隨機(jī)過(guò)程的基本概念及類型

應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過(guò)程第七章隨機(jī)過(guò)程的基本概念及類型第一章概率論基礎(chǔ)7.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念7.2隨機(jī)過(guò)程的分布率和數(shù)字特征7.3復(fù)隨機(jī)過(guò)程7.4幾種重要的隨機(jī)過(guò)程目錄Contents7.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念7.1.1隨機(jī)過(guò)程的實(shí)例◎生物群體的增長(zhǎng)問(wèn)題.在描述生物群體的發(fā)展或個(gè),是一個(gè)隨機(jī)變量;假設(shè)從開(kāi)始,每隔一固定時(shí)間對(duì)群體的數(shù)量觀察一次,則是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程.演變過(guò)程中,用表示在在時(shí)刻群體的個(gè)數(shù),則對(duì)每以

表示某電話交換臺(tái)在時(shí)間段內(nèi)接到的呼叫次數(shù),則

是隨機(jī)過(guò)程.

通俗地講,用于研究隨機(jī)現(xiàn)象變化過(guò)程的隨機(jī)變量族稱為隨機(jī)過(guò)程.◎

排隊(duì)問(wèn)題.

以

表示某地區(qū)第

天的最高氣溫,則是隨機(jī)過(guò)程.海平面的高度,

則

是隨機(jī)過(guò)程.設(shè)

其中

為普通信號(hào)數(shù),

為隨機(jī)噪聲,則

是隨機(jī)過(guò)程.

以

表示某固定點(diǎn)處在時(shí)刻

的海面相對(duì)于平均◎布朗運(yùn)動(dòng).漂浮在液體面上的微小粒子的運(yùn)動(dòng)是由于受大量隨機(jī)的,相互獨(dú)立的分子碰撞的結(jié)果.如用

是隨機(jī)過(guò)程.表示在時(shí)刻時(shí)粒子的位置,則◎

預(yù)報(bào)問(wèn)題.◎

噪聲問(wèn)題.7.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念7.1.2隨機(jī)過(guò)程的定義有關(guān)隨機(jī)過(guò)程的幾點(diǎn)說(shuō)明：◎通常將隨機(jī)過(guò)程解釋為一個(gè)物理系表示系統(tǒng)在時(shí)刻所處的狀態(tài).態(tài)構(gòu)成的集合稱為狀態(tài)空間或相空間,記為

統(tǒng).所有可能狀

隨機(jī)變量族是上的隨機(jī)過(guò)程.

定義7.1設(shè)是概率空間,是給定的參數(shù)集,若對(duì)每一個(gè)

有一個(gè)隨機(jī)變量與之對(duì)應(yīng),則稱記為

稱為參數(shù)集,通常指時(shí)間.簡(jiǎn)7.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念◎從數(shù)學(xué)上看,

隨機(jī)過(guò)程是定義在上的二元函數(shù).◎?qū)潭ǖ?/p>

是

上的隨機(jī)變量.◎?qū)潭ǖ?/p>

是定義在

上的普通函數(shù),

稱為隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)或樣本軌道.◎參數(shù)集T可列的隨機(jī)過(guò)程稱為隨機(jī)序列或時(shí)間序列,一般用表示.◎狀態(tài)空間I可列的隨機(jī)過(guò)程稱為可列過(guò)程.7.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念7.1.3隨機(jī)過(guò)程的分類◎按參數(shù)集T和狀態(tài)空間I分類（1）T和I都是離散的（2）T是連續(xù)的，I是離散的（3）T是離散的，I是連續(xù)的（4）T和I都是連續(xù)的◎按Xt的概率特性分類正交增量過(guò)程獨(dú)立增量過(guò)程馬爾可夫過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程7.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念7.2.1隨機(jī)過(guò)程的有限維分布稱為

的有限維分布函數(shù)族.對(duì)任意的和定義7.2設(shè)

是隨機(jī)過(guò)程,的聯(lián)合隨機(jī)向量分布函數(shù)為這些分布函數(shù)的全體7.2隨機(jī)過(guò)程的分布律和數(shù)字特征例7.1設(shè)盒子中有2個(gè)紅球,3個(gè)白球,每次從盒子中取出一球后放回,定義隨機(jī)過(guò)程求:(1)的一維分布函數(shù)族

