朝陽區(qū)高三期末試題及答案(數(shù)學理)

北京市朝陽區(qū)高三年級第一學期期末數(shù)學試卷(理科)

姓名:班級:得分:

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

1.設全集。=區(qū)，A={x\x(x-2)<0},8={x|y=ln(l-%)},則AI(弓8)是

(A)(一2,1)(B)[1,2)(C)(一2,1](D)(1,2)

2.要得到函數(shù)y=sin(2x-()的圖象，只要將函數(shù)y=sin2x的圖象

(A)向左平移工單位..(B)向右平移巴單位

44

TT

(C)向右平移一單位(D)向左平移工單位

88

3.設a,b,g是三個不重合的平面,/是直線，給出下列命題

①若a八b,b八g,則a_l.y；②若/上兩點到。的距離相等，則〃/a；

③若"a,lllb,則aAb；④若a〃力，lEb,且〃/a,則〃/h.

其中正確的命題是

(A)@@(B)(2X3)(C)②?(D)③④

4.下歹山函數(shù)中，在(-1,1)內有零點且單調遞增的是

21

(A)y=log)x(B)y=2X-1(C)y=-(D)y=-X

22

5.已知數(shù)列{〃“}的前。項和為S“，且2,則〃2等于

(A)4(B)2(C)1(D)-2

xW0,

6.若A為不等式組y20,表示的平面區(qū)域，則。從-2連續(xù)變化到1時，動直線=a掃過A中的那部分

y-x^2

區(qū)域的面積為

7

(A)9a(B)3713(C)I(D)7

7.在MBC中,M是3c的中點,AM=1,點P在AM上且滿足4P=2PM,則P4?(尸5+PC)等于

4(B)(C4

(A)——44(D)-

9

8.如圖，正方體ABC。-AgGR中，E,尸分別為Di

棱OR,AB上的點.已知下列判斷：

①A。八平面4七五；②D必后尸在側面ecc；4上

的正投影是面積為定值的三角形；③在平面

4用￡A內總存在與平面與石廠平行的直線；④平

面4E/與平面A8CO所成的二面角（銳角）的大小與點E的位置有關，與點尸的位

置無關.

其中正確判斷的個數(shù)有

（A）L個（B）2個

（C）3個（D）4個

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.

9.已知cos（4+x）=一,工￡（萬，2%），則tanx=.

10.如圖，A3是。。的直徑，CE切。。于點8,CO切。。于

點、D,CO交B4的延長線于點E.若4B=3,ED=2,則

BC的長為.

x—cosCt

11.曲線J(a為參數(shù))與曲線/'2-2rcsq=0的直角坐標方程分別

y=1+sina

為:,兩條曲線的交點個數(shù)為個.

12.已知一個正三棱錐的正視圖如圖所示，貝J此正三棱錐的

側面積等于.

22

13.已知點尸一居分別是雙曲線0-%"=1（。＞0力＞0）的左、右焦點，過&且垂直于

ab

x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點,若A48K是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是.

14.已知數(shù)列N")滿足：%=log“+](〃+2)(〃wN*),定義使qqy

為整數(shù)的數(shù)%（左cN*）叫做企，盼數(shù)，則區(qū)間［1,2011］內所有的企盼數(shù)的和為

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

15.（本小題滿分13分）

已知AABC中，2sinAcos3=sinCcosB+cosCsin8.

（I）求角3的大小：

1O

（II）設向量機=（cosA,cos2A）,/i=（----,1）,求當m?〃取最小值時，tan（A-—）

54

值.

16.（本小題滿分13分）

如圖，在三棱錐尸—ABC中，AC=BC=2,?ACB90°,側面R43為等邊三角形，側棱2>/5.

(I.)求證：PC1AB；

(II)求證：平面R48八平面ABC；

(III)求二面角5—AP—C的余弦值.

17.（本小題滿分13分）

已知函數(shù)/(%)=~--1(aeR).

