高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題44 圓錐曲線中的探索性問題通關(guān)新課標(biāo)試卷

專題04圓錐曲線中的探索性問題通關(guān)

第一類橢圓中的探索性問題新課標(biāo)-試卷

1.已知橢圓A：亍+1=1的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓A交于A（xi,yi）、B（X2，y2）

兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P,直線PA、PB分別交直線1：x=4于M、N兩點(diǎn),

記M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為yM、yN.

（I）求直線PB的斜率（用k表示）；

（2）求點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)yM、yN（用xi，yi表示），并判斷yMyN是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若

【解析】試題分析：設(shè)直線AB方程為歹=無（工-1）,聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得甬+土，不巧,

表示旌=心=迫上"=_2_即可；（2）設(shè)直線尸4的方程為曠=&工，表示出

再+巧再+巧4k

加,力，整理化簡(jiǎn)即可.

試題-新課標(biāo)試卷解析：

（1）設(shè)直線AB方程為y=攵（工一1）,

y=k（x-｝）

聯(lián)立｛f9，消去y,得（4/+3）f_8尸X+442—12=0,

----1----=1

43

_弘2

石+%

二+

因?yàn)锳（x，yJ、8(%,%)，且｛-43

4r-12

止+3

又尸(-％f),所以kPB=0=s+g)—

%+&x^+x24k

(2)又直線24的方程為y=貝打上=空，

甬甬

由題意可知，k=3,直線PB的方程為y+y1=-乂,"”(x+xl),

再一14M

2-

加以廠_3(-7)(4+再)4)_3」+4盧+97123

再甬甬

綜上，乘積力f加為定值-9.

2.已知橢圓c：l+rTSAb〉。)的離心率為孝，且橢圓。過點(diǎn)I過點(diǎn)(1,0)做兩條

相互垂直的直線4、，2分別與橢圓。交于尸、Q、歷、N四點(diǎn).

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(II)若礪=的，PT=TQ,探究：直線ST是否過定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明

理由.

【答案】(1)—+^-=1(2)-,0

4213)

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：(I)由已知，可建立關(guān)于橢圓三個(gè)參數(shù)4,0,C的方程組進(jìn)行求解，由離心

率可得￡=立,又點(diǎn)(石,一變］在橢圓上，可得之+—!=1,結(jié)合/=從+。2,從而問題新課標(biāo).試

a2{2Ja22b2

卷可得解.

(ii)由題意，可對(duì)直線《4的斜率分“不存在與o”和“都存在且占/2=-「兩種情況進(jìn)行分類討論，先對(duì)

后一種情況探究，則可設(shè)兩直線的方程分別為4：y=2(犬一1),/2:y=--(x-l),逐個(gè)聯(lián)立橢圓方程，

k

(2、

分別計(jì)算MN,PQ的中點(diǎn)S,T的坐標(biāo)，從而求出直線ST的方程，并求得其定點(diǎn)為一,0,再對(duì)前一種情

(3)

況進(jìn)行驗(yàn)證即可.

31?

L萬"1"2

試題-新課標(biāo)試卷解析：（I）由題意知，｛。2=/+,2,解得｛〃=&

￡_V2C=V2

~a~^l

22

故橢圓C的方程為土+匕=1.

42

（II）.?.市=而，亙=而，"S、T分別為MV、尸。的中點(diǎn).

當(dāng)兩直線的斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)直線乙的方程為曠=上（％-1）,

則直線4的方程為丁=一:（》一1）,尸（不兇），。（孫必），”（孫乃），MAH），

K

22

xy

聯(lián)立｛彳+爹=，得（2好+1）/—4好工+2好一4=0,?..A=24M+16>0,

v=/c（x-l）

飛+電=離7'PQ中點(diǎn)7的坐標(biāo)為（黑F溫〉

同理，皿中點(diǎn)S的坐標(biāo)為（3,曰）...%=/、，

-3k(2k2)

:.直線ST的方程為y+「一

2《+1

-3k(2、???直線sr過定點(diǎn)（,,0

即y=--------x—

2(%~—1)，3,

當(dāng)兩直線的斜率分別為0和不存在時(shí)，則直線ST的方程為y=0,也過點(diǎn)

綜上所述，直線ST過定點(diǎn)（!■,（）

3.如弱，A8是橢圓C:5+y2=i長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M,N是橢圓上與A,B均不重合的相異兩點(diǎn)，設(shè)

直線AM,BN,AN的斜率分別是41,玲，&?

