專題2.1 有理數(shù)的加法【八大題型】（舉一反三）（人教版2024）（原卷版）

專題2.1有理數(shù)的加法【八大題型】

【人教版2024】

【題型1有理數(shù)的加法概念理解】........................................................................................................................1

【題型2有理數(shù)的加法運算】................................................................................................................................2

【題型3有理數(shù)的加法運算律】............................................................................................................................3

【題型4巧用拆項法進行有理數(shù)的加法運算】....................................................................................................3

【題型5有理數(shù)加法中的規(guī)律問題】....................................................................................................................4

【題型6有理數(shù)加法的實際應(yīng)用】........................................................................................................................5

【題型7利用有理數(shù)的加法解決幻方問題】........................................................................................................5

【題型8有理數(shù)加法中的新定義問題】................................................................................................................7

知識點1：有理數(shù)的加法

1.定義：把兩個（或多個）有理數(shù)相加的過程叫有理數(shù)的加法。（兩個有理數(shù)相加，和是一個有理數(shù)）。

2.法則：（1）同號兩數(shù)相加，和取相同的符號，且和的絕對值等于加數(shù)的絕對值的和；（2）絕對值不相等

的異號兩數(shù)相加，和取絕對值較大的加數(shù)的符號，且和的絕對值等于加數(shù)中絕對值較大者與較小者的差；

互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．

注意：1）有理數(shù)的運算分兩步走，第一步，確定符號，第二步，確定絕對值；2）計算的時候要看清符號，

同時要熟練掌握計算法則.

【題型1有理數(shù)的加法概念理解】

【例1】（23-24七年級·河南周口·階段練習(xí)）下列說法錯誤的是（）

A．兩數(shù)之和可能小于其中的一個加數(shù)B．兩數(shù)相加就是它們的絕對值相加

C．兩個負數(shù)相加，和取負號，絕對值相加D．兩個數(shù)若不是相反數(shù)，則相加不能得零

【變式1-1】（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是（）

A．兩數(shù)之和必大于任何一個加數(shù)

B．同號兩數(shù)相加，符號不變，并把絕對值相加

C．兩負數(shù)相加和為負數(shù)，并把絕對值相減

D．異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并把絕對值相加

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【變式1-2】（23-24七年級·山東德州·階段練習(xí)）若有理數(shù)?+?+?<0，則（）

A．三個數(shù)中至少有兩個負數(shù)B．三個數(shù)中有且只有一個負數(shù)

C．三個數(shù)中至少有一個負數(shù)D．三個數(shù)中有兩個是正數(shù)或兩個是負數(shù)

【變式1-3】（23-24七年級·湖北宜昌·期中）如果?+?+?=0，且|?|>|?|>|?|．則下列說法中可能成立

的是（）

A．?、?為正數(shù)，?為負數(shù)B．?、?為正數(shù)，?為負數(shù)C．?、?為正數(shù)，?為負數(shù)D．?、

?為正數(shù)，?為0

【題型2有理數(shù)的加法運算】

【例2】（23-24七年級·河北廊坊·階段練習(xí)）要使等式3○(+5)=?2成立，“○”中應(yīng)填的運算符號為（）

A．+B．?C．×D．÷

【變式2-1】（23-24七年級·吉林·期末）比?5大8的數(shù)是．

【變式2-2】（23-24七年級·山西臨汾·階段練習(xí)）下面是小亮同學(xué)做的4道題，①(?100)+(?8)=?2；

②0+(?20)=?20；③+(?2023)+2023=?4046；④?2023+(+23)=?2000；其中答對的有（）

A．1道B．2道C．3道D．4道

【變式2-3】（23-24七年級·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）中國人最先使用負數(shù)，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在“正負術(shù)”

的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）正放表示正數(shù)，斜放表示負數(shù)，如圖，根據(jù)劉徽的這種

