概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教案

第一章隨機(jī)事件與概率

課題：第1講

一、教學(xué)目的：

1.使學(xué)生了解本門(mén)課程的基本內(nèi)容、重要性與作用。了解研究生入學(xué)考試對(duì)木門(mén)課的要求。

2.理解隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、隨機(jī)事件等概念，掌握隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算。

二、教學(xué)重點(diǎn)：

1.隨機(jī)事件的概念

2.隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算，通過(guò)舉例讓學(xué)生理解.

三、教學(xué)難點(diǎn)：

理解隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、隨機(jī)事件等概念，舉例說(shuō)明解決.

四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：

黑板,＜＜概率統(tǒng)計(jì)引論》、＜＜概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程＞＞,v〈概率論講義＞＞。

五、教學(xué)方法：講授法為主

六、教學(xué)時(shí)數(shù):3學(xué)時(shí)

七、教學(xué)過(guò)程：

引入：（20分鐘）

1.概率論的簡(jiǎn)單含義：

人們通常將自然界或社會(huì)中出現(xiàn)的現(xiàn)象分成二類(lèi)：

一類(lèi)是必然的necessity,inevitability,如同性電荷互相排斥；純水加熱到100必然沸

騰等

一類(lèi)是偶然的chanciness,casulness,chance,fortuity,randomly。如擲一枚硬幣，

可能出現(xiàn)正面或反面兩種結(jié)局，但究竟出現(xiàn)哪種結(jié)局事先無(wú)法確定。

概率一詞的英文是probability,Probable意指可能，-ility意指程度（largeor

small?）o因此，probability可認(rèn)為是“可能性的大小”，翻譯成中文就是概率，但也有不

同時(shí)期或者不同的資料翻譯成或然率或者幾率的。而在不同的學(xué)科中乂有不同的稱(chēng)呼，如產(chǎn)品

合格率，犯罪率，出生率，離婚率，命中率，成功率，患病率，有效率，痊愈率，及格率等

等,

2.概率論的產(chǎn)生和發(fā)展

概率論產(chǎn)生于十七世紀(jì)，本來(lái)是隨著保險(xiǎn)事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的，但是來(lái)自于賭博者的請(qǐng)

求，卻是數(shù)學(xué)家們思考概率論中問(wèn)題的源泉。

早在1654年，有一個(gè)賭徒梅累向當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個(gè)使他苦惱了很久的問(wèn)題：“兩

個(gè)賭徒相約賭若干局，誰(shuí)先贏m局就算贏，全部賭本就歸誰(shuí)。但是當(dāng)其中一個(gè)人贏了a（a＜m）

局的時(shí)候，賭博中止。問(wèn)：賭本應(yīng)該如何分法才合理？”后者曾在1642年發(fā)明了世界上第一

臺(tái)機(jī)械加法計(jì)算機(jī)。

三年后，也就是1657年，荷蘭著名的天文、物理兼數(shù)學(xué)家惠更斯企圖自己解決這一問(wèn)題，結(jié)

果寫(xiě)成了《論機(jī)會(huì)游戲的計(jì)算》一書(shū)，這就是最早的概率論著作。

隨機(jī)試驗(yàn)（45分鐘）

樣本空間（15分鐘）

隨機(jī)事件（35分鐘）

舉例（20分鐘）

八、課程小結(jié)（5分鐘）

九、作業(yè)（5分鐘）

十、教學(xué)后記：

講義

隨機(jī)試驗(yàn)

在進(jìn)行個(gè)別試驗(yàn)或觀察使其結(jié)果具有不確定性,但在大量的重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)

規(guī)律性的現(xiàn)象,稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象為對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象加以研究所進(jìn)行的觀察或?qū)嶒?yàn),稱(chēng)為試驗(yàn).若一個(gè)

試驗(yàn)滿(mǎn)足下列三個(gè)特點(diǎn)：

(1)在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行；

(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且事先可以知道試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；

(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定出現(xiàn)的是哪個(gè)結(jié)果，則稱(chēng)這一試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)，記為E,

例如：例1.I：拋擲一枚硬幣，觀察正面和反面出現(xiàn)的情況.

例1.2:擲一顆篩子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

例1.3:對(duì)某一目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈,觀察彈著點(diǎn)到目標(biāo)的距離.

例1.4:記錄電話交換臺(tái)在上午9時(shí)到10時(shí)接到的電話呼喚次數(shù).

例1.5:測(cè)試某種型號(hào)的燈泡的壽命.

寺寺.

樣本空間

在一個(gè)試驗(yàn)中，不論可能的結(jié)果有多少個(gè)，總可以從中找出這樣一組基本結(jié)果,滿(mǎn)足：

(1)每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必然出現(xiàn)且只能出現(xiàn)其中的一個(gè)基本結(jié)果；

(2)任何事件，都是由其中的一些基本結(jié)果所組成.

隨機(jī)試驗(yàn)中的每一個(gè)基本結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn)，記為3

隨機(jī)試驗(yàn)E的全體樣本點(diǎn)組成的集合稱(chēng)為試驗(yàn)E的樣本空間，記為Q

隨機(jī)事件

1.定義

在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的結(jié)果，稱(chēng)為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱(chēng)事件.隨機(jī)事件可表述

為樣本空間中樣本點(diǎn)的某個(gè)集合，一般記為A,B,C……等等.

所謂事件A發(fā)生，是指在一次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中包含的某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn).

在每次試驗(yàn)中?定發(fā)生的事件稱(chēng)為必然事件.樣本空間。包含所有的樣本點(diǎn)，每次試驗(yàn)它

必然發(fā)生，它就是一個(gè)必然事件.必然事件用。表示，它是樣本空間。自身的一個(gè)子集.

在每次試驗(yàn)中一定不發(fā)生的事件稱(chēng)為不可能事件，記為“，它是樣本空間的一個(gè)空子集.