(2)的二維聯(lián)合分布解(1)7.2隨機(jī)過(guò)程的分布律和數(shù)字特征(2)由于不同時(shí)刻取球是相互獨(dú)立的,故7.2隨機(jī)過(guò)程的分布律和數(shù)字特征有限維分布函數(shù)族的性質(zhì):◎相容性◎

對(duì)稱性其中是的任意排列.當(dāng)時(shí)定理2.1科爾莫哥洛夫(Kolmogorov

)存在定理設(shè)已給參數(shù)集T及滿足對(duì)稱、相容的有限維分布函數(shù)族F,

則必存在概率空間

及定義在其上的隨機(jī)過(guò)程

它的有限維分布函數(shù)族就是F.7.2隨機(jī)過(guò)程的分布律和數(shù)字特征根據(jù)柯?tīng)柲缏宸虼嬖谛远ɡ硪字弘S機(jī)過(guò)程的概率特征可以通過(guò)隨機(jī)過(guò)程的有限維特完整地描述,

其中征函數(shù)族7.2隨機(jī)過(guò)程的分布律和數(shù)字特征7.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征定義7.3設(shè)

是隨機(jī)過(guò)程，定義均值函數(shù):方差函數(shù):若對(duì)

存在,

則稱該過(guò)程為二階矩過(guò)程.協(xié)方差函數(shù):相關(guān)函數(shù):◎顯然有關(guān)系式7.2隨機(jī)過(guò)程的分布律和數(shù)字特征◎隨機(jī)過(guò)程數(shù)字特征之間的關(guān)系當(dāng)時(shí),

最主要的數(shù)字特征均值函數(shù)自相關(guān)函數(shù)7.2隨機(jī)過(guò)程的分布律和數(shù)字特征例7.2設(shè)隨機(jī)過(guò)程其中

是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,

且

求

的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)解7.2隨機(jī)過(guò)程的分布律和數(shù)字特征例7.3設(shè)隨機(jī)過(guò)程其中

是相

互獨(dú)立的隨機(jī)變量,

且

求

的

一、二維概率密度族.解因

為正態(tài)隨機(jī)變量,

則其線性組合

也是正態(tài)隨機(jī)變量,

且有因此一維概率密度為7.2隨機(jī)過(guò)程的分布律和數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程

的二維概率密度為又因7.2隨機(jī)過(guò)程的分布律和數(shù)字特征定義7.4互協(xié)方差函數(shù):互相關(guān)函數(shù):設(shè)

是兩個(gè)二階矩過(guò)程,定義如果對(duì)任意的有則稱隨機(jī)過(guò)程互不相關(guān).顯然有關(guān)系式7.2隨機(jī)過(guò)程的分布律和數(shù)字特征例7.4設(shè)

為信號(hào)過(guò)程,

為噪聲過(guò)程,

令求

的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù).解7.2隨機(jī)過(guò)程的分布律和數(shù)字特征特別,當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的均值恒為零且互不相關(guān)時(shí),有7.2隨機(jī)過(guò)程的分布律和數(shù)字特征7.3.1復(fù)隨機(jī)過(guò)程的概念及數(shù)字特征定義7.5設(shè)

是兩個(gè)取實(shí)值的隨機(jī)過(guò)程,對(duì)任意的

其中

滿足則稱

為復(fù)隨機(jī)過(guò)程.復(fù)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征◎均值函數(shù)◎方差函數(shù)7.3復(fù)隨機(jī)過(guò)程◎相關(guān)函數(shù)◎協(xié)方差函數(shù)☆顯然有關(guān)系式：設(shè)

是兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過(guò)程,

定義◎互相關(guān)函數(shù)◎互協(xié)方差函數(shù)☆顯然有關(guān)系式：7.3復(fù)隨機(jī)過(guò)程7.3.2復(fù)隨機(jī)過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì)定理7.2復(fù)隨機(jī)過(guò)程

的協(xié)方差函數(shù)

具有性質(zhì):(1)共軛對(duì)稱性:

(2)非負(fù)定性:7.3復(fù)隨機(jī)過(guò)程證(1)

(2)

7.3復(fù)隨機(jī)過(guò)程例7.5解設(shè)復(fù)隨機(jī)過(guò)程相互獨(dú)立，為參數(shù)，求的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)7.3復(fù)隨機(jī)過(guò)程7.4.1正交增量過(guò)程增量不相關(guān)定義7.6設(shè)