表示法，圖1可列式計算為(+1)+(?1)=0，由此可推算圖2中計算所得的結(jié)果為（）

A．+1B．+7C．?1D．?7

知識點2：運算律

1）加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變；即a+b＝b+a。

2）加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變；即(a+b)+c＝a+(b+c)。

注意：1）利用加法交換律、結(jié)合律，可以使運算簡化，認識運算律對于理解運算有很重要的意義。

2）注意兩種運算律的正用和反用，以及混合運用。

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【題型3有理數(shù)的加法運算律】

【例3】（23-24七年級·廣東中山·期中）下列變形，運用加法運算律正確的是（）

A．3+(?2)=2+3B．4+(?6)+3=(?6)+4+3

C．[5+(?2)]+4=[5+(?4)]+2D．16+(?1)+(+56)=(16+56)+(+1)

【變式3-1】（23-24七年級·江西南昌·期中）計算2?4+6?8+10=(2+6+10)+(?4?8)時，運用了加

法（）

A．交換律B．結(jié)合律C．分配律D．交換律與結(jié)合律

【變式3-2】（23-24七年級·全國·課堂例題）計算：1+2+3+?+2023+(?1)+(?2)+(?3)+?+

(?2024)．

【變式3-3】（23-24七年級·全國·課堂例題）計算(?5.13)?(?4.62)+(?8.47)?(?2.38)時，先把減法轉(zhuǎn)化

為加法可得，觀察算式我們可以利用“湊整”法，利用加法的運算律將算式轉(zhuǎn)化為=

+=．

【題型4巧用拆項法進行有理數(shù)的加法運算】

【例4】（23-24七年級·河南鄭州·期中）閱讀下面文字：

31

對于?33+?11+2+2可以如下計算：

10252

原式=?3+?3+?1+?1+2+3+2+1

10252

=[(?3)+(?1)+2+2]+______

=0+______

=______．

上面這種方法叫拆項法．

(1)請補全以上計算過程；

31

(2)類比上面的方法計算：?20242+2023+?20225+2021．

3467

【變式4-1】計算：

5221

?2019+?2018+4036+?1

6332

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31

【變式4-2】（23-24七年級·四川成都·階段練習(xí)）(1)計算：?172+16+?151?2；

3432

2

(2)計算?20005+?19992+4000+?11．

6332

【變式4-3】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）計算：?20227+?20215+?11+4044．

2486

【題型5有理數(shù)加法中的規(guī)律問題】

【例5】（23-24七年級·江西上饒·期中）把所有正整數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：

（1），(2，3，4)，(5，6，7，8，9)，(10，11，12，13，14，15，16)，…，現(xiàn)用等式AM=(i，j)表

示正整數(shù)M是第i組第j個數(shù)(從左往右數(shù))，如A8=(3，4)，則A2020=()

A．(44，81)B．(44，82)C．(45，83)D．(45，84)

【變式5-1】（23-24七年級·全國·專題練習(xí)）小明同學(xué)在上樓梯時發(fā)現(xiàn)，若只有一個臺階時，有一種走法；

若有兩個臺階時，可以一階一階地上，或者一步上兩個臺階，共有2種走法；如果他一步只能上一個或者

兩個臺階，根據(jù)上述規(guī)律，有三個臺階時，他有3種走法，那么有四個臺階時，共有走法（）

A．3種B．4種C．5種D．6種

【變式5-2】（23-24七年級·山東日照·階段練習(xí)）一跳蚤在一直線上從O點開始，第1次向右跳1個單位，

緊接著第2次向左跳2個單位，第3次向右跳3個單位，第4次向左跳4個單位…，依此規(guī)律跳下去，當(dāng)

它跳第2000次落下時，落點處位于O點的（）

A．右側(cè)500個單位B．左側(cè)500個單位

C．右側(cè)1000個單位D．左側(cè)1000個單位

【變式5-3】（23-24七年級·浙江臺州·階段練習(xí)）觀察下面的幾個算式：

1＋2＋1＝4＝2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3；

1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5．

根據(jù)上面幾道題的規(guī)律，計算下面的題：

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1的值為

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【題型6有理數(shù)加法的實際應(yīng)用】

【例6】（23-24七年級·北京·期中）德勝中學(xué)在勞動節(jié)中組織學(xué)生進行農(nóng)作物種植實踐活動．已知某種農(nóng)