2.隨機(jī)事件之間的關(guān)系及運(yùn)算

事件是一個(gè)集合，因此事件之間的關(guān)系及其運(yùn)算可用集合之間的關(guān)系

及運(yùn)算來(lái)處理.卜面我們討論事件之間的關(guān)系及運(yùn)算

⑴事件的包含與相等

若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件3發(fā)生，即A中的樣本點(diǎn)一定屬于B,則

稱(chēng)事件A包含于B,記為AUB.

若Au3,且3uA,則稱(chēng)事件A與事件B是相等的，記為A=B

⑵事件的和，積，差

事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件，稱(chēng)為事件A與事件B的和，記為.事件的和

也稱(chēng)為事件的并.事件A與B的和是由A與B的樣本點(diǎn)合并而成的事件.

00

類(lèi)似的，可列個(gè)事件4A，&A，飛A,的和可記為Ua曰,或n個(gè)事件

A，4,4,…A〃的和可記為t4

事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件，稱(chēng)為事件A與事件B的積，記為，也可簡(jiǎn)寫(xiě)為.

事件的積也稱(chēng)為事件的交.事件A與B的積是由A與B的公共的樣本點(diǎn)所構(gòu)成的事件.

8

類(lèi)似的，可列個(gè)事件A，&，4,…的積可記為/=1,n個(gè)事件4，4,4，…4的積可記為

AA

I=I

事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生的事件，稱(chēng)為事件A與B的差，記為.事件A與B的差是由

屬于A而不屬于B的樣本點(diǎn)所構(gòu)成的事件.

⑶事件的互不相容(互斥)

若AcB=°,則稱(chēng)事件人與事件B是互不相容的，或稱(chēng)A與B是互斥

的,A與B互不相容，是指事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，例如，基本事件是

兩兩互不相容的.

⑷對(duì)立事件

若，且，則稱(chēng)事件A與事件B互為對(duì)立事件，或稱(chēng)A與B互為逆事

件,A與B對(duì)立，是指事件A與事件B既不能同時(shí)發(fā)生又不能同時(shí)不發(fā)生，即

在每次試驗(yàn)中,A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生.A的對(duì)立事件記為.顯然，

由定義可知，對(duì)立事件必為互不相容，反之，互不相容的兩個(gè)事件未必我對(duì)立事件.

以上事件之間的關(guān)系及運(yùn)算可以用文氏圖來(lái)直觀地表示。

3.事件的運(yùn)算律

設(shè)A為事件，則有

交換律：A<JB=B\JA；Ac\B=BcyA

結(jié)合律.=AC(BCC)=(ACB)CC

.爐粒AU(BCC)=(AUB)C(AUC)Ac(8uC)=(AcB)u(BcC)

T7THU?；

德摩根(DeMorgan)律：兒8=^耳八。8=利豆

課程小結(jié)：

第一部分建立概率論的基本的各個(gè)術(shù)語(yǔ)和概念，常用的公式和基本的定理，這樣后繼課

程就可以繼續(xù)在專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域中使用這些基礎(chǔ)知識(shí)。

第二部分為數(shù)理統(tǒng)計(jì)，即研究怎樣從大量的隨機(jī)的看似雜亂無(wú)章的數(shù)字中獲得統(tǒng)計(jì)結(jié)果

的技術(shù)。但由于課時(shí)有限，不能講解。

作業(yè):習(xí)題1.1：1,2

課題：第2講

一、教學(xué)目的：

1.掌握頻率的基本性質(zhì)；

2.概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的公理化定義

￡,（AU&U…U4）=4（A）十力（&）十…十人（4）,

二.概率的統(tǒng)計(jì)定義

定義2在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，若事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大

而穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù)（附近擺動(dòng)，則稱(chēng)為事件的概率，記為.

三.概率的公理化定義

任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念都是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，這種抽象使得其具有廣泛的適用性.概率的頻

率解釋為概率提供了經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，但是不能作為一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，從概率論有關(guān)問(wèn)題的研

究算起，經(jīng)過(guò)近三個(gè)世紀(jì)的漫長(zhǎng)探索歷程，人們才真正完整地解決了概率的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定

義.1933年，前蘇聯(lián)著名的數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸?，在他的“概率論的基木概念”一?shū)中給出了

現(xiàn)在已被廣泛接受的概率公理化體系，第一次將概率論建立在嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)上.

定義3設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，§是它的樣本空間，對(duì)于后的每一個(gè)事件A賦于一個(gè)實(shí)數(shù)，記

為P（A）,若P（A）滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：

1.非負(fù)性：對(duì)每一個(gè)事件，有；

2.完備性：；

3.可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，則有

?（）

^（UIA）=XA-

則稱(chēng)尸（④為事件A的概率.

四.概率的性質(zhì)

性質(zhì)1一性質(zhì)

例題選講：

頻率及其性質(zhì)

例1（講義例1）圓周率是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，我國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之第一

次把它計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后七位，這個(gè)記錄保持了1000多年！以后有人不斷把它算得更精

確.1873年，英國(guó)學(xué)者沈克士公布了一個(gè)的數(shù)值，它的數(shù)目在小數(shù)點(diǎn)后一共有707位之多！

但幾十年后，曼徹斯特的費(fèi)林生對(duì)它產(chǎn)生了懷疑.他統(tǒng)計(jì)了的608位小數(shù)，得到了下表：

數(shù)字0123456789

出現(xiàn)次數(shù)60626768645662445867

你能說(shuō)出他產(chǎn)生懷疑的理由嗎？

因?yàn)槭且粋€(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)：所以，理論上每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)近似相等，或它們出

現(xiàn)的頻率應(yīng)都接近于0.1,但.7出現(xiàn)的頻率過(guò)小.這就是費(fèi)林產(chǎn)生懷疑的理由.

概率的統(tǒng)計(jì)定義

例2（講義例2）檢查某工廠一批產(chǎn)品的質(zhì)量，從中分別抽取10件、20件、50件、100

件、150件、200件、300件檢查，檢查結(jié)果及次品頻列入表廠21

抽取產(chǎn)品總件數(shù)102050100150200300

次品數(shù)〃013571116

次品頻率〃/〃00.0500.0600.0500.0470.0550.053

由表1看出，在抽出的n件產(chǎn)品中，次品數(shù)隨著n的不同而取不同值，從而次品頻率

僅在0.05附近有微小變化.所以0.05是次品頻率的穩(wěn)定值.