(1)求k2M3的值;

（2）若直線MN過點(diǎn)苧求證:

⑶設(shè)直線MN與x軸的交點(diǎn)為。,0）”為常數(shù)且，工0）,試探究直線4W與直線BN的交點(diǎn)。是否落在某

【解析】試題分析：（D由橢圓方程可知點(diǎn)43兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)（設(shè)而不求"根據(jù)斜率的

計(jì)算公式列出玲,用的表達(dá)式，又點(diǎn)N在橢圓上，聯(lián)立橢圓方程，從而可問題可得解；（2）由題意可聯(lián)立直

線MM工=%+三與橢圓方程，消去x,根據(jù)韋達(dá)定理，求得點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo)川+必,川.內(nèi)與參數(shù)加

的關(guān)系式，再分別算出斜率左，內(nèi)，進(jìn)行運(yùn)算化簡(jiǎn)，從而問題可得證.

（3）同（2）法，由點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo)，求出直線A",8N的方程，聯(lián)立兩直線方程，求出其交點(diǎn)0的橫

22

坐標(biāo)/=:與點(diǎn)M,N的坐標(biāo)無關(guān)，從而可判斷交點(diǎn)。落在定直線x=:上，從而問題新課標(biāo)試卷可得解.

試題■?新課標(biāo)試卷解析：⑴設(shè)Mx。,%），由于小一&,0）,8（四,0卜

所以&2?%

因?yàn)镹（M，%）在橢圓。匕于是￡+y；=l,即片-2=-2y,

所以e?匕

歷-4--

⑵設(shè)直線=+,A/(^,yI),7V(x2,y2)?由{'一州

2X2+*2/=2

得(加+2))/+yfimy--=0,

41m3

于是Ji+必蔗7?%必=-2(川+2]

y%

X+\/2X)+>/22〃心|+%)+|

my%+-2

3

3

2M+2)

2_￡

~6

23m9--TH2-3m2+—(nV+2\

-m~?—7—；---r———m—=-----卜—7

2(/W2+2)2機(jī)2+2222、

（3）由于直線MV與x軸的交點(diǎn)為&0"于是MV:x=沖+乙

聯(lián)立直線MN:x=吁嗚橢圖C：y+y2=l的方程，可得

（m2+2）y2+2加a+產(chǎn)-2=0,

_曰2mt產(chǎn)-2

于工"+乃=一門‘兇』

w:+2

因?yàn)橹本€:y=(x+0),直線BN:y=」7T(x—0),

玉+42、巧一42、

兩式相除，可知

x+>/2_Xj+>/2y2_my}+t+y[ly2物%+(/+匈%

x-yj2x2—y/2弘my2+t—y/2y(rnyxy2+—\f2^y1

族品+（'+血卜患一兇）「加（，+&）2-（，+&）（疝+小

+產(chǎn)-2）+（…⑹（蘇+2）,

_t+s/2-機(jī)(，+碼_仆正

t-42+++2)yJl-t

于是川=2,所以x=￡,即直線AM與直線8V的交點(diǎn)。落在定直線x=±上.

tt

12

4.己知點(diǎn)A(a,O),B(O,b)分別是橢圓C:—+上=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸端點(diǎn)、短軸端點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

a2b2

AB-AO=16?|0A+0B|=2^.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如果斜率為勺的直線|交橢圓C于不同的兩點(diǎn)E,F(都不同于點(diǎn)A,B),線段EF的中點(diǎn)為M,設(shè)線段0M的垂

線的斜率為卜2,試探求勺與kz之間的數(shù)量關(guān)系.