是零均值的二階矩過(guò)程,

若對(duì)任意的有則稱為正交增量過(guò)程.7.4幾種重要的隨機(jī)過(guò)程第七章宿舍人際關(guān)系第一節(jié)宿舍矛盾集中在哪兒1.生活習(xí)慣不同2.性格不同3.經(jīng)濟(jì)原因4.競(jìng)爭(zhēng)5.交往技能6.戀愛(ài)

第二節(jié)良好宿舍關(guān)系的作用一、社會(huì)支持越多，越快樂(lè)二、親密關(guān)系與健康三、傾訴與健康四、親密關(guān)系與幸福感第三節(jié)如何處理宿舍矛盾

1.避免冷戰(zhàn)2.加強(qiáng)交流3.設(shè)身處地的思考問(wèn)題4.勇于道歉5.學(xué)會(huì)包容6.切勿冷嘲熱諷，沒(méi)事找事

第四節(jié)如何獲得良好的宿舍關(guān)系測(cè)一測(cè)你的溝通能力怎么樣。請(qǐng)仔細(xì)閱讀每一條，根據(jù)你的實(shí)際情況，在右側(cè)相對(duì)應(yīng)的字母上劃上一個(gè)√。A表示：沒(méi)有或很少時(shí)間是這樣；B表示：偶爾如此；C表示：常常是這樣。1.如果我發(fā)現(xiàn)了別人的優(yōu)點(diǎn)，我會(huì)稱贊他/她。ABC2.別人樂(lè)于向我訴說(shuō)。ABC3.我情緒不好的時(shí)候，根本不想理任何人。ABC4.與人交談時(shí)，我會(huì)問(wèn)：為什么ABC5.與人發(fā)生沖突后，我會(huì)主動(dòng)言歸于好。ABC6.我覺(jué)得人心難測(cè)不可交。ABC7.我會(huì)主動(dòng)征求別人的意見(jiàn)。ABC8.與別人看法不同時(shí)，我很想讓對(duì)方聽(tīng)我的。ABC9.我認(rèn)為各人干各人的事，關(guān)系好壞無(wú)所謂。ABC10.別人說(shuō)我說(shuō)話口氣咄咄逼人。ABC11.我會(huì)打斷別人的話。ABC12.我會(huì)換個(gè)角度將心比心來(lái)看別人的做法。ABC13.我能委婉地表達(dá)我的建議或反對(duì)的觀點(diǎn)。ABC14.交談時(shí)，我會(huì)注視對(duì)方的眼睛。ABC15.我很注意人們無(wú)意間身體姿態(tài)所流露的心情。ABC16.別人跟我講話時(shí)，我會(huì)東張西望。ABC17.別人說(shuō)我表情太嚴(yán)肅了。ABC18.別人不聽(tīng)我的勸告，我并不生氣。ABC對(duì)于1，2，4，5，7，12，13，14，15，18題（共10題），如果選A則得1分，選B得2分，選C得3分。對(duì)于3，6，8，9，10，11，16，17題（共8題），如果選A則得3分，選B得2分，選C得1分。將18道題的得分相加，即得到你的人際溝通得分X。X在40分以上，說(shuō)明你的人際溝通能力較好。如果X在30分以下，則說(shuō)明你的人際溝通存在一些問(wèn)題，需要改進(jìn)。測(cè)一測(cè)你的溝通能力怎么樣請(qǐng)仔細(xì)閱讀每一條，根據(jù)你的實(shí)際情況，在右側(cè)相對(duì)應(yīng)的字母上劃上一個(gè)√。A表示：沒(méi)有或很少時(shí)間是這樣；B表示：偶爾如此；C表示：常常是這樣。1.如果我發(fā)現(xiàn)了別人的優(yōu)點(diǎn)，我會(huì)稱贊他/她。ABC2.別人樂(lè)于向我訴說(shuō)。ABC3.我情緒不好的時(shí)候，根本不想理任何人。ABC4.與人交談時(shí)，我會(huì)問(wèn)：為什么ABC5.與人發(fā)生沖突后，我會(huì)主動(dòng)言歸于好。ABC6.我覺(jué)得人心難測(cè)不可交。ABC7.我會(huì)主動(dòng)征求別人的意見(jiàn)。ABC8.與別人看法不同時(shí)，我很想讓對(duì)方聽(tīng)我的。ABC9.我認(rèn)為各人干各人的事，關(guān)系好壞無(wú)所謂。ABC10.別人說(shuō)我說(shuō)話口氣咄咄逼人。ABC11.我會(huì)打斷別人的話。ABC12.我會(huì)換個(gè)角度將心比心來(lái)看別人的做法。ABC13.我能委婉地表達(dá)我的建議或反對(duì)的觀點(diǎn)。ABC14.交談時(shí)，我會(huì)注視對(duì)方的眼睛。ABC15.我很注意人們無(wú)意間身體姿態(tài)所流露的心情。ABC16.別人跟我講話時(shí)，我會(huì)東張西望。ABC17.別人說(shuō)我表情太嚴(yán)肅了。ABC18.別人不聽(tīng)我的勸告，我并不生氣。ABC對(duì)于1，2，4，5，7，12，13，14，15，18題（共10題），如果選A則得1分，選B得2分，選C得3分。