例3(講義例3)從某魚(yú)池中取100條魚(yú)，做上記號(hào)后再放入該魚(yú)池中.現(xiàn)從該池中任意捉來(lái)

40條魚(yú)，發(fā)現(xiàn)其中兩條有記號(hào)，問(wèn)池內(nèi)大約有多少條魚(yú)？

概率的性質(zhì)

例4(講義例4)已知尸(A)=°5P(AB)=0.2,P(B)=0.4求

(1)PM；(2)P(A-%(3)P(A"(4)P(AB)

例5(講義例5)觀察某地區(qū)未來(lái)5天的天氣情況，記"為事件："有'天不下雨"，已

知尸⑷="(4),i=1,2,345.求下列各事件的概率：

(1)天均下雨；(2)至少一天不下雨；(2)至少一天不下雨；

例6某城市中發(fā)行2種報(bào)紙A,B.經(jīng)調(diào)查，在這2種報(bào)紙的訂戶(hù)中，訂閱A報(bào)的有45%,訂閱

B報(bào)的有35%同時(shí)訂閱2種報(bào)紙A,B的有10%.求只訂一種報(bào)紙的概率

講解注意：

課堂練習(xí)

1設(shè)45=0,P(A)=0.6,P(AUB)=0.8求事件8的逆事件的概率.

2設(shè)P(A)=0.4,尸(4)=0.3,尸(A(JB)=O.6,求2力一⑶

3.設(shè)都出現(xiàn)的概率與A3都不出現(xiàn)的概率相等,且&4)=p,求P(8).

課迤：第3講

一、教學(xué)目的：

1.使學(xué)生掌握古典概型、。

2.掌握幾何概型。

二、教學(xué)重點(diǎn)：

1.計(jì)算古典概型的方法，通過(guò)舉例讓學(xué)生理解。

三、教學(xué)難點(diǎn)：

1.計(jì)算古典概型的方法，通過(guò)舉例讓學(xué)生理解.

四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：

黑板，《概率統(tǒng)計(jì)引論＞＞、＜＜概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》，《概率論講義＞＞。

五、教學(xué)方法：講授法為主

六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)

七、教學(xué)過(guò)程：

引入：(1()分鐘)

一個(gè)紙桶中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球.將球編號(hào)為1—10.把球攪勻，蒙上眼睛

從中任取一球.因?yàn)槌槿r(shí)這些球被抽到的可能性是完全平等的，所以我們沒(méi)有理由認(rèn)為這

10個(gè)球中的某一個(gè)會(huì)比另一個(gè)更容易抽得，也就是說(shuō),這10個(gè)球中的任一個(gè)被抽取的可能性

均為?

這樣一類(lèi)隨機(jī)試驗(yàn)是一類(lèi)最簡(jiǎn)單的概率模型，它曾經(jīng)是概率論發(fā)展初期主要的研究對(duì)象.

一)、古典概型(45分鐘)

二)、計(jì)算古典概型的方法(20分鐘)

三)、幾何概型(40分鐘)

八、課程小結(jié)(5分鐘)

九、作業(yè)(5分鐘)

習(xí)題1.2:8,10。

十、教學(xué)后記：

講義

一、古典概型

我們稱(chēng)具有下列兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判汀?/p>

1.隨機(jī)試驗(yàn)只有有限個(gè)可能的結(jié)果；

2.每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性大小相同.

因而古典概型又稱(chēng)為等可能概型.在概率論的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)參程中，它是最早的研究對(duì)象

旦在實(shí)際中也最常用的一種概率模型。它在數(shù)學(xué)上可表述為：

在古典概型的假設(shè)下，我們來(lái)推導(dǎo)事件概率的計(jì)算公式.設(shè)事件包含其樣木空間中

個(gè)基本事件，即

A={q}U{q}U…U{qJ

則事件4發(fā)生的概率

?八p/l、—、kA包含的基本事件數(shù)

=二儀列］?）二廠s中基本事件的總數(shù).

稱(chēng)此概率為古典概率.這種確定概率的方法稱(chēng)為古典方法.這就把求古典概率的問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為對(duì)基本事件的計(jì)數(shù)問(wèn)題.

二、計(jì)算古典概率的方法

基本計(jì)數(shù)原理：

1.加法原理：設(shè)完成一件事芍種方式，其中第一種方式有種方法，第二種方式有種

方法，……，第種方式有種方法，無(wú)論通過(guò)哪種方法都可以完成這件事，則完成這件事的

方法總數(shù)為.

2.乘法原理：設(shè)完成一件事有個(gè)步驟，其中第一個(gè)步驟有種方法，第二個(gè)步驟有種

方法，……，第個(gè)步驟有種方法;完成該件事必須通過(guò)每一步驟才算完成，則完成這件事

的方法總數(shù)為.

3.排列組合力法

排列公式：（2）組合公式；（3）二項(xiàng)式公式.

三、幾何概型

古典概型只考慮了有限等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型.這里我們進(jìn)一步研究樣本空間

為一線段、平面區(qū)域或空間立體等的等可能隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型一幾何概型.

a）設(shè)樣本空間S是平面上某個(gè)區(qū)域，它的面積記為“（S）；

b）向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，這里“隨機(jī)投擲一點(diǎn)”的含義是指該點(diǎn)落入內(nèi)任何部分區(qū)

域的可能性只與區(qū)域的面積成比例，而與區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān).向區(qū)域上隨機(jī)投

擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在區(qū)域的的事件仍記為，則概率為，其中為常數(shù)，而，于是得

,從而事件的概率為

P（A）=M@

MS）幾何概率（*）

注：若樣本空間S為一線段或一空間立體，則向S“投點(diǎn)”的相應(yīng)概率仍可用（*）式確定，

但應(yīng)理解為長(zhǎng)度或體積.

