湖北省襄樊市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

湖北省襄樊市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．以下兩個(gè)圖表是2019年初的4個(gè)月我國四大城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（上一年同月）變化圖表，則以下說法錯(cuò)誤的是（）（注：圖表一每個(gè)城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份；圖表二每個(gè)月份的條形圖從左到右四個(gè)城市依次是北京、天津、上海、重慶）A．3月份四個(gè)城市之間的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)與其它月份相比增長幅度較為平均B．4月份僅有三個(gè)城市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)超過102C．四個(gè)月的數(shù)據(jù)顯示北京市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)增長幅度波動(dòng)較小D．僅有天津市從年初開始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長呈上升趨勢2．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B．C． D．3．函數(shù)在的圖像大致為A． B． C． D．4．在中，分別為所對的邊，若函數(shù)有極值點(diǎn)，則的范圍是（）A． B．C． D．5．《九章算術(shù)》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，在塹堵中，，，當(dāng)陽馬體積的最大值為時(shí)，塹堵的外接球的體積為（）A． B． C． D．6．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為()A．3 B．2 C．1 D．07．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值是A．1或 B．或 C．1或 D．或8．如果實(shí)數(shù)滿足條件，那么的最大值為（）A． B． C． D．9．已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，為該拋物線上一點(diǎn)，以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，，則拋物線方程為（）A． B． C． D．10．若實(shí)數(shù)x，y滿足條件，目標(biāo)函數(shù)，則z的最大值為()A． B．1 C．2 D．011．對于任意，函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，函數(shù).若，則大小關(guān)系是（）A． B． C． D．12．若復(fù)數(shù)滿足，則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個(gè)長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個(gè)圓柱形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則容器體積的最小值為_________.14．已知實(shí)數(shù)，且由的最大值是_________15．的展開式中，x5的系數(shù)是_________．（用數(shù)字填寫答案）16．已知是拋物線上一點(diǎn)，是圓關(guān)于直線對稱的曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，平面，，，.（Ｉ）證明：；（Ⅱ）若是中點(diǎn)，與平面所成的角的正弦值為，求的長.18．（12分）如圖，三棱柱的所有棱長均相等，在底面上的投影在棱上，且∥平面（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的余弦值.19．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．（1）若不等式f（x）﹣|x|≥4x的解集為{x|x≤1}，求實(shí)數(shù)a的值；（2）證明：f（x）．20．（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅(jiān)持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān)，質(zhì)量把關(guān)程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級；（ii）若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為B級，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級；（iii）若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為D級.已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨(dú)立.（1）求一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率；（2）若一件手工藝品質(zhì)量為A，B，C級均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為D級不能外銷，利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.21．（12分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為和．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若的極小值為，求在區(qū)間上的最大值．22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，為的中點(diǎn)，是上的點(diǎn).（1）若平面，證明：平面.（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)圖表，可得結(jié)果.【詳解】A正確，從圖表二可知，3月份四個(gè)城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大B正確，從圖表二可知，4月份只有北京市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)低于102C正確，從圖表一中可知，只有北京市4個(gè)月的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大D錯(cuò)誤，從圖表一可知上海市也是從年初開始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長呈上升趨勢故選：D【點(diǎn)睛】本題考查圖表的認(rèn)識，審清題意，細(xì)心觀察，屬基礎(chǔ)題.2、B【解析】

由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體為邊長為正方體挖去一個(gè)以為球心以為半徑球體的，如圖，故其表面積為，故選：B.【點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．3、B【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結(jié)果．【詳解】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，排除選項(xiàng)C．又排除選項(xiàng)D；，排除選項(xiàng)A，故選B．【點(diǎn)睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計(jì)算特殊函數(shù)值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎(chǔ)知識、基本計(jì)算能力的考查．4、D【解析】試題分析：由已知可得有兩個(gè)不等實(shí)根.考點(diǎn)：1、余弦定理；2、函數(shù)的極值.【方法點(diǎn)晴】本題考查余弦定理，函數(shù)的極值，涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等實(shí)根，從而可得.5、B【解析】

利用均值不等式可得,即可求得,進(jìn)而求得外接球的半徑,即可求解.【詳解】由題意易得平面,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,又陽馬體積的最大值為,所以,所以塹堵的外接球的半徑,所以外接球的體積,故選:B【點(diǎn)睛】本題以中國傳統(tǒng)文化為背景,考查四棱錐的體積、直三棱柱的外接球的體積、基本不等式的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).6、C【解析】

集合表示半圓上的點(diǎn)，集合表示直線上的點(diǎn)，聯(lián)立方程組求得方程組解的個(gè)數(shù)，即為交集中元素的個(gè)數(shù).【詳解】由題可知：集合表示半圓上的點(diǎn)，集合表示直線上的點(diǎn)，聯(lián)立與，可得，整理得，即，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；故方程組有唯一的解.故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集的求解，涉及圓和直線的位置關(guān)系的判斷，屬基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得后可得結(jié)論．【詳解】由題意得點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離．①當(dāng)時(shí)，，∴，∴．②當(dāng)時(shí)，，∴，∴．綜上可得的值是或．故選B．【點(diǎn)睛】利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)值時(shí)需確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r，然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可．8、B【解析】

