2025屆甘肅省蘭州市蘭州第一中學(xué)高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆甘肅省蘭州市蘭州第一中學(xué)高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．2020年是脫貧攻堅(jiān)決戰(zhàn)決勝之年，某市為早日實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，現(xiàn)將甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三個(gè)貧困縣扶貧，要求每個(gè)貧困縣至少分到一人，則甲被派遣到縣的分法有（）A．6種 B．12種 C．24種 D．36種2．已知函數(shù)在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn)，，，且，若，則的最小正周期為（）A． B． C． D．3．已知集合，，則等于()A． B． C． D．4．已知曲線(xiàn)且過(guò)定點(diǎn)，若且，則的最小值為（）.A． B．9 C．5 D．5．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則的最小值為（）A． B． C． D．7．“”是“函數(shù)（為常數(shù)）為冪函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件8．某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．09．平行四邊形中，已知，，點(diǎn)、分別滿(mǎn)足，，且，則向量在上的投影為（）A．2 B． C． D．10．函數(shù)圖像可能是（）A． B． C． D．11．若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)滿(mǎn)足f(1)＝，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]12．已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則的最小值為_(kāi)_______.14．已知，，求____________.15．設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件,則的最大值為_(kāi)_____.16．直線(xiàn)過(guò)圓的圓心，則的最小值是_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）已知，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.18．（12分）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)是橢圓上且不在軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)作的平行線(xiàn)交橢圓于、兩個(gè)不同的點(diǎn)，求的值．19．（12分）已知是圓：的直徑，動(dòng)圓過(guò)，兩點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切.（1）若直線(xiàn)的方程為，求的方程；（2）在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恰好與軸相切？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）設(shè)都是正數(shù)，且，．求證：．21．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求m的值.22．（10分）設(shè)前項(xiàng)積為的數(shù)列，（為常數(shù)），且是等差數(shù)列.（Ｉ）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

分成甲單獨(dú)到縣和甲與另一人一同到縣兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得甲被派遣到縣的分法數(shù).【詳解】如果甲單獨(dú)到縣，則方法數(shù)有種.如果甲與另一人一同到縣，則方法數(shù)有種.故總的方法數(shù)有種.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡(jiǎn)答排列組合的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)題意，知當(dāng)時(shí)，，由對(duì)稱(chēng)軸的性質(zhì)可知和，即可求出，即可求出的最小正周期.【詳解】解：由于在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，，∴由對(duì)稱(chēng)軸可知，滿(mǎn)足，即.同理，滿(mǎn)足，即，∴，，所以最小正周期為：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期，涉及函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.3、B【解析】

解不等式確定集合，然后由補(bǔ)集、并集定義求解．【詳解】由題意或，∴，．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的綜合運(yùn)算，以及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題型．4、A【解析】

根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過(guò)的定點(diǎn)，確定，再根據(jù)條件，利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點(diǎn)為,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)取得最小值.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式求最值，意在考查轉(zhuǎn)化與變形，基本計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.5、D【解析】

由已知等式求出z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得，即可得虛部.【詳解】由zi＝1﹣i，∴z＝，所以共軛復(fù)數(shù)=-1+，虛部為1故選D．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】

首先求得平移后的函數(shù)，再根據(jù)求的最小值.【詳解】根據(jù)題意，的圖象向左平移個(gè)單位后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)，所以，所以．又，所以的最小值為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，誘導(dǎo)公式，意在考查平移變換，屬于基礎(chǔ)題型.7、A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)定義，求得的值，結(jié)合充分條件與必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵當(dāng)函數(shù)為冪函數(shù)時(shí)，，解得或，∴“”是“函數(shù)為冪函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件的概念和判斷，冪函數(shù)定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù).【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，其中，，為直角三角形.∴該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為3.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

將用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【詳解】解：，得，則向量在上的投影為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義，考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算，將用向量和表示是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.10、D【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項(xiàng)A,C，當(dāng)時(shí)，可分析函數(shù)值為正，即可判斷選項(xiàng).【詳解】,,即函數(shù)為偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)A,C，當(dāng)正數(shù)越來(lái)越小，趨近于0時(shí)，，所以函數(shù)，故排除選項(xiàng)B,故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，識(shí)別函數(shù)的圖象，屬于中檔題.11、B【解析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞增,在[2,+∞)上單調(diào)遞減,故選B.12、D【解析】試題分析：拋物線(xiàn)焦點(diǎn)在軸上，開(kāi)口向上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，所以點(diǎn)A到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，所以點(diǎn)A與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn)：本小題主要考查應(yīng)用拋物線(xiàn)定義和拋物線(xiàn)上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng)：拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、40【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)，可得，因?yàn)?，根?jù)均值不等式，即可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求數(shù)列值的最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式和靈活使用均值不等式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.14、【解析】