例1（講義例1）一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小相同的球，其中3個(gè)黑球,7個(gè)白球.求

從袋子中任取一球，這個(gè)球是黑球的概率；

從袋子中任取兩球，剛好一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率以及兩個(gè)球全是黑球的概率.

例2（講義例2）將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)球隨意地排成一行，求下列各事件的概率:

（1）各球自左至右或自右至左恰好排成1,2,3,4的順序；

（2）第1號(hào)球排在最右邊或最左邊；

（3）第1號(hào)球與第2號(hào)球相鄰；

（4）第1號(hào)球排在第2號(hào)球的右邊（不一定相鄰）.

例3（講義例3）將3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)杯子中，問(wèn)杯子中球的個(gè)數(shù)最多為1,2,3的概

率各是多少？

例4（講義例4）將15名新生（其中有3名優(yōu)秀生）隨機(jī)地分配到三個(gè)班級(jí)中，其中一班4

名，二班5名，三班6名，求：

每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率；

3名優(yōu)秀生被分配到一個(gè)班級(jí)的概率.

例5（講義例5）在r2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，問(wèn)取到的整數(shù)既不能被6整除，又

不能被8整除的概率是多少？

例6一個(gè)袋子中裝有個(gè)球，其中個(gè)黑球，個(gè)白球，隨意的每次從中取出一個(gè)球

（不放回），求下列各事件的概率：

（1）第'次取到的是黑球；

（2）第'次才取到黑球；

（3）前i次中能取到黑球.

例7（講義例6）某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)覺(jué)表停了，他打開(kāi)收音機(jī)，想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí)，設(shè)電臺(tái)每正

點(diǎn)是報(bào)時(shí)一次，求他（她）等待時(shí)間短于10分鐘的概率.

例8（講義例7）（會(huì)面問(wèn)題）甲、乙兩人相約在7點(diǎn)到8點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等

候另一人20分鐘，過(guò)時(shí)就離開(kāi).如果每個(gè)人可在指定的一小時(shí)內(nèi)任怠時(shí)刻到達(dá)，試計(jì)算一人

能夠會(huì)面的概率.

課堂練習(xí)

1.設(shè)有件產(chǎn)品，其中有件次品，現(xiàn)從中任取件，求其中有件次品的概率.

課題：第4講

一、教學(xué)目的：

1.條件概率的定義。

2.乘法公式。

二、教學(xué)重點(diǎn)：

1.掌握條件概率的計(jì)算，乘法公式;，通過(guò)舉例讓學(xué)生理解。

三、教學(xué)難點(diǎn)：

1.計(jì)算條件概率，通過(guò)舉例讓學(xué)生理解。

四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：

黑板，＜＜概率統(tǒng)計(jì)引論〉、”概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程〉，＜〈概率論講義〉。

五、教學(xué)方法：講授法為主

六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)

七、教學(xué)過(guò)程：

引入：（10分鐘）

在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要計(jì)算在某個(gè)事件B已發(fā)生的條件下,，另一個(gè)事件發(fā)生的概率。在

概率論中，稱(chēng)此概率為事件已發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱(chēng)為對(duì)的條件

概率，記為o一般地，因?yàn)樵黾恿恕笆录寻l(fā)生”的條件，所以。

條件概率的定義（45分鐘）

舉例（15分鐘）

乘法公式（35分鐘）

舉例（30分鐘）

八，課程小結(jié)（5分鐘）

九、作業(yè)（5分鐘）

習(xí)題1.3:37頁(yè)4,8o習(xí)題1.4X8頁(yè)4,6,8

十、教學(xué)后記：

講義

性質(zhì)：⑴=0；

⑵若，，…，是兩兩互不相容事件，則

…U4）=P（A）+P（4）…尸（4）；（有限可加性）

⑶設(shè)A,B是兩個(gè)事件，若，則

P（3-A）=P（B）-P（A）P（3）NP（A）

（4）對(duì)于任一事件A,有

⑸對(duì)于任一事件A,有=1-

（6）對(duì)于任意兩事件A、B,有

（加法公式）

上式可以推廣為：

產(chǎn)（AU8UC）=P（A）+P（B）+P（C）—P（AB）—P（BC）—P（GA）+P（ABC）

產(chǎn)（AU4U…UA）=魯尸⑷_總尸（9）.焉/（MA）

i+（T）”（A4A）

條件概率

在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要計(jì)算在某個(gè)事件B已發(fā)生的條件下,，另一個(gè)事件發(fā)生的概率。

在概率論中，稱(chēng)此概率為事件已發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱(chēng)為對(duì)的條件

概率，記為。一般地，因?yàn)樵黾恿恕笆录寻l(fā)生”的條件，所以。

某工廠有職工500人，男女各占一半，男女職工中技術(shù)優(yōu)秀的分別為40人與10人。現(xiàn)從中人

選一名職工，試問(wèn)：該職工為技術(shù)優(yōu)秀的概率是多少？已知選出的是女職工，她為技術(shù)優(yōu)秀的

概率是多少？

解設(shè)表示選出的職工為技術(shù)優(yōu)秀的事件，表示選出的是女職工的事件。

40+1011

P(A)=P(A|fi)=—

⑴500io⑵25025

顯然，。這是因?yàn)橄拗圃谝寻l(fā)生的條件下求的概率的緣故。

另外，可由

推得一般情況下條件概率的定義.

設(shè)實(shí)驗(yàn)的基本事件總數(shù)為:事件所包含的基本事件數(shù)為，事件所包含的基本事

件數(shù)為，則有

由比可得條件概率的定義。

定義設(shè)為兩個(gè)事件，且，則稱(chēng)為事件發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率，記為

根據(jù)條件概率定義，不難驗(yàn)證它符合概率定義中的三個(gè)條件，即

若事件是兩兩互不相容的，則

P（0AI3）=巨aAI8）.

i=l/-I

條件概率既然是一個(gè)概率，對(duì)于事件A而言，它也就滿(mǎn)足概率的一般性質(zhì)。條件概率是

概率論中一個(gè)很重要、很基本的概念。必須很好地理解和掌握它。

條件概率也可利用“縮減樣木空間”的方法來(lái)計(jì)算。如求，可把事件所包含的基本事

件作為樣本空間，在這個(gè)“小”的樣本空間中求事件發(fā)生的概率。

例某種動(dòng)物出生之后活到20歲的概率為0.7,活到25歲的概率為0.56,求現(xiàn)年為20歲的

這種動(dòng)物活到25歲的概率。

解設(shè)表示這種動(dòng)物活到20歲以上的事件，表示這種動(dòng)物活到25歲以下的事件，則由題

設(shè)且

得…）二鐳嗯喈二。?'