22

【答案】

(1)L+y_=1；(2)k2=4kv

164

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：(1)由AB-A6=16,利用平面向量數(shù)量積公式可得|應(yīng))f=16.

所以a?=16，由|0X+0B|=2小兩邊平方結(jié)合oXoB=0可得a?+b2,求出a,b的值，從而可得結(jié)果；(2)直

y=k1x+c/

線I的方程為丫=勺+(:,聯(lián)立卜y2_消去y整理，得(1+4匕、2+81(遮+牝2-16=0,根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合中

(164-

點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得線段EF的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用斜率公式化簡(jiǎn)可得k2=4k-

試題解析；<1)因?yàn)锳B-AO=16,所以AB|AOCOS^OAB=(ABcos^OAB)?AO|=\M\'|AO|=|AO2=16.

所以a?=16.

因?yàn)閨0入+0B|=2,所以|O入+OB2=OA?+20A-OB+0B|2=0A2+|0B|2=a2+b2=42+b2=(2廚?

所以b?=4.所以所求橢圖C的方程為'J：1

164

(2)設(shè)直線1的方程為丫=1<產(chǎn)+€：(勺，C為常數(shù)).

①當(dāng)k]=。時(shí)，直線I的方程為y=c,此時(shí)線段EF的中點(diǎn)為M在y軸上，所以線段0M的垂線廠的斜率為0,即k?=0；

22

②當(dāng)kj00寸，聯(lián)立xy消去Y整理，得(1?4k卅?8k1cx+4c-16-0.

—.一

164

x.+x,y.+y,

設(shè)點(diǎn)6僅1，1）,，僧92）,線段EF的中點(diǎn)”（外丫。），則x0=--，*=------

8kle4cLi64k]C

由韋達(dá)定理，得XJX?---------^2S-------------7,所以Xo=---------

1+4k；l+4kj1+4k：

,8kle、-8kJ+2c+8kjC2c

s

所以丫1+y2k[X]+c+kp?+c=k](X[+x2)^2c=kjI---------;|?2c---------------：-----------

\l+4kjl+4k：l+4k：

所以f

y0"4k：i

所以直線OM的斜率為l<3=—=———=--.

xo4kle4kl

百

1

所以線段OM的垂線的斜率為k2=-j=4k：.故勺與Ie?之間的關(guān)系是k2=4k]

k3

綜上，勺與Ie?之間的關(guān)系是k2=4k].

5.已知橢圓C:9f+>2=機(jī)2（加>0）,直線/不過原點(diǎn)0且不平行于坐標(biāo)軸，/與。有兩

個(gè)交點(diǎn)A、B,線段A8的中點(diǎn)為M.

（1）若加=3,點(diǎn)K在橢圓。上，及、工分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求麗?秋的范圍：

（2）證明：直線OM的斜率與/的斜率的乘積為定值；

（3）若/過點(diǎn)（最,機(jī)），射線OM與。交于點(diǎn)尸，四邊形OA尸8能否為平行四邊形？

若能，求此時(shí)/的斜率：若不能，說明理由.

【答案】（1）（2）見解析（3）當(dāng)/的斜率為4-J7或4+近時(shí)，四邊形OAP8為平行四邊形

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：（1）將m=3代入，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)K（x,y）,給出麻?祠的表達(dá)式,

消元求出范圍

⑵聯(lián)立直線方程和橢圓方程化簡(jiǎn)得到（爐+9卜?+2妨丹/一4二。，求出方,用的值，求出對(duì)應(yīng)的

直線斜率即可得到結(jié)論

（3）四邊形04PB為平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)線段A8與線段O尸互相平分，即2%=勺，建立方程關(guān)系