對(duì)于3，6，8，9，10，11，16，17題（共8題），如果選A則得3分，選B得2分，選C得1分。將18道題的得分相加，即得到你的人際溝通得分X。X在40分以上，說(shuō)明你的人際溝通能力較好。如果X在30分以下，則說(shuō)明你的人際溝通存在一些問(wèn)題，需要改進(jìn)。一、留給別人良好的第一印象怎樣才能給對(duì)方留下良好的第一印象呢？（1）發(fā)揮自己的長(zhǎng)處。尺有所短，寸有所長(zhǎng)。如果你發(fā)揮自己的長(zhǎng)處，別人就會(huì)喜歡跟你在一起，并愿意同你合作。所以，與人交往，要充滿自信，并盡可能地發(fā)揮自己的長(zhǎng)處。（2）適應(yīng)不同的場(chǎng)合。懂得與人交往的人，會(huì)因場(chǎng)合不同而改變自己的表現(xiàn)。一成不變的狀態(tài)會(huì)使人顯得沒(méi)有朝氣，從而不會(huì)給人留下美好印象。不管是與人親密地傾談，還是發(fā)表演說(shuō)，都要在保持言行一致的前提下，因時(shí)因地地有所變化。（3）放松心情。要想別人喜歡你，就要使別人在與你相處時(shí)感到輕松自在。這種氛圍只有你自己表現(xiàn)得輕松自如才能創(chuàng)造出來(lái)。因此，遇事時(shí)自己的心理要盡量放松。學(xué)會(huì)幽默，不要總是神色嚴(yán)峻，或做出一副苦悶的樣子。（4）善于使用眼神。不管是跟一個(gè)人還是跟一百個(gè)人說(shuō)話，一定要記住用眼睛望著對(duì)方。進(jìn)入坐滿人的房間時(shí)，應(yīng)自然地舉目四顧，微笑著用目光照顧到所有的人。這會(huì)使你顯得輕松自若。二、欣賞他人，贊美他人人類最深刻的沖力是做一位重要人物，因?yàn)橹匾娜宋锍３Ｄ艿玫絼e人的贊美?！绹?guó)哲學(xué)家—約翰·杜威1.人人都在為贊美奮斗2.贊美是一種精神嘉獎(jiǎng)3.贊美是天下最直接的布施4.具體的贊美才能打動(dòng)人三、自我表露那些經(jīng)常敞開(kāi)自己心扉的夫婦或情侶，他們會(huì)報(bào)告更高的滿意度并且更容易保持長(zhǎng)久的感情。那些認(rèn)為自己“總是把自己最隱私的感情以及想法和自己的伴侶分享”的夫妻，往往對(duì)婚姻的滿意度最高。四、微笑是最美的語(yǔ)言五、傾聽(tīng)：不只是聽(tīng)見(jiàn)1.傾聽(tīng)的過(guò)程1）聽(tīng)到2）專注3）了解4）回應(yīng)5）記憶2.傾聽(tīng)技巧1）開(kāi)放式問(wèn)題2）鼓勵(lì)和重復(fù)3）無(wú)條件的積極接納與關(guān)懷六、同理心1.同理心六原則（1）我怎么對(duì)待別人，別人就怎么對(duì)待我。（2）想他人理解我，就要首先理解他人。將心比心，才會(huì)被人理解。（3）別人眼中的自己，才是真正存在的自己。學(xué)會(huì)以別人的角度看問(wèn)題，并據(jù)此改進(jìn)自己在他們眼中的形象。（4）只能修正自己，不能修正別人。想成功地與人相處，讓別人尊重自己的想法，惟有先改變自己。（5）真誠(chéng)坦白的人，才是值得信任的人。（6）真情流露的人，才能得到真情回報(bào)。2.表達(dá)同理心七個(gè)步驟（1）問(wèn)開(kāi)放式的問(wèn)句（2）放慢腳步（3）避免太快下判斷（4）注意你的身體反應(yīng)（5）了解過(guò)去（6）讓故事說(shuō)出來(lái)（7）設(shè)定界限有助于提高同理心的十條建議：1.重視他人的感情、欲求、愿望。2.學(xué)會(huì)耐心聽(tīng)完他人的意見(jiàn)，即使你不贊同。聽(tīng)對(duì)方說(shuō)完，問(wèn)清楚不懂的地方再下定論。3.在路上、餐廳、公共汽車上，觀察人的表情、動(dòng)作，推測(cè)其心理狀態(tài)。4.不是光憑外表來(lái)看一個(gè)人，更重要的是知道那個(gè)人的基本精神狀態(tài)。這可由交談得知。5.看電視、錄相時(shí)關(guān)掉聲音，想象劇中人物說(shuō)什么。注意他們的情緒和口形。6.和別人討論事情時(shí)，遇到對(duì)方意見(jiàn)與自己的完全不同時(shí)，要想想個(gè)中原因。7.弄清楚為什么自己在某些狀況下為什么會(huì)有特定的反應(yīng)，了解自己的行為背景，有助于理解別人。8.如果你討厭一個(gè)人，找出充足而合理的理由。9.判斷一個(gè)人，多搜集他的個(gè)人資料。明白他為人處事的道理，就能做出正確的判斷，有合適的反應(yīng)。10.不要忘記：所有人都會(huì)有情緒失控的時(shí)候，也會(huì)受到心情的影響，盡量不受干擾地判斷一個(gè)人。定理7.3若為正交增量過(guò)程,