乘法定理

設(shè)有事件和，若,或，則由條件概率定義，得

P(A8)=P(A)P(B|A),或P(AB)=P(B)P(A\B).

一股地，設(shè)事件若，則有

P(AlA2...An)=P(Al)P(A21A)P(aIA4)……P(/I…A”7).

事實(shí)上，由

有P(At)>尸(A&)2P(AlA2A.)>.....>P(AlA2...An_l)>0,

故公式右邊的每個(gè)條件概率都是有意義的，于是由條件概率定義可得

「(“(A?|A)P(&|A&)??…P(A,IAA--4-i)

P（AA）P（AAA）P（44....A“）

-r（/I.）-----t--2-------l--2--i-?---------------

p（A）P（A,A2）P（A-T）

課題：第6講

一、教學(xué)目的：

1.掌握兩個(gè)事件的獨(dú)立性。

2.了解有限個(gè)事件的獨(dú)立.性。

3.掌握相互獨(dú)立性的性質(zhì)。

4理解伯努利概型。

二、教學(xué)重點(diǎn)：

1.兩個(gè)事件的獨(dú)立性，相互獨(dú)立性的性質(zhì)。

2.伯努利概型，舉例說(shuō)明解決。

三、教學(xué)難點(diǎn)：

相互獨(dú)立性的性質(zhì)，舉例說(shuō)明解決.

四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：

黑板,vv概率統(tǒng)計(jì)引論＞＞、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》,＜＜概率論講義＞＞。

五、教學(xué)方法：講授法為主

六、教學(xué)時(shí)數(shù):3學(xué)時(shí)

七、教學(xué)過(guò)程：

引入：(10分鐘)

兩個(gè)事件的獨(dú)立性(20分鐘)

有限個(gè)事件的獨(dú)立性(30分鐘)

相互獨(dú)立性的性質(zhì)(30分鐘)

例題(15分鐘)

伯努利概型(20分鐘)

例題(10分鐘)

八、課程小結(jié)(5分鐘)

九、作業(yè)(5分鐘)

習(xí)題1.4:48頁(yè)14,15

十、教學(xué)后記：

講義

兩個(gè)事件的獨(dú)立性

定義若兩事件只，臺(tái)滿(mǎn)足

P(AB}=

則稱(chēng)A8獨(dú)立，或稱(chēng)A3相互獨(dú)立.

注：當(dāng)，時(shí)，，相互獨(dú)立與，互不相容不能同時(shí)成立.但與既相互獨(dú)立又互不相

容(自證).

定理1設(shè)，是兩事件，且，若，相互獨(dú)立，則.反之亦然.

定理2設(shè)事件A.8相互獨(dú)立，則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立：

A與豆，彳與8,彳與否.

有限個(gè)事件的獨(dú)立性

定義設(shè)AaC為三個(gè)事件.若滿(mǎn)足等式

P(A8)=P(A)P(5),

P(AC)=P(A)P(C),

P(BC)=P(B)P(C),

P(ABC)=P(A)P(B)P(C),

則稱(chēng)事件相互獨(dú)立.

對(duì)〃個(gè)事件的獨(dú)立性.可類(lèi)似寫(xiě)出其定義:

定義設(shè)4，42,…，4是〃個(gè)事件，若其中任意兩個(gè)事件之間均相互獨(dú)立，則稱(chēng)

…，4兩兩獨(dú)立.

相互獨(dú)立性的性質(zhì)

性質(zhì)1若事件人，人,…,凡(〃之2)相互獨(dú)立，則其中任意叔個(gè)事件也相互獨(dú)立；

由獨(dú)立性定義可直接推出.

性質(zhì)2若〃個(gè)事件…4(〃之2)相互獨(dú)立，則將4,4，…，4中任意

個(gè)密件換成它們的對(duì)立事件，所得的〃個(gè)事件仍相互獨(dú)立；

對(duì)時(shí)，定理2已作證明，一般情況可利用數(shù)學(xué)歸納法證之，此處略.

性質(zhì)3設(shè)是個(gè)隨機(jī)事件，則

A，&，…，,相互獨(dú)立.4兩兩獨(dú)立.

即相互獨(dú)立性是比兩兩獨(dú)立性更強(qiáng)的性質(zhì)，

伯努利概型

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：事件發(fā)生(記為)或事件不發(fā)生(記為),則稱(chēng)這

樣的試驗(yàn)為伯努利(BermouHIi)試驗(yàn).設(shè)

P(A)=p,P(X)=I-p,(0<p<l),

將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行〃次，稱(chēng)這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為〃重伯努利試驗(yàn)，或簡(jiǎn)稱(chēng)

為伯努利概型.

注：〃重伯努利試驗(yàn)是一種很重要的數(shù)學(xué)模型，在實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用.其特點(diǎn)是:

事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率均為〃，且不受其他各次試驗(yàn)中A是否發(fā)生的影響.

定理3(伯努利定理)設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為則在〃重貝努里

試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生Z次的概率為

P{X=k}=C：p1"p)…，伏=0.1,

推論設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為〃(°<〃<立則在〃重貝努里試驗(yàn)中，事件

A在第4次試驗(yàn)中的才首次發(fā)生的概率為

注意到“事件A第左次試驗(yàn)才首次發(fā)生”等價(jià)于在前k次試驗(yàn)組成的k重伯努利試驗(yàn)中“事

件A在前上一1次試驗(yàn)中均不發(fā)生而第火次試驗(yàn)中事件A發(fā)生”，再由伯努利定理即推得.