.mk2

mK-m2k2

43即可得到結(jié)論

F+99^+81

解析：（D橢圓。：9/+丁=9,兩個(gè)焦點(diǎn)招（0,2點(diǎn)卜瑪（0,-2點(diǎn)），設(shè)K（x,y）

所以瓦屋=（r,27y（-EArZ+j，』

由于9/+丁=9,所以丁=9-9寸，甌.國(guó)=寸+（9—9/）-8=-8/+1

由橢圓性質(zhì)可知TWxSl,所以斯.甌w[-7』

（2）設(shè)直線/:y=丘+b"工0,女工0）,4（X,y）,現(xiàn)%,%），〃&，%），

所以小馬為方程9/+（丘+〃）2=病的兩根，化簡(jiǎn)得（F+9）d+2魴x+〃—病=0,

X]+xkbk2b9b

所以％2y=H+Z?=-+b=

2F+900F+9F+9

kOM=A=_2,所以直線OM的斜率與/的斜率的乘積等于一9為定值.

/k

（3）?.?直線/過點(diǎn)，/不過原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是人＞0,女力3.

mk

設(shè)尸（%，%）設(shè)直線/：y=+m（〃7￥0,2工0）,BPy=kx--^-+m.

Fh（2）的結(jié)論可知OM:y=-2-代入橢圓方程9%2+,2=m2得片=/片

k9k+81

由（2）的過程得中點(diǎn)M

若四邊形。4P8為平行四邊形，那么M也是0P的中點(diǎn)，所以2%=品,

（,成2）2

mk-----------212

得4-1-=7，解得k=4土近

k2+99A2+81

所以當(dāng)/的斜率為4-/或4+J7時(shí)，四邊形OAP8為平行四邊形.

1

6.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與A(-2,0),B(2,0)兩點(diǎn)連線的斜率之積為一，點(diǎn)P的軌跡為曲線C,過點(diǎn)E(1,O)的直線交曲線C于M,

4

N兩點(diǎn).

(1)求曲線C的方程；

勺

(2)若直線MA,NB的斜率分別為勺，k2,試判斷一是否為定值？若是，求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由.

k2

2

x勺1

【答案】⑴—+y2=l(x*±2)⑵一=一

3

4k2

1

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：3)第(1)問，利用動(dòng)點(diǎn)P與A(-2,0),B(2Q)兩點(diǎn)連線的斜率之積為--求

4

31

出曲線C的方程.(2)第(2)間，先設(shè)直線MB的斜率為1<3,利用韋達(dá)定理計(jì)算出1(2-1<3=7,再利用勺?1(3=工

勺

計(jì)算出一的值.

k2

試題解析：(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)(xw±2),由題知，—-----

x+2x-24

整理，得曲線C:'“2=1"玨2),即為所求.

4

(2)由題意，知直線MN的斜率不為0,故可設(shè)MN：x=my+l,M(x1,y1),N%%)，

設(shè)直線MB的斜率為1<3，由題知,A(-2,0),B(2,0),

2m

,x=my+1丫1+丫2=^—

由/消去x,得（m?+4）『+2my-3=0，所以m

丫1“2=-——

m+4

丫也3

所以Ie?,k3=

m2yly2_m（YifV）+1

僅1-2）（X2-2）24

V11ki1

又因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以=-----所以一=-,為定值.

1

3444k23

7.己知橢圓G:）■+￡■=1（。>b>0）過點(diǎn)當(dāng)）和點(diǎn)8（°,T）.

（I）求橢圓G的方程；

（II）設(shè)直線y=x+〃z與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn)M,N,是否存在實(shí)數(shù)加，使得忸M=|8N]?若存

在，求出實(shí)數(shù)加;若不存在，請(qǐng)說明理由.