作物種植完成共需A、B、C、D、E、F、G七個步驟，種植要求如下：

①步驟C、D須在步驟A完成后進行，步驟E須在步驟B、D都完成后進行，步驟F須在步驟C、D都完

成后進行；

②一個步驟只能由一名學(xué)生完成，此步驟完成后該學(xué)生才能進行其他步驟；

③各個步驟所需時間如下表所示：

步驟ABCDEFG

所需時間t分鐘10108108114

在不考慮其他因素的前提下，若由一名學(xué)生單獨完成此種農(nóng)作物種植，則需要分鐘；若由兩名學(xué)生

合作完成此種農(nóng)作物種植，則最少需要分鐘．

【變式6-1】（23-24七年級·貴州貴陽·期末）張燁同學(xué)每天從家到學(xué)校要走1.5km，他的家與學(xué)校、超市在

一條東西走向的大街上，且張燁家在學(xué)校和超市的正中間．若把張燁家、學(xué)校、超市分別看成一個點，大

街看成一條直線．一天早上，張燁從家出發(fā)，先去超市買筆記本，再到學(xué)校，他一共走的路程為（）

A．1.5kmB．3kmC．4.5kmD．6km

【變式6-2】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）一個實驗室里有10個柜子．分別用10把不同的鎖鎖著，但

10把鑰匙很相像，管理員又忘了鑰匙編號（1把鑰匙只能開1把鎖，不能混用）．從最壞的情況考慮，至

多要試開幾次才能把10把鎖都打開？

【變式6-3】（23-24七年級·全國·競賽）希希、望望、貝貝三個人在火車上斗地主，地主贏一局積2分，輸

一局積負2分，農(nóng)民贏一局積1分，輸一局積負1分．10局之后希希、望望、貝貝三人得分的總和

為．（提示：地主贏則兩個農(nóng)民都輸；農(nóng)民贏則兩個農(nóng)民都贏，地主輸．）

【題型7利用有理數(shù)的加法解決幻方問題】

【例7】（23-24七年級·遼寧阜新·期末）把夏禹時代的“洛書”用數(shù)學(xué)符號翻譯出來就是一個三階幻方，它的

每行、每列、每條對角線上三個數(shù)之和均相等，則幻方中???的值是．

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【變式7-1】（23-24七年級·山東青島·期中）如圖是根據(jù)幻方改編的“幻圓”游戲，將?3，2，?1，0，1，

?2，3，?4分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫行、豎列以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等．已知圖中?，?，

?，?分別表示一個數(shù)，則?+?的值是（）

A．?4B．1C．?2或3D．?2

【變式7-2】（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）【閱讀材料】“九宮圖”源于我國古代夏禹時期的“洛書”（圖1

所示），是世界上最早的矩陣，又稱“幻方”，用今天的數(shù)學(xué)符號翻譯出來，“洛書”就是一個三階“幻方”（圖

2所示）．

【規(guī)律總結(jié)】觀察圖1、圖2，根據(jù)“九宮圖”中各數(shù)字之間的關(guān)系，我們可以總結(jié)出“幻方”需要滿足的條件

是；

若圖3是一個“幻方”，則?=．

【變式7-3】（23-24七年級·江蘇無錫·期中）中國古代數(shù)學(xué)書《數(shù)術(shù)拾遺》是最早記載有關(guān)幻方的文字．如

圖是一個簡單的幻方模型，將?1，?2，?3，1，2，3，4，5分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使得每個三角形的三

個頂點上的數(shù)之和都與中間正方形四個頂點上的數(shù)之和相等，若已經(jīng)把?1、?3這兩個數(shù)填入了圓圈，則

??+??的值為．

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【題型8有理數(shù)加法中的新定義問題】

【例8】（23-24七年級·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）定義一種新運算“△”滿足：8△3=8+9+10=27，

7△4=7+8+9+10=34，6△5=6+7+8+9+10=40，求1△10．

【變式8-1】（23-24七年級·山東青島·期中）定義一種運算，設(shè)[?]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[2.25]