X

（I）當。=一1時，求曲線y=/（%）在點（2,/（2））處的切線方程;

（n）當o<々<g時，討論/（X）的單調性.

18.（本小題滿分13分）

fWx>0,

已知函數(shù)/（X）=以2+法+1（4,人為實數(shù)，。工0,R）,F（x）=<

-/(x)x<0.

(I)若/(-1)=0,且函數(shù)/3)的值域為［0,+00),求產(chǎn)&)的表達式；

(H)在(I)的條件下，當入儀一2,2］時，g(x)=/(x)-丘是單調函數(shù)，求實數(shù)攵

的取值范圍：

(HI)設"皿＜0,m+〃＞0,。＞0,且函數(shù)/")為偶函數(shù)，判斷尸(6)+尸(/1)是

否大于0?

19.(本小題滿分14分)

22

設橢圓C：■+多=的左、右焦點分別為6,鳥，上頂點為4,過點.A與垂直的直線交

ab

UUUUUUUf—

X軸負半軸于點。，且2月旦+鳥。=0,若過A,Q,尸2三點的圓恰好與直線/：x-Qy-3=0相切.過定

點”(0,2)的直線4與橢圓C交于G,”兩點(點G在點M,〃之.間.).

(I)求橢圓。的方程：

(H)設直線4的斜率0,在工軸上是否存在點

P(，幾0),使得以PG,尸月為鄰邊的平行四

邊形是菱形.如果存在，求出〃7的取值范圍，

如果不存在，請說明理由；

(HI)若實數(shù)/滿足=求4的取值范圍.

20.(本小題滿分14分)

已知函數(shù)/*)=要吆(a,b,c為常數(shù)，〃。()).

ex2+\

(I)若。=0時，數(shù)列｛/｝滿足條件：點(〃，%)在困數(shù)/。)=筆勁的圖象上，求｛%｝的前〃項和S”；

CX+1

(II)在(I)的條件下，若6=7,54=24,p,qwN*1p豐q).

證明：5^<1(S2P+S29)；

(HI)若c=l時，/(幻是奇函數(shù)，/(1)=1,數(shù)列｛5｝滿足x?+1=/(x?),

2

求證：(^-x2)^(x2-x3y++(>-%用廣<2.

中2x2x33用16

北京市朝陽區(qū)2010-2011學年度高三年級第一學期期末統(tǒng)一考試

數(shù)學試卷（理科）參考答案

一.選擇題：

題號12345678

答案BCDBADAB

二.填空題:

題號91011121314

42222

答案3x+(y-1)=1,(x-I)+y=1,29^3(L1+揚2026

3

三.解答題：

15.(本小題滿分13分)

解：(I)因為2sinAcosN=sinCcos3+8sCsin3,

2sinAcosB=sin(B+C)=sin(n-A)=sinA...............3分

因為0v4v〃，所以sinA10.

所以cos8='........................................5分

2

7T

因為0vBv〃，所以B=1.............................7分

12

(II)因為/72?〃=---cosA+cos2A,............................8分

5

12343

所以?〃=----cosA+2cos2A-\=2(cosA—)2----............10分

5525

3

所以當cosA=一時，/〃?〃取得最小值.

44

此時sinA=—(0<A<p),于是tanA=—.....................12分

z4乃、tanA-11

mtAian(zi)——............................................................1JOzJ\T>

4tanA+17

16.（本小題滿分13分）

解：（I）設48中點，為。，連結PO,CD,.......1分

因為AP=BP,所以尸。八AB.

又AC=BC,所以CD八AB.............2分

因為PDICD=D,所以他人平面PCD

因為PCi平面PC。，所以尸。八AB.......4分

(H)由已知？90°,AC=BC=2,A

所以AO=80=8=后，AB=2也.

又DPAB為正三角形,且PD人AB,所以PD=#.8分

因為PC=2JL所以PC?=czy+尸。2.

所以？COP90°.

由(I)知DCOP是二面角P?AB-。的平面角.