*2

【答案】（1）y+/=l（2）不存在

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：（1）由已知求得人，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程求得。的值，進(jìn)而得到橢圓G

的方程；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)機(jī)滿足題設(shè)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由判別式大于0求得陽的范圍，再由

根與系數(shù)的關(guān)系求得MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得結(jié)合忸可得3PJ_MN,由斜率

的關(guān)系列式求得加的值，檢驗(yàn)即可得到結(jié)論

解析：（I）橢圓6千+5=19>6>0）過點(diǎn)布韋和點(diǎn)5（0「1）,

所以6=1,由4+匚==1,解得『=3,

a1

2

所以橢圖G:專+產(chǎn)=1；

（II）假設(shè)存在實(shí)數(shù)用滿足題設(shè)，

y=x+m

由｛/2?得4x2+6wi￥+3（陽2-1）=0,

—4-V=1

3

因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以八二36>一48（/?2-1）>0,即〃/<4,

設(shè)的中點(diǎn)為尸(9/),環(huán)“分別為點(diǎn)MN的橫坐標(biāo)，則?=也產(chǎn)=一?，

從而%=?+加=：，

所以4*=匕二=一空，

Xp3m

因?yàn)閳D4=忸的，

所以KPLMN,

所以^BP'左加=—1，而^1￡V=1,

所以-『=一1,即加=2,與“？<4矛盾，

3m

因此，不存在這樣的實(shí)數(shù)加，使得忸M二|BA1.

8.已知點(diǎn)P是橢圓C:[+方=l(a>b>0)上一點(diǎn)，尸到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)耳，鳥的距離之和為2百，

“|=2&.

(I)求橢圓。的方程和離心率；

(II)設(shè)直線>=h+2交橢圓于M,N兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)2,使以MN為直徑的圓過點(diǎn)尸(—1,0),若

存在，求女的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(I)橢圓的方程為三十丁=1,離心率為^二逅；(II)

336

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：(I)根據(jù)橢圓的定義可得2。=2道,2。=2返，求出。即可求出橢圓方

程及離心率；(II)將條件以MN為直徑的圓過點(diǎn)尸(一1,0)轉(zhuǎn)化為兩?而二0,設(shè)出直線的方程將直線

方程與橢圓方程聯(lián)立，利用向量垂直的充要條件列出等式，求出直線的斜率.

試題-新課標(biāo)試卷解析?：(I)依題意可知：2a=2瓜2c=2近

所以a=>A,c=V2,Z?2=/—c,2=i

所以橢圓的方程為三+V=i,離心率為0=￡=業(yè).

3a3

（n）設(shè)”（4（孫力）

x22

由｛G“一消去y知，（3標(biāo)+1）/+12辰+9=0

y=kx+2

12k

巧+巧=一^71

則｛A>0

9

xx,=--——

3H

若以MN為直徑的圖過點(diǎn)?（一L0）,則NMEV=90°,即兩-兩=0

而EV=（再+1,M）,網(wǎng)=（吃+1/2）,且弘=3+2,%=七+2

所以￡W-EV=（再+1）（毛+1）+以乃=再巧+（演+W）+1+（必+2）（也+2）=

（好+1）書+（2左+1）（再+電）+5=（左，+1做至g+（2左+>^^+5=0

解得：k=!此時(shí)A>0符合題意.綜上，左的值為：.

66

9.已知點(diǎn)4（0,-1）,8（0,1）,尸為橢圓C：5+y2=i上異于點(diǎn)A,B的任意一點(diǎn).

（I）求證：直線PA、PB的斜率之積為一！.；

2

（II）是否存在過點(diǎn)Q（—2,0）的直線/與橢圓。交于不同的兩點(diǎn)M、N,使得忸M二|BN|?若存在，求

出直線/的方程：若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）見解析（2）y=0

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：（I）設(shè)尸（x,y），并用其坐標(biāo)表示斜率，通過斜率之枳，結(jié)合點(diǎn)在橢

圓上，化簡(jiǎn)可得直線PA、尸8的斜率之積為-L.

2

（II）設(shè)點(diǎn)（孫必），取M7的中點(diǎn)H,則〃（甘工入產(chǎn)），則||BW卜忸M可轉(zhuǎn)化為

2k「I

l±2ki_k=-T,聯(lián)立直線與橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理建立關(guān)于斜率k的方程，求解即可.