且則有證對(duì)于同理,對(duì)于于是,有7.4幾種重要的隨機(jī)過(guò)程7.4.2獨(dú)立增量過(guò)程增量相互獨(dú)立定義7.7設(shè)

是隨機(jī)過(guò)程,

若對(duì)任意的正整數(shù)和隨機(jī)變量則稱

為獨(dú)立增量過(guò)程.是相互獨(dú)立的,獨(dú)立增量過(guò)程與正交增量過(guò)程的關(guān)系：正交增量過(guò)程一般來(lái)說(shuō)不是獨(dú)立增量過(guò)程;而獨(dú)立增量過(guò)程在二階矩存在,且均值為零的條件下是正交增量過(guò)程.7.4幾種重要的隨機(jī)過(guò)程

某種設(shè)備一直使用到損壞為止,然后換上同類型的設(shè)備.假設(shè)設(shè)備的使用壽命為隨機(jī)變量X

,相繼換上的設(shè)備壽命是與

X獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量設(shè)

是獨(dú)立增量過(guò)程,若任意

隨機(jī)變量

的分布僅依賴于

則稱隨機(jī)過(guò)程定義7.8例7.6內(nèi)更換的設(shè)備數(shù),

則

為隨機(jī)過(guò)程.對(duì)任意的

隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且對(duì)任意的的分布僅依賴于因此,

是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程.是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程.其中

是第

個(gè)設(shè)備的使用壽命.設(shè)

為時(shí)間段7.4幾種重要的隨機(jī)過(guò)程7.4.3馬爾可夫過(guò)程馬爾可夫性表明:定義7.9設(shè)

為隨機(jī)過(guò)程，若對(duì)任意正整數(shù)及其條件分布滿足則稱

為馬爾可夫過(guò)程.馬爾可夫過(guò)程的無(wú)后效性（馬爾可夫性）若

表示過(guò)去,

表示現(xiàn)在,

表示將來(lái),過(guò)去現(xiàn)在將來(lái)在已知現(xiàn)在狀態(tài)的條件下,

將來(lái)所處的狀態(tài)與過(guò)去狀態(tài)無(wú)關(guān).7.4幾種重要的隨機(jī)過(guò)程7.4.4正態(tài)過(guò)程和維納過(guò)程定義7.10設(shè)

為隨機(jī)過(guò)程，若對(duì)任意正整數(shù)及