所以平面P45八平面ABC.....................8分

(Ill)方法1：由(H)知CD八平面PAR

過。作。七八PAT.E,連結CE,則CE人PA.

所以f)DEC是二面角8-AP-C的平面角......10分

易求得OE二更

在R/DCDE中,

2

CD2G

因為co=J5,所以tan?OEC—12分

DE

叵

所以cos?QEC

7

即二面角3-AP-C的余弦值為X—13分

7

方法2：由(I)(II)知OC,DB,OP兩兩垂直.9分

以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系.

易知D(0,0,0),C忠,0,0),4(0,?V2,0).,P(0,0,V6).

所以股=(>/2,血，0),PC=(及，0,-向.

10分

設平面PAC的法向量為n=(x,y,z),

：uun、

M?4c0?&y=0,

則iuin即1廠l

\nlPC0.fV2x-V6z=0.

令x=1,則y=-

所以平面尸AC的一個法向量為〃=(1,-11分

UUU1

易知平面Q48的一個法向量為￡>C=(72,0,0).

uini

所以cosvzi,DC>=12分

\n\\DC\7

由圖可知，二面角3-AP-。為銳角.

所以二面角B-AP-C的余弦值為且

13分

7

17.(本小題滿分13分)

2

(I)解：當〃=?1時，/(x)=lnx+x+—1,x?(0,?).

x

jr*+r-2

所以廣(x)=^-1，x?(0,?)..........(求導、定義域各一分)2分

X

，因此尸(2)=1.即曲線)，=/(幻在點(2,/(2))處的切線斜率為1.............3分

又/(2)=山2+2,....................................................................4分

所以曲線y=/(x)在點(2,/(2))處的切線方程為x-ln2=0...........5分

(II)因為f(x)=In+~--1,

X

"x1a-1cix2-x+1-a-Ac、-八

所以/(x)=--a+——=---------------------,x?(0,?).，..............7分

Xx~X

2

令g(x)=ax-x+afx?(0,?),

①當a=0時，g(x)=-x+1,x?(0.?),

當;d(0,1)時，g(x)>0,此時/(r)<0,困數(shù)/(%)單調遞減；...8分

當彳￡(l,+oo)時，g*)<0,此時尸(x)>0,函數(shù)/(%)單調遞增.……9分

②當0va<，時，由/'(x)=0即ar?一/+1一。=。解得％=1,x2=--1.

2a

此時2?1>1>0,

a

所以當xi(0,1)時，g(x)>o,此時八工)<0,函數(shù)/(幻單調遞減；…io分

xe(l,L—1)時，g(x)vO,此時/(幻>0,函數(shù)/(幻單調遞增；……11分

a

xe(--l,+8)時，g(x)>0,此時/(x)<0,函數(shù)/3)單調遞減.…12分

a

綜上所述：

當。=0時，函數(shù)在(0,1)上單調遞減，在(1,+?)上單調遞增；

當0<。<!時，函數(shù)/(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,工-1)上單調遞增；在(,-1,+?)上單調遞

2aa

減..........................................13分

18.(本小題滿分13分)

解：(I)因為/(-1)=0,所以。一匕+1=0.

a>0,

因為f(x)的值域為［0,+8),所以，..................2分

A=人-4。=0.

所以從一43-1)=0.解得b=2,a=l.所以f(x)=(x+l)2.

LL(x+l)2X>0,、

所以r(x)=-'.........“.....................................4分

—(x+1)~x<0.

(II)因為g(x)=f(x)-kx=x2+2x+l-kx=x2+(2-2)x+l

,2-2、2I(2-62

=(x+------)+1--........-,.................................6分

24

k-2k-2

所以當號*22或￡手〈一2時g(x)單調.

即k的范圍是(?？，2］或［6,+?)時，g(x)是單調函數(shù)...........8分

(DI)因為/(幻為偶函數(shù)，所以/。)=公2+］

“ax2x>0,、

所以F(x)=1.............................................................10分

-axx<0.