-4k

1+2&2

2

試題解析：⑴設(shè)點(diǎn)尸（3），（"0）,則'+/=],即/=]（

（1--1-1

.匕h_y-ly+l_y2-l_2J__1

^PA'^PB-----------...廠-------2—-7

xxxx2

故得證.

（II）假設(shè)存在直線/滿足題意.

顯然當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線與橢圓。不相交.

①當(dāng)直線/的斜率時(shí)，設(shè)直線/為：y=%（x+2）

2

X2_

聯(lián)立，萬'=，化簡(jiǎn)得：（1+2爐*+8爐工+8公_2=0

y=k（x^2）

由A=（8公丫一40+2^）（8^-2）>0,解得-與<k〈與（k于0）

-8女2

X)+x

21+2公

設(shè)點(diǎn)A/（X|,必）,乂（修，必），則｛

88一2

中21+2女2

一84+飲=3

M+乃="（』+占）+4〃=〃

1+2公1+2〃2

A±2k_i

%+占y+%

取MV的中點(diǎn)〃，則”，則—2小?一1

2'2

芭+x2

2

飛一

即~?k=-l,化簡(jiǎn)得242+24+1=0,無實(shí)數(shù)解，故舍去.

l+2k2

②當(dāng)A=0時(shí)，M,N為橢圓。的左右頂點(diǎn)，顯然滿足18Ml=|6N|,此時(shí)直線/的方程為y=0.

綜上可知，存在直線/滿足題意，此時(shí)直線/的方程為y=0.

10.已知橢圓c：，+左=1（。>8>0）的離心率6=*，且橢圓C與圓。+y2=g的4個(gè)交點(diǎn)恰為

一個(gè)正方形的4個(gè)頂點(diǎn).

（1）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)A為橢圓C的下頂點(diǎn)，為橢圓C上與A不重合的兩點(diǎn)，若直線AO與直線AE的斜率

之和為〃2,試判斷是否存在定點(diǎn)G,使得直線。E恒過點(diǎn)G,若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

2

【答窠】（1）y+y2=l（2）存在定點(diǎn)使得直線DE恒過點(diǎn)G

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：（1）第（1）問，直接根據(jù)已知條件得到關(guān)于a,b的一個(gè)方程組，再解方

程組即可.（2）第（2）問，對(duì)直線DE的斜率分兩種情況討論.每一種情況都要先根據(jù)已知條件求直線

DE的方程，再判斷其方程是否過定點(diǎn).

試題解析：

（1）因?yàn)闄E圓。的離心率

所以一人=2,即/二?2，

a2

因?yàn)闄E圓。與圖。的4個(gè)交點(diǎn):恰為一個(gè)正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，

所以直線y=x與圖。的一個(gè)交點(diǎn)（孚，孚］在橢圓C上，所以白■+磊=1，

/=a2=2J

由｛22,解得｛「一，，所以橢圖。的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+F=1.

h曠1g2

⑵由（1）知4（0,-1）,

當(dāng)直線DE的斜率存在時(shí)，設(shè)直線DE的方程為y=kx+t（t工±1）,

2

代入=1得，（1+222）x2+4%儀+2/-2=0,

所以A=16k2t2-4（1+2公）（2產(chǎn)_2）＞0，即，一2二v1.

4kl2t2-2

設(shè)D（%,y）,E（9,%），則%+￡=-，中2=T—^2，

1I乙Kir乙K

因?yàn)橹本€AD與直線AE的斜率之和為/,

所以為+匕=.++應(yīng)+11=2k」"1八1+%）=2?（?；＞4分=足=2,

再巧七巧毛七2t-2

整理得，=1一無，所以直線0E的方程為尸去+。=去+1-左=上（工一1）+1,

顯然直線y=k（x-l）+l經(jīng)過定點(diǎn)（U）.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線皿的方程為工="，

因?yàn)橹本€功與直線屋的斜率之和為/，設(shè)。（見冷，則E（肛f）,

所以無M+如=史工+/~~^=2=『=2,解得加=1,

mmm

此時(shí)直線DE的方程為x=l,顯然直線x=1經(jīng)過定點(diǎn)（1,1）.

