本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念．向量的基本概念較多，因而容易遺忘．為此，復(fù)習(xí)時(shí)一方面要構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類(lèi)比和聯(lián)想．例2．如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，試用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0將向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示出來(lái)．要點(diǎn)精析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0來(lái)表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可．解：因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點(diǎn)A，B，C四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCO，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，由于A，B，O，F(xiàn)四點(diǎn)也構(gòu)成平行四邊形ABOF，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，同樣在平行四邊形BCDO中，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋(SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0)＝SKIPIF1<0＋2SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0.思維延伸：其實(shí)在以A，B，C，D，E，F(xiàn)及O七點(diǎn)中，任兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，均可用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示，且可用規(guī)定其中任兩個(gè)向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，另外任取兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，也可用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示．例3．求證：起點(diǎn)相同的三個(gè)非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3SKIPIF1<0－2SKIPIF1<0的終點(diǎn)在同一條直線上．要點(diǎn)精析：證明：設(shè)起點(diǎn)為O，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0b，SKIPIF1<0＝3SKIPIF1<0－2SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=2(SKIPIF1<0－SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0－SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0共線且有公共點(diǎn)A，因此，A，B，C三點(diǎn)共線，即向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3SKIPIF1<0－2SKIPIF1<0的終點(diǎn)在同一直線上．思維延伸：利用向量平行證明三點(diǎn)共線，需分兩步完成：①證明向量平行；②說(shuō)明兩個(gè)向量有公共點(diǎn)，用向量平行證明兩線段平行也需分兩步完成：①證明向量平行；②說(shuō)明兩向量無(wú)公共點(diǎn)．練習(xí)題一、選擇題1．在下列各命題中，為真命題的有（）（1）物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對(duì)共線向量（2）溫度有零上溫度和零下溫度，因此溫度也是向量（3）方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量是共線向量（4）坐標(biāo)平面上的x鈾和y軸都是向量A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．42．已知命題P：非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿(mǎn)足SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．命題Q：表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的有向線段可構(gòu)成三角形，則P是Q的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件3．下列命題中，正確的是（）A．|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0B．|SKIPIF1<0|>|SKIPIF1<0|SKIPIF1<0SKIPIF1<0>SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0//SKIPIF1<0D．|SKIPIF1<0|=0SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<04在平行四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，則必有（）A．SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0或SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0C．ABCD是矩形D．ABCD是正方形5．下列命題：(1)如果非零向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向相同或相反，那么SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0的方向必與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之一方向相同；(2)三角形ABC中，必有SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則A，B，C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)；(4)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為非零向量，則|SKIPIF1<0+SKIPIF1<0|與|SKIPIF1<0|+|SKIPIF1<0|一定相等，其中假命題的個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)6．化簡(jiǎn)以下各式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)二、填空題：7．若SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，則|SKIPIF1<0|=；SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為．8．若點(diǎn)P為三角形△ABC的外心，且SKIPIF1<0，則三角形的內(nèi)角C=.9．兩個(gè)非零向量的模相等是兩個(gè)向量相等的條件．10．已知點(diǎn)M是△ABC的重心，則SKIPIF1<0=.三、解答題：11．如圖所示，三角形ABC的外接圓的圓心為O，三條高的交點(diǎn)為H，連接BO并延長(zhǎng)交外接圓于D．求證：（1）SKIPI