因為w?v0,依條件設相>0,貝iJ〃<0.

又加+〃>0,所以機>一〃>0.

所以同習一”..............................................12分

此時F(/w)+產(chǎn)(〃)=f(m)-f(n)=am2+1—an2-1=a(m2-n2)>0.

即尸(㈤+尸5)>0.................................................................13分

19.(本小題滿分14分)

UUUUUUU

(I)解：因為246+F2Q=0.,

所以K為工。中點.

設。的坐標為(一3c,0),

因為AQ_LAK，

22

所以/=3cxc=3c2,a=4cxc=4c,且過A,。，居三點的圓的圓心為耳(—c,0),半徑為

2c...........................................................2分

因為該圓與直線/相切，所以！一心斗=2c.

2

解得c=l,所以。=2,b=￡

22

故所求橢圓方程為上+匯=1...........................................................4分

43

(II)設L的方程為y=履+2(女＞0),

iy=kx+2,

由2得(3+4左2)工2+16履+4=0.

1—+^-=1

f43

164

設G($,y),H(x,y),則不+占=-------r-.............，…5分

223+44~

LILM1L1LU1

所以PG+PH=(%?"?，乂)+(%?m,y2)=(X]+/-2m，乂+y2).

=(工]+x2-2myk(x、+x2)+4)

GH=（%一%,%一,）=（9一西，然王一方））.

由于菱形對角線互相垂直，則（PG+P〃）?G//=0..............6分

所以[電-斗)[(內+x2)-2m]+k(x2-玉)伏(玉+/)+4]=0.

故(天-%)[(%+%)-2/w+&I5+%)+4燈=0.

因為k>0,所以々-玉？0.

所以a+x2A2m+左2(%+w)+4女=0

即(1+&2)(%+/)+4&-2m=0.

2

所以。+k)(-16k)+4k_2加=0

3+4y

2笈2

解得用=-------即加=一吃——

3+牧3+公

因為上>0,所以----W/〃<0.

6

故存在滿足題意的點尸且加的取值范圍是［-且，0）................8分

6

（III）①當直線（斜率存在時,

設直線4方程為y=Ax+2,代入橢圓方程卷+號=1

得(3+422優(yōu)+16"+4=0.

由△>(),得公〉J...................................

9分

4

設G(X1,y),H(X29y2)t

1624

貝|]玉+x=-

23+4左2中2:W

又MG=2MH,所以(％,y-2)="G，%一2).所以司=應10分

所以再+/=(1+A)X2,xxx2=Zr；.

./-16攵、24

所以R~自產(chǎn)二芯二號,所以3+4&2)_3+4/.

1+22(1+-)2—

整理得=...................................11分

因為它>_1,所以4<Y—<16.即4<婦互<16.所以4<4+工+2<16.

4%%入

解得7-46<4<7+4石.

又0<4vl,所以7-4療</<1......................................................13分

②又當直線4斜率不存在時，直線4的方程為％=(),

此時G(0,6),H(0,一百),MG=(0,>/3-2),MH=(0,—石—2),

MG=^^MH,所以4=7—46.

2+△

所以7—即所求4的取值范圍是［7-4JI1).......................14分

20.(本小題滿分14分)

(I)解：依條件有/(%)=公+4

因為點(〃，在函數(shù)f(x)=ar+力的圖象上，所以q=f(n)=an+h.

因為%+i一可=a(n+\)-^b-(an+b)=a,

所以《凡｝是首項是q=〃+6,公差為d=a的等差數(shù)列.................1分

g/7xn(n-l).愉+1)

所以S”=〃(〃+/?)+-----------a=nb-\---------------a.

n22

即數(shù)列｛4｝的前〃項和S*二〃人........................2分

2

(a+b)+2a=7,

3a+b=7,,。=2,

(II)證明：依條，件有14x3即<解得1

4(。+b)-\———?a=24.10a+4b=24.b=l.

所以許=2〃+1.

所以s，，5=i