綜上，存在定點(diǎn)G（l,l）,使得直線恒過點(diǎn)G.

2

11.已知橢圓C:土+y2=1,如圖所示點(diǎn)Aa，x）,B（x”必）,尸（工3，必）為橢圓上任意三點(diǎn).

4~

（1）若況+礪+/=0,是否存在實(shí)數(shù)4,使得代數(shù)式玉起+丸,必為定值.若存在，求出實(shí)數(shù)幾和

項(xiàng)出+4必當(dāng)?shù)闹担蝗舨淮嬖?，說明理由.

（II）若麗?礪二0,求三角形048面積的最大值；

（M）滿足（II）,且在三角形043面積取得最大值的前提下，若線段P4,PB與橢圓長(zhǎng)軸和短軸交于點(diǎn)

E,F（瓦/不是橢圓的頂點(diǎn)）.判斷四邊形的面積是否為定值.若是，求出定值；若不是，說明理

由.

【答案】（1）2=4.%9+4必必=-2（2）1（3）2

【解析】試題?新課標(biāo)試卷分析：（1）將坐標(biāo)代入橢圓方程，根據(jù)礪+礪+麗=0,消去不,必得

而々+4%%=-2（2）由西?麗二°，得%/+乂％=°，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及

弦長(zhǎng)公式求AB,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求三角形高，再代入三角形面積公式，最后根據(jù)基本不等式求最值,

（3）先求E,F坐標(biāo)，再根據(jù)四邊形面積公式求面積，計(jì)算結(jié)果為定值即可.

寸=1

試題解析：（I）由于｛竽+>j=i,且｛七=一;玉+工!）

4為=一（兇+%）

號(hào)+H，=1

故，存在實(shí)數(shù)4=4使得=-2.

（II）當(dāng)直線A3斜率不存在時(shí)，可設(shè)為x二機(jī)；

x=m

聯(lián)立方程組｛爐,得若）?防=0：

—+y=1

4

由西?礪=0,得根2一（1一號(hào)）=o,即加=±，逐，SAOAB=［；

當(dāng)直線AB斜率存在時(shí),可設(shè)為y=履+m；

y=kx+tn

聯(lián)立方程組｛f,得(4/+1*+8叱+(4/-4)=0；

—+y2=l

4

8km4(/n2-l)

4^+1

rhOA-OB=0,得玉超+%%=0,

即+―kmx(——§吵)+/=0,57n2=4(^2+1)

4H+14《+1

S^OAB=^\AB\xd=^116k斗+17/+i4I?9k2

、16/+8r+15V+16^4+8^2+l

等號(hào)成立時(shí)，k4=—,即女=±』.

162

所以4048的最大值為1.

(HI)S’OAB取得最大值時(shí)，k=±：此時(shí)直線AB與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)恰好分別是橢圓長(zhǎng)軸和短軸各一個(gè)

2

端點(diǎn)；

不妨取N(2,0),8(0,1),若線段PA.PB與橢圓長(zhǎng)軸和短軸交于點(diǎn)E：F(瓦尸不是橢圓與坐標(biāo)軸的交

點(diǎn)).

此時(shí)點(diǎn)尸定在第三象限，即電<。/3<0；

直線"的方程為y=°1Q-2),令x=0,得E(0「二三)

再一2巧一2

同理，得產(chǎn)(-上：0)

>3-1

四邊形AB稗的面枳為:

12.如圖，已知圓E:(x+Gy+y2=i6,點(diǎn)/(G,0),P是圓E上任意一點(diǎn)，線段P廠的垂直平分線和

半徑PE相交于Q.

(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡r的方程；

(2)已知A3,C是軌跡「的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在一象限，8與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，K|C4|=|CB|,問AA3C的

面積是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相應(yīng)直線A8的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

y.2O

【答案】(1)—+/=1；(2)-,y=x.