例題選講：

兩個(gè)事件的獨(dú)立性

例1從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記人={抽到K},8={抽到的

牌是黑色的｝,問(wèn)事件4、8是否獨(dú)立？

注：從例1可見(jiàn)，判斷事件的獨(dú)立性，可利用定義或通過(guò)計(jì)算條件概率來(lái)判斷.但在實(shí)際應(yīng)

用中，常根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.

例2已知甲、乙兩袋中分別裝有編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)球,今從甲、乙兩袋中各取出一球,

設(shè)｛從甲袋中取出的是偶數(shù)號(hào)球｝,｛從乙袋中取出的是奇數(shù)號(hào)球｝,｛從兩袋中取出的都是

偶數(shù)號(hào)球或都是奇數(shù)號(hào)球｝,試證兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立.

課題：第6講

一.教學(xué)目的：

L使學(xué)生掌握隨機(jī)變量的定義，引入隨機(jī)變量的意義.

2.理解隨機(jī)變量的分布函數(shù)，分布函數(shù)的性質(zhì).

3.理解概率分布。

二、教學(xué)重點(diǎn)：

1.掌握隨機(jī)變量的定義。

2.理解分布函數(shù)的性質(zhì)及其求法。

舉例說(shuō)明解決.

三、教學(xué)難點(diǎn)：

1.分布函數(shù)的性質(zhì)及其求法，舉例說(shuō)明解決.

四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：

黑板,＜＜概率統(tǒng)計(jì)引論》、＜＜概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》,《概率論講義

五、教學(xué)方法：講授法為主

六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)

七、教學(xué)過(guò)程：

引入：（20分鐘）

在隨機(jī)試驗(yàn)中，人們除對(duì)某些特定事件發(fā)生的概率感興趣外，往往還關(guān)心某個(gè)與隨機(jī)試驗(yàn)

的結(jié)果相聯(lián)系的變量.由于這一變量的取值依賴(lài)于隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果.因而被稱(chēng)為隨機(jī)變量.與普通

的變量不同，對(duì)于隨機(jī)變量，人們無(wú)法事先預(yù)知其確切取值，但再以研完其取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.

本章將介紹兩類(lèi)隨機(jī)變量及描述隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的分布.

隨機(jī)變量（20分鐘）

分布函數(shù)（35分鐘）

概率分布（35分鐘）

八、課程小結(jié)（10分鐘）

九、作業(yè)（5分鐘）

習(xí)題2.1:73頁(yè)5,6,7

十、教學(xué)后記：

講義

隨機(jī)變量概念的引入

為全面研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，需將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化,

即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái).

1.在有些隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果本身就由數(shù)量來(lái)表示.

2.在另一些隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看起來(lái)與數(shù)量無(wú)關(guān)，但可以指定一個(gè)數(shù)量來(lái)表示之.

隨機(jī)變量的定義

定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S,稱(chēng)定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)X=X(e)為

隨機(jī)變量.

隨機(jī)變量與高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的比較：

(1)它們都是實(shí)值函數(shù),但前者在試驗(yàn)前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取

哪個(gè)值；

(2)因試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，故前者取每個(gè)值和每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也有一定

的概率.

引入隨機(jī)變量的意義

隨機(jī)變量的引入，使得隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件可通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái).

由此可見(jiàn),隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念內(nèi).也可以說(shuō)，隨機(jī)

事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則以動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究之.其關(guān)系類(lèi)似高等數(shù)

學(xué)中常量與變量的關(guān)系.

隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后,對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律

的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究，使人們可利用數(shù)學(xué)

分析的方法對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行廣泛而深入的研究.

隨機(jī)變量因其取值方式不同.通常分為離散型和非離散型兩類(lèi).而非非離散型隨機(jī)變量中

最重要的是連續(xù)型隨機(jī)變量.今后，我們主要討論離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量.

例1在拋擲一枚硬幣進(jìn)行打賭時(shí)，若規(guī)定出現(xiàn)正面時(shí)拋擲者贏1元錢(qián)，出現(xiàn)反面時(shí)輸1元

錢(qián).則其樣本空間為5=(正而，反面}，記贏錢(qián)數(shù)為隨機(jī)變量X,則X作為樣本空間S的實(shí)值

函數(shù)定義為

1,e=正面,

X(e)=4,

e=反面.

例2在將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面”、反面了出現(xiàn)情況的試驗(yàn)中，其樣本空間

S={HHH、HHT,HTH,THH,HTT、THT,TTH,77T};

記每次試驗(yàn)出現(xiàn)正面”的總次數(shù)為隨機(jī)變量X,則X作為樣本空間S上的函數(shù)定義為

eHHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTT

~3222iiio-

易見(jiàn)，使X取值為2({X=2})的樣本點(diǎn)構(gòu)成的子集為A=

故類(lèi)似地，有

隨機(jī)變量的分布函數(shù)

定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，稱(chēng)

F[x)=P(X<x)(-oo<x<+oo)

為X的分布函數(shù).有時(shí)記作X~FCr)或

分布函數(shù)的性質(zhì)

1.單調(diào)非減.若，則；

2.

3.右連續(xù)性.即

課題：第8講

一、教學(xué)目的:

1.使學(xué)生掌握離散型隨機(jī)變量及其概率分布。

2.理解常用離散分布.

二、教學(xué)重點(diǎn)：

1.掌握離散型隨機(jī)變量及其概率分布。

2.理解二項(xiàng)分布，通過(guò)舉例說(shuō)明解決.

三、教學(xué)難點(diǎn)：

1.二項(xiàng)分布的計(jì)算，證明并舉例說(shuō)明解決.

