（新教材適用）高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步83簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積832圓柱圓錐圓臺(tái)球的表面積和體積課后習(xí)題

8.3.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積課后訓(xùn)練鞏固提升1.母線和底面圓的直徑都為2的圓錐的側(cè)面積為()A.33π B.2π C.3π D解析:圓錐側(cè)面積為πrl=π×22×2=2π(r是底面半徑,答案:B2.已知用與球心距離為1的平面去截球,所得截面圓的面積為π,則球的表面積為()A.8π3 B.32π3解析:設(shè)球的半徑為R,則截面圓的半徑為R2-1,那么截面圓的面積為S=π(R2-1)2=(R21)π=π,解得R2=2,故球的表面積S=4π答案:C3.若圓臺(tái)的高是3,一個(gè)底面半徑是另一個(gè)底面半徑的2倍,母線與下底面所成的角是45°,則這個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積是()A.27π B.272π C.92π D.解析:如圖所示,設(shè)母線長(zhǎng)為l,上底面半徑為r,則下底面半徑為2r,由于母線與底面所成角為45°,故高h(yuǎn)=r,即r=3,l=2r.則S側(cè)=π(r+2r)l=272π.答案:B4.數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出一個(gè)獨(dú)特的方法來(lái)計(jì)算球體的體積:不直接給出球體的體積,而是先計(jì)算另一個(gè)叫“牟合方蓋”的立體的體積.通過(guò)計(jì)算,“牟合方蓋”的體積與球的體積之比應(yīng)為4π.后人導(dǎo)出了“牟合方蓋”的18體積計(jì)算公式,即18V牟=r3V方蓋差,r為球的半徑,也即正方體的棱長(zhǎng)均為2r,從而計(jì)算出V球=43πr3.記所有棱長(zhǎng)都為r的正四棱錐的體積為V正,棱長(zhǎng)為2r的正方體的方蓋差為V方蓋差,則A.12 B.22解析:由題意,V方蓋差=r318V牟=r318×4π×43所有棱長(zhǎng)都為r的正四棱錐的體積為V正=13·r·r·r2-2答案:C5.(多選題)下列說(shuō)法正確的是()A.若把球的半徑擴(kuò)大到原來(lái)的2倍,則它的體積擴(kuò)大到原來(lái)的8倍B.若把球的表面積擴(kuò)大到原來(lái)的2倍,則它的體積擴(kuò)大到原來(lái)的4倍C.若球的體積與其表面積的數(shù)值相等,則球的半徑等于3D.若邊長(zhǎng)為2的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,則球的表面積為12π解析:A項(xiàng)中,設(shè)球原來(lái)的半徑為r,體積為V,則V=43πr3,當(dāng)球的半徑為2r時(shí),其體積變?yōu)?4B項(xiàng)中,設(shè)球變化前后的半徑分別為r與r',則4πr'2=2·4πr2,得r'=2r,則V'=43πr'3=22·43πr3=22VC項(xiàng)中,設(shè)球的半徑為R,則43πR3=4πR2,得R=故C正確.D項(xiàng)中,設(shè)正方體外接球的半徑為R,則23=2R,得R=3,即S球=4πR2=12π.故D正確.答案:ACD6.圓柱形容器的內(nèi)壁底面半徑是10cm,有一個(gè)實(shí)心鐵球浸沒(méi)于容器的水中,若取出這個(gè)鐵球,測(cè)得容器的水面下降了53cm,則這個(gè)鐵球的表面積為cm2.解析:設(shè)該鐵球的半徑為rcm,則由題意得43πr3=π×102解得r3=53,即r=5,故這個(gè)鐵球的表面積S=4π×52=100π(cm2).答案:100π7.已知圓臺(tái)的上、下底面的面積之比為9∶25,那么它的中截面截得的上、下兩圓臺(tái)的側(cè)面積之比是.

解析:圓臺(tái)的上、下底面半徑之比為3∶5,設(shè)上、下底面圓的半徑分別為3x,5x,則中截面半徑為4x,上圓臺(tái)側(cè)面積S1=π(3x+4x)l=7πxl,下圓臺(tái)側(cè)面積S2=π(4x+5x)l=9πxl,故S1∶S2=7∶9.答案:7∶98.已知圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水,若放入三個(gè)相同的鐵球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒(méi)最上面的球(如圖所示),則球的半徑是cm.

解析:設(shè)球的半徑為rcm,放入3個(gè)球后,圓柱液面高度變?yōu)?r,則有πr2·6r=8πr2+3·43π即2r=8,得r=4.答案:49.某組合體的直觀圖如圖所示,它的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,若圖中r=1,l=3,試求該組合體的表面積和體積.解:該組合體的表面積S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,該組合體的體積V=43πr3+πr2l=43π×13+π×110.如圖,從底面半徑為2a,高為3a的圓柱中,挖去一個(gè)底面半徑為a且與圓柱等高的圓錐,求圓柱的表面積S1與挖去圓錐后的幾何體的表面積S2之比.解:由題意知,S1=2π·2a·3a+2π·(2a)2=(43+8)πa2,S2=S1+πa·(2a)πa2=(43+9)πa2故S1∶S2=(43+8)∶(43+9).11.圖中的圓及其外切正方形繞圖中由虛線表示的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周生成的幾何體稱為圓柱容球,求證:在圓柱容球中,球的體積是圓柱體積的23,球的表面積也是圓柱表面積的證明:設(shè)圓的半徑為R,球的體積與圓柱的體積分