45

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：(1)連接Q尸，根據(jù)題意，\QP\=\QF\,則|Q目+依川=

|QEj-|QP|=4>26，可得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡「是以瓦尸為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即可求出動(dòng)點(diǎn)Q的軌

跡「的方程；(2)設(shè)直線A3的方程為?="，與橢圓方程聯(lián)立，求出A的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)。的坐標(biāo)，

進(jìn)而表示出AA3C的面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論.

試題解析：(1);。在線段P尸的垂直平分線上，，應(yīng)「戶即，得四+|0尸|=；2E|+|QP|=|理|=4,

又冏=2力<4,的軌跡是以二尸為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，.\T:—+^=1.

4

(2)由點(diǎn)/在第一象限，3與.4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)直線?始的方程為J=H(AO),

???|ai=3l,1.c在?州的垂直平分線上，

「?直線。。的方程為y=-5x.

產(chǎn)筋/7+T,

￡2=（1+4靖撲4,|朗=2@|=2^?討=4%獲有,‘同理可得

4+尸=1

A/Z±l_1...「、/3+1匚4（：+1）

型1%1=4\/（4d+1）（7+4）=｛（4,+1）（4）'

2\jN+^=2\AB\義刈+

------------------------4妙+l+d+45(妙+1)

當(dāng)且僅當(dāng)Z=1時(shí)取等號(hào)

7(娑+1)(7+4)<9=-

Q

綜上，當(dāng)直線AB的方程為y=x時(shí)，△ABC的面積有最小值].

22

13.已知橢圓C：^+^=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F],F?且F?關(guān)于直線x-y+a=O的對(duì)稱點(diǎn)M在直線

ab

3x+2y=。上.

(1)求橢圓的離心率；

(2)若C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4且斜率為三的直線I交橢圓于A,B兩點(diǎn)，問是否存在定點(diǎn)P,使得PA,PB的斜率之和為

2

定值？若存在，求出所有滿足條件的P點(diǎn)竺標(biāo)；若不存在，說明理由.

133

【答案】(1)-；(2)滿足條件的定點(diǎn)P是存在的，坐標(biāo)為(-1,--)及(1,-)

222

【解析】試題-新課標(biāo)試卷分析：(1)依題知F4c,0),根據(jù)對(duì)稱求出點(diǎn)M,根據(jù)點(diǎn)在直線上，可得離心

221

率；(2)由(1)可得橢圓方程為二十1=1，設(shè)設(shè)直線I方程為y=-x+t,聯(lián)立方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可

432

3

-ny2-n(n--m)t+2mn-3

得x「X2=-t,xx=t-3,設(shè)P(m,n),可得kpA+kpp=--------+--------2,化簡(jiǎn)整理即可.

X]?mx-m

2t2+mt+m2-3

試題解析：

%yn/xA=-a

(1)依題知設(shè)M3，y0),則----="Xfi-------------+a=0,解得,即M(?a,a+c)

x0-c22M=a+c

.M在直線3x+2y=0上，.'??3a+2(a+c)=0,a=2c,.'.e=-=-

a2

C1Oh222

(2)由⑴及題設(shè)得：一=-且竺=3，：?a=2,b=M???橢圓方程為上十二1

a2a43

設(shè)直線I方程為y=：x+t,代入橢圓方程消去丫整理得/小"?3=0.依題A>0,即八4

設(shè)A（X],yj,B%,y）則X「x2=?t,X]Xz=d?3

如果存在P（m,n）使得kpA*J為定值，那么1+[的取值將與t無關(guān)

33

y-ny2-n(n--m)t+2mn-3(n--m)t?2mn-3

2，令2

--------------------------------------------------sM

tX+mAt+m2-3、「t+m?t+m2-3?

貝IJMJ+（rr?M+-m-n）t?m2M-3M-2mn+3=0為關(guān)于t（『<4）的恒等式

M~0z（n=1,m=-1

??.解得Y或0一

2mn=312'2

綜上可知，滿足條件的定點(diǎn)P是存在的，坐