四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：

黑板,〈V概率統(tǒng)計(jì)引論>>、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程”,<<概率論講義

五.教學(xué)方法：講授法為主

六、教學(xué)時(shí)數(shù):3學(xué)時(shí)

七、教學(xué)過(guò)程：

引入：要掌握一個(gè)離散型隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，必須且只需知道X的所有可能取

值以及X取每一個(gè)可能值的概率每個(gè)隨機(jī)變量都有自己的分布。今天介紹幾種常用

分布。（5分鐘）

離散型隨機(jī)變量X（50分鐘）

二項(xiàng)分布（25分鐘）

泊松分布（45分鐘）

其他常用分布（15分鐘）

八、課程小結(jié)（5分鐘）

九、作業(yè)

習(xí)題2.4:101頁(yè)7,8

十、教學(xué)后記：

講義

離散型隨機(jī)變量及其概率分布

定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為凡（，=1,2,…），稱(chēng)

P{X=xJ=p"=12…

為X的概率分布或分布律，也稱(chēng)概率函數(shù).

常用表格形式來(lái)表示X的概率分布：

P.PlPl…Pn

常用離散型隨機(jī)變量的分布

0-1分布

若隨機(jī)變量X的分布律為

P（x=k）=pkQ-p）"k,k=0,1,（0<p<1）,

則稱(chēng)X服從以p為參數(shù)的0-1分布。

0-1分布的分布律也可寫(xiě)成

X10

PP1-0

若某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè).如產(chǎn)品是否合格.試驗(yàn)是否成功.擲硬而是否出現(xiàn)正面

等，它們的樣本空間為，則總能定義一個(gè)服從0-1分布的隨機(jī)變量

V[1,當(dāng)他發(fā)生時(shí)；

[0,當(dāng)代發(fā)生時(shí)。

也就是說(shuō)，它們都可以用(0-1)分布來(lái)描述，只不過(guò)對(duì)不同的問(wèn)題參數(shù)P的值不同而已.

可見(jiàn),0-1分布是經(jīng)常遇到的一種分布。

二項(xiàng)分布

若隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,?一〃且

p(x=k)=C：p&qi,k=0,1,2,…,n

其中，則稱(chēng)X服從以為參數(shù)的二項(xiàng)分布或貝努利分布，

記為X

容易證明P(X=k)=C”4N0,且fP(x=幻=力C：pkqi=(p+qy=1.

A=0?=0

注意到正好是二項(xiàng)式的展開(kāi)式的一般項(xiàng)，因此稱(chēng)該隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布。

特別，當(dāng)時(shí)二項(xiàng)分布為。這就是0-1分布，故當(dāng)X服從0-1分布時(shí)，常記為。

易見(jiàn)在n重貝努力試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)X是服從而二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量。又由

P(X=k)_C：p*尸_〃!/L(〃-女)!?〃、">_(，Lk+l)p_(n+l)p-kp

P(X=k-l)~-〃!/(一一1)1(〃一女+1)!?尸J/"""^"k^~

(/i+l)〃一女(1-g)%+(〃+1)〃一&[(n+\)p-k

kqkpkq

知當(dāng)時(shí)單調(diào)增加，時(shí)單調(diào)下降，因此可知當(dāng)k在附近時(shí)達(dá)最大值，也就是說(shuō)，在

n重貝努力試驗(yàn)中，事件A發(fā)生[(n+l)pl次的概率最大，通常稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中最可能

成功的次數(shù).

泊松分布

若隨機(jī)變量X所有可能取值為0,1,2，?:而

尸(*=幻=刀1,左=0,1,2，…，

k\

其中是常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為的泊松分布，記為。

易知，

力(X=?)f%J1八].

*=0A=0尤4=0K-

具有泊松分布的隨機(jī)變量在實(shí)際應(yīng)用中是很多的。例如，在每個(gè)時(shí)段內(nèi)電話交換臺(tái)收到的

電話的呼喚次數(shù)、某商店在一天內(nèi)的顧客數(shù)、在某時(shí)段內(nèi)的某放射性物質(zhì)發(fā)出的經(jīng)過(guò)計(jì)數(shù)器的

(粒子數(shù)等。泊松分布也是一種常見(jiàn)的重要分布。

離散型隨機(jī)變量及其概率分布

例1某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈的概率是09求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布.

例2設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為：

P[X=K}=a—,k=0,1,2,…，2>0

A!

試確定常數(shù)

二項(xiàng)分布

例3已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求在所取的3

個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率.

例4某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02,獨(dú)立射擊400次，試求至少擊中兩次的

概率.

例5設(shè)有80臺(tái)同類(lèi)型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺(tái)設(shè)

備的故障能由一個(gè)人處理.考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái);

其二是由3人共同維護(hù)80臺(tái).試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)牛.故隙時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小.

幾何分布

例6某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是〃，求所需射

擊發(fā)數(shù)X的概率分布.

泊松分布

例7某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)之二°-8的泊松分布，求該城市一天內(nèi)發(fā)

牛.3次或3次以上火災(zāi)的概率.

二項(xiàng)分布的泊松近似

例8某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品300件.根據(jù)歷史生產(chǎn)記錄知廢品率為0.01.問(wèn)現(xiàn)在這300件

產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)廢品數(shù)大于5的概率是多少？

課題：第8講

一、教學(xué)目的：

1.使學(xué)生掌握連續(xù)型隨機(jī)變最及其概率分布.

2.理解常用續(xù)型分布.

二、教學(xué)重點(diǎn)：

1.掌握正態(tài)分布。

2.理解指數(shù)分布，均勻分飾。

舉例說(shuō)明解決.

三、教學(xué)難點(diǎn)：

1.正態(tài)分布，證明并舉例說(shuō)明解決.