解：當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，最大，故選B9、C【解析】

根據(jù)拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)軸、列方程，解方程求得的值.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，由于在拋物線上，所以，由于以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義可知，、軸，且.由于，所以直線的傾斜角為，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以拋物線的方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線的斜率，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.10、C【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最大值.【詳解】若實(shí)數(shù)x，y滿足條件，目標(biāo)函數(shù)如圖：當(dāng)時(shí)函數(shù)取最大值為故答案選C【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)的最值:當(dāng)時(shí)，直線過可行域且在軸上截距最大時(shí)，值最大，在軸截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)時(shí)，直線過可行域且在軸上截距最大時(shí)，值最小，在軸上截距最小時(shí)，值最大.11、A【解析】

由已知可得的單調(diào)性，再由可得對稱性，可求出在單調(diào)性，即可求出結(jié)論.【詳解】對于任意，函數(shù)滿足，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)增函數(shù)，所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因?yàn)?，所以?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小，解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對稱性的代數(shù)形式，屬于中檔題..12、C【解析】

化簡得到，，再計(jì)算復(fù)數(shù)模得到答案.【詳解】，故，故，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

一個(gè)長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個(gè)圓柱形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),則圓柱形容器的底面直徑及高的最小值均等于長方體的體對角線的長,長方體的體對角線的長為,所以容器體積的最小值為.14、【解析】

將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，然后根據(jù)最值的條件求出最大值【詳解】由化簡得，又實(shí)數(shù)，圖形為圓，如圖:，可得，則由幾何意義得，則，為求最大值則當(dāng)過點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)取最小值，可得所以的最大值是【點(diǎn)睛】本題考查了二元最值問題，將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，得到圓的方程及斜率問題，對要求的二元二次表達(dá)式進(jìn)行化簡，然后求出最值問題，本題有一定難度。15、-189【解析】由二項(xiàng)式定理得，令r=5得x5的系數(shù)是．16、【解析】

由題意求出圓的對稱圓的圓心坐標(biāo)，求出對稱圓的圓坐標(biāo)到拋物線上的點(diǎn)的距離的最小值，減去半徑即可得到的最小值.【詳解】假設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則有，解方程組可得，所以曲線的方程為，圓心為，設(shè)，則，又，所以，，即，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)動(dòng)點(diǎn)距離的最小值問題，涉及到的知識點(diǎn)有點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值為到圓心的距離減半徑，屬于中檔題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，由，，得三點(diǎn)共線，且，又，再利用線面垂直的判定定理證明.（Ⅱ）設(shè)，則，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加求得，再過作，則平面，即點(diǎn)到平面的距離，由是中點(diǎn)，得到到平面的距離，然后根據(jù)與平面所成的角的正弦值為求解.【詳解】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，由，，得三點(diǎn)共線，且，又，，所以平面，所以.（Ⅱ）設(shè)，，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加得：，所以，，過作，則平面，即點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以為到平面的距離，因?yàn)榕c平面所成的角的正弦值為，即，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，線面角的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）連接交于點(diǎn)，連接，由于平面，得出，根據(jù)線線位置關(guān)系得出，利用線面垂直的判定和性質(zhì)得出，結(jié)合條件以及面面垂直的判定，即可證出平面平面；（Ⅱ）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法分別求出和平面的法向量，利用空間向量線面角公式，即可求出直線與平面所成角的余弦值.【詳解】解：（Ⅰ）證明：連接交于點(diǎn)，連接，則平面平面，平面，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面，，平面，平面，平面平面（Ⅱ）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取得，設(shè)直線與平面所成角為，直線與平面所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定以及利用空間向量法求線面角的余弦值，考查空間想象能力和推理能力.19、（1）a＝1；（2）見解析【解析】

（1）由題意可得|x﹣a|≥4x，分類討論去掉絕對值，分別求得x的范圍即可求出a的值．（2）由條件利用絕對值三角不等式，基本不等式證得f（x）≥2．．【詳解】（1）由f（x）﹣|x|≥4x，可得|x﹣a|≥4x，（a＞0），當(dāng)x≥a時(shí)，x﹣a≥4x，解得x，這與x≥a＞0矛盾，故不成立，當(dāng)x＜a時(shí)，a﹣x≥4x，解得x，又不等式的解集是{x|x≤1}，故1，解得a＝1．（2）證明：f（x）＝|x﹣a|+|x||x﹣a﹣（x）|＝|a|，∵a＞0，∴|a|＝a22，當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)取等號，故f（x）．【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值三角不等式，基本不等式，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）；（2）①可能是2件；②詳見解析【解析】

（1）由一件手工藝品質(zhì)量為B級的情形，并結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式，列式計(jì)算即可；（2）①先求得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為，設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，可知，分別令、、，可求出使得最大的整數(shù)，進(jìn)而可求出10件手工藝品中不能外銷的手工藝品的最有可能件數(shù)；②分別求出一件手工藝品質(zhì)量為A、B、C、D級的概率，進(jìn)而可列出X的分布列，求出期望即可.【詳解】（1）一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為.（2）①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為，設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，則，則，其中，.由得，整數(shù)不存在，由得，所以當(dāng)時(shí)，，即，由得，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，最大，即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由題意可知，一件手工藝品質(zhì)量為A級的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為C級的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為，所以X的分布列為：X900600300100P則期望為.【點(diǎn)睛】本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.21、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和；（2）最大值是．【解析】

（1）求得，由題意可知和是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的符號變化可得出的符號變化，進(jìn)而可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）由（1）中的結(jié)論知，函數(shù)的極小值為，進(jìn)而得出，解出、、的值，然后利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大