求出向量的坐標(biāo)，然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】，，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

試題分析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，最大，且考點(diǎn)：線(xiàn)性規(guī)劃.16、【解析】

直線(xiàn)mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）經(jīng)過(guò)圓x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圓心（1，﹣1），可得m+n＝1，再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】∵mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）經(jīng)過(guò)圓x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圓心（1，﹣1），∴m+n﹣1＝0，即m+n＝1.∴（）（m+n）＝22+2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)取等號(hào).∴則的最小值是4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）由,可求出的值,進(jìn)而可求得的解析式;（2）分別求得和的值域,再結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的值域間的關(guān)系可求出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?所以,解得,故.（2）因?yàn)?所以,所以，則,圖象的對(duì)稱(chēng)軸是.因?yàn)?所以,則,解得,故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換,考查了二次函數(shù)及三角函數(shù)值域的求法,考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）1【解析】

（Ⅰ）由題，得，，解方程組，即可得到本題答案；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)，則直線(xiàn)，聯(lián)立，得，聯(lián)立，得，由此即可得到本題答案.【詳解】（Ⅰ）由題可得，即，，將點(diǎn)代入方程得，即，解得，所以橢圓的方程為：；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，設(shè)直線(xiàn)，則直線(xiàn)，聯(lián)立，整理得，所以，聯(lián)立，整理得，設(shè)，則，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法以及直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.19、（1）或.（2）存在，；【解析】

（1）根據(jù)動(dòng)圓過(guò)，兩點(diǎn)，可得圓心在的垂直平分線(xiàn)上，由直線(xiàn)的方程為，可知在直線(xiàn)上；設(shè)，由動(dòng)圓與直線(xiàn)相切可得動(dòng)圓的半徑為；又由，及垂徑定理即可確定的值，進(jìn)而確定圓的方程.（2）方法一：設(shè)，可得圓的半徑為，根據(jù)，可得方程為并化簡(jiǎn)可得的軌跡方程為.設(shè)，，可得的中點(diǎn)，進(jìn)而由兩點(diǎn)間距離公式表示出半徑，表示出到軸的距離，代入化簡(jiǎn)即可求得的值，進(jìn)而確定所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；方法二：同上可得的軌跡方程為，由拋物線(xiàn)定義可求得，表示出線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)到軸的距離可得等量關(guān)系，進(jìn)而確定所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，，所以圓心在的垂直平分線(xiàn)上.由已知的方程為，且，關(guān)于于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以在直線(xiàn)上，故可設(shè).因?yàn)榕c直線(xiàn)相切，所以的半徑為.由已知得，，又，故可得，解得或.故的半徑或，所以的方程為或.（2）法一：設(shè)，由已知得的半徑為，.由于，故可得，化簡(jiǎn)得的軌跡方程為.設(shè)，，則得，的中點(diǎn)，則以為直徑的圓的半徑為：，到軸的距離為，令，①化簡(jiǎn)得，即，故當(dāng)時(shí)，①式恒成立.所以存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓與軸相切.法二：設(shè)，由已知得的半徑為，.由于，故可得，化簡(jiǎn)得的軌跡方程為.設(shè)，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以，線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則到軸的距離為，而，故以為徑的圓與軸切，所以當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，符合題意，所以存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓與軸相切.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法，動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，拋物線(xiàn)定義及定點(diǎn)問(wèn)題的解法綜合應(yīng)用，屬于難題.20、證明見(jiàn)解析【解析】

利用比較法進(jìn)行證明：把代數(shù)式展開(kāi)、作差、化簡(jiǎn)可得,,可證得成立,同理可證明,由此不等式得證.【詳解】證明:因?yàn)?，所以，∴成立，又都是正數(shù)，∴，①同理，∴．【點(diǎn)睛】本題考查利用比較法證明不等式;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;把差變形為因式乘積的形式是證明本題的關(guān)鍵;屬于中檔題。21、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）先求導(dǎo)，再對(duì)m分類(lèi)討論，求出的單調(diào)性；（2）對(duì)m分三種情況討論求函數(shù)在區(qū)間上的最小值即得解.【詳解】（1）若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí).，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減若.在R上單調(diào)遞增若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí).，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則.則不合題意當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則，即又因?yàn)?/p>