四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：

黑板,《概率統(tǒng)計(jì)引論》、＜＜概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》,＜＜概率論講義

五、教學(xué)方法：講授法為主

六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)

七、教學(xué)過(guò)程：

引入：（5分鐘）

許多隨機(jī)變量的取值是不能一個(gè)一個(gè)地列舉出來(lái)的且它們?nèi)∧硞€(gè)值的概率可能是零。例如,

在刎試燈泡的壽命時(shí)，可認(rèn)為壽命X的取值充滿(mǎn)了區(qū)間，事件表示燈泡的壽命正好是，

在實(shí)際中，測(cè)試數(shù)百萬(wàn)只燈泡的壽命，可能也不會(huì)有一只的壽命正好是xOo也就是說(shuō)，事件

發(fā)生的頻率在零附近波動(dòng)，自然可認(rèn)為。

由于有許多隨機(jī)變量的概率分布情況不能以其取某個(gè)值的概率來(lái)表示，故我們轉(zhuǎn)而討論

隨機(jī)變量X的取值落在某一個(gè)區(qū)間里的概率，即取定，討論。因?yàn)椋詫?duì)任何一個(gè)實(shí)

數(shù)x,只需知道，就可知X的取值落在任一區(qū)間里的概率了。為此，我們用來(lái)討論隨機(jī)變量

X的概率分布情況。

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度（25分鐘）

正態(tài)分布（45分鐘）

指數(shù)分布，均勻分布（40分鐘）

八、課程小結(jié)（5分鐘）

九、作業(yè)（5分鐘）

習(xí)題2.5:115頁(yè)18,19

十、教學(xué)后記：

講義

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

定義如果對(duì)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)〃（處,存在非負(fù)可積函數(shù)/（幻,使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)工

有

r(x)=p{x<x}=￡/m

則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱(chēng)八幻為X的概率密度函數(shù)湎稱(chēng)為概率密度或密度函數(shù).

關(guān)于概率密度的說(shuō)明

1.對(duì)一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，若已知其密度函數(shù)，則根據(jù)定義，可求得其分布函數(shù)，同時(shí),

還可求得的取值落在任意區(qū)間上的概率：

P[a<X<b}=F（b）~F（a）=jf（x）dx

2.連續(xù)型隨機(jī)變最取任一指定值的概率為（）.

3.若在點(diǎn)處連續(xù)，則

Ff(x)=f(x)

(1)

常用連續(xù)型分布

均勻分布

定義若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

1

a<x<b

f{x}=\b-a

0.其它

則稱(chēng)X在區(qū)間（〃力）上服從均勻分布，記為X~U（a,b）.

指數(shù)分布

定義若隨機(jī)變量X的概率密度為

&弋x>0,A>()

/(A)=

0,其它.

則稱(chēng)X服從參數(shù)為4的指數(shù)分布.簡(jiǎn)記為X~?%）?

正態(tài)分布

定義若隨機(jī)變量X的概率密度為

](可

f(x)=e2<r：,-oo<x<oo.

其中和都是常數(shù)，則稱(chēng)服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.記為

注：正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型分布，在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，故又常

稱(chēng)為高斯分布.

一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)隨機(jī)變量如果受到許多隨機(jī)因素的影響，而其中每一個(gè)因素都不起主導(dǎo)作

用（作用微?。瑒t它服從正態(tài)分布.這是正態(tài)分布在實(shí)踐中得以廣泛應(yīng)用的原因.例如，產(chǎn)品的

質(zhì)量指標(biāo)，元件的尺寸，某地區(qū)成年男子的身高、體重，測(cè)量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差,

信號(hào)噪聲、農(nóng)作物的產(chǎn)量等等，都服從或近似服從正態(tài)分布.

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

正態(tài)分布當(dāng)〃二°，。=1時(shí)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，此時(shí)，其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用以幻和

①⑴表示：

（、14

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何?個(gè)?般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)

正態(tài)分布.

VA7Z2、y=^^~N（0J）.

定理設(shè)X~N（4，b）,則o

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用：

（1）表中給出了工＞°時(shí)①⑴的數(shù)值，當(dāng)天＜°時(shí)，利用正杰分布的對(duì)稱(chēng)性，易見(jiàn)有

中（一4）=1一中（x）;

(2)若X?MO」),則

P{〃<X工與=①S)—①(4)；

V2、y=^^~N(0,l),

(3)若'~"(〃,°),則b故x的分布函數(shù)

X-U

尸(x)=P{X<x]=P\——二4

(7

P[a<X<b}=pV^-<Y<

例題選講:

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

例I設(shè)隨機(jī)變量X的密度謔數(shù)為

—V1-x2,-1<x<1

f(x)=J兀

0,其它

求其分布函數(shù)FM

例2（講義例1）設(shè)隨機(jī)變景X具有概率密度

kx,0＜x＜3,

/（x）=?2--,3＜x＜4,

2

0,其它.

⑴確定常數(shù)佇（2）求鄧勺分布函數(shù)F（x）;（3）求尸{I＜X＜7/2}.

課題：第10講

一、教學(xué)目的：

1.熟悉指數(shù)分布，均勻分布。

2.掌握離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布。

二、教學(xué)重點(diǎn)：

1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布。

舉例說(shuō)明解決。

三、教學(xué)難點(diǎn)：

1.指數(shù)分布的計(jì)算。

四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)各：

黑板,＜＜概率統(tǒng)計(jì)引論＞＞、＜＜概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程*v〈概率論講義＞＞。

五、教學(xué)方法：講授法為主

六、教學(xué)時(shí)數(shù):3學(xué)時(shí)

七、教學(xué)過(guò)程：

引入：（5分鐘）

指數(shù)分布（50分鐘）

均勻分布（40分鐘）

離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布。（20分鐘）

舉例（20分鐘）

八、課程小結(jié)（5分鐘）

九、作業(yè)（5分鐘）

習(xí)題2.6:123頁(yè)2,3

十、教學(xué)后記：

講義

一、指數(shù)分布

若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

,、x＞（）;

則稱(chēng)服從指數(shù)分布，記為，其中參數(shù)。

指數(shù)分布常被用作各種“壽命”分布，如電子元器件的壽命、動(dòng)物的壽命、電

話的通話時(shí)間等都可假定服從指數(shù)分布。

二、均勻分布

若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

1,

-------,a<x<b\

p(x)=<b-a

0,其它.

則稱(chēng)X服從在區(qū)間(a,〃)上的均勻分布，記為X~口(出加。

2.6隨機(jī)變量函數(shù)的分布

一、隨機(jī)變量的函數(shù)

定義如果存在一個(gè)函數(shù)g(x),使得隨機(jī)變量x,y滿(mǎn)足：

Y=g(X)

則稱(chēng)隨機(jī)變量y是隨機(jī)變量x的函數(shù).