《概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)習(xí)指導(dǎo)及習(xí)題解析》課件第1章

第1章隨機事件與概率第一節(jié)知識梳理第二節(jié)重點解析

第三節(jié)典型例題

第四節(jié)習(xí)題全解第一節(jié)知識梳理第二節(jié)重點解析

1.隨機事件

1)隨機試驗

定義：在一定條件下，對某隨機現(xiàn)象的一次觀察或測量稱為隨機試驗（簡稱試驗），記為E。隨機試驗具有以下三條性質(zhì)：

（1）可重復(fù)性：試驗可以在相同的條件下重復(fù)進行。

（2）可觀察性：每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果。

（3）不確定性：進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。

2)樣本空間

定義：設(shè)E是一試驗，其所有可能出現(xiàn)的結(jié)果組成的集合稱為試驗E的樣本空間，記為S。樣本空間的元素，也就是隨機試驗的直接結(jié)果，稱為樣本點。

3)隨機事件

定義：隨機試驗的若干個結(jié)果組成的集合稱為隨機事件（簡稱事件），常用大寫字母A、B、C等表示。只含一個試驗結(jié)果的事件稱為基本事件。

4)事件間的關(guān)系與運算

（1）事件的包含：如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件A包含于事件B，記做A

B。

（2）事件的相等:如果事件A包含于事件B，同時事件B也包含于事件A,即A

B且B

A，則稱事件A與事件B相等，記做A=B。

（3）事件的和:“事件A與事件B至少有一個發(fā)生”的事件稱為事件A與事件B的和，記做A∪B，當(dāng)A與B不同時發(fā)生時，也可記做A+B。（4）事件的積：“事件A與事件B同時發(fā)生”的事件稱為事件A與事件B的積，記做A∩B或AB。

（5）事件的差：“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”的事件稱為事件A與事件B的差，記做A－B。

（6）互不相容事件：若事件A與事件B不可能同時發(fā)生，即AB=，則稱事件A與事件B互不相容,也稱為互斥。

（7）對立事件:“事件A不發(fā)生”的事件稱為事件A的對立事件，記做A。事件A與事件B互為對立事件當(dāng)且僅當(dāng)AB=，A+B=S。

（8）事件運算滿足的定律:設(shè)A、B、C為樣本空間S中的事件，則有

2.概率的統(tǒng)計定義

1)頻率

定義：設(shè)隨機事件A在n次重復(fù)試驗中發(fā)生了m次，則稱比值為事件A在n次重復(fù)試驗中發(fā)生的頻率。

2)概率的統(tǒng)計定義

定義：設(shè)有隨機試驗E，若當(dāng)試驗的次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某數(shù)p附近擺動，而且隨著試驗次數(shù)的增加，擺動幅度越來越小，則稱數(shù)p為事件A的概率，記為P(A)=p。概率的這種定義，稱為概率的統(tǒng)計定義。

3)概率的公理化定義

定義：設(shè)隨機試驗E的樣本空間為S,若對于E的每一個事件A都有一個實數(shù)P(A)與之對應(yīng)，且P(A)滿足下列三個條件：

(1)非負(fù)性：P(A)≥0;

(2)規(guī)范性：P(S)=1;

(3)可列可加性：對于兩兩互不相容的事件A1,A2,…,A3,…,有

則稱P(A)為事件A的概率。

概率的這種定義稱為概率的公理化定義。

4)概率的性質(zhì)

3.古典概型

1)古典概型（等可能概型）

定義：在古典型試驗中，隨機事件A發(fā)生的概率定義為

。其中，n為S中包含的基本事件總數(shù)，m為事件A中包含的基本事件數(shù)。由關(guān)系式計算事件概率的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型。

2)幾何概型

定義：如果一個隨機試驗E具有以下兩個特點：

（1）樣本空間S是一個大小可以計量的幾何區(qū)域（如線段、平面、立體）；

（2）向區(qū)域S內(nèi)任意投一點，該點落在區(qū)域內(nèi)任意點處都是“等可能的”,那么，隨機點落在區(qū)域A的概率為

由上式計算事件概率的數(shù)學(xué)模型稱為幾何概型。

4.條件概率

1)條件概率

定義：設(shè)A與B是兩個隨機事件，其中P(B)>0，規(guī)定

為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率。

2)乘法定理

定理：設(shè)P(A)>0，P(B)>0，則有

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)

3)全概率公式

定理：設(shè)S為隨機試驗E的樣本空間，B1，B2，…，Bn為一組事件，且滿足下列條件：

（1）B1，B2，…，Bn兩兩互斥，且；

（2）P(Bi)＞0(i=1，2，…，n),則對S中的任意一個事件

A都有

4)貝葉斯公式

定理：設(shè)S為隨機試驗E的樣本空間，B1，B2，…，Bn

為樣本空間S的一個劃分，且P(A)＞0，P(Bi)＞0(i=1，2，…，n)，則有定義：設(shè)A、

B是隨機試驗E的兩個事件，若滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立。

定理：若事件A、B相互獨立，且P(B)＞0，則P(A|B)=P(A)。第三節(jié)典型例題

【例1.1】一個工人生產(chǎn)了3個零件，以事件Ai來表示他生產(chǎn)的i個零件是合格品(i=1，2，3)，試用Ai(i=1，2，3)表示下列事件：

(1)只有第一個零件是合格品(B1)；

(2)三個零件中只有一個合格品(B2)；

(3)第一個是合格品，后兩個零件中至少有一個是次品(B3)；(4)三個零件中最多只有兩個合格品(B4)；

(5)三個零件都是次品(B5)；

(6)三個零件中最多有一個次品(B6)。解（1）B1等價于“第一個零件是合格品，同時第二、三個都是次品”，故有

（2）B2等價于“第一個是合格品而第二、三個是次品”或“第二個是合格品而第一、三個是次品”或“第三個是合格品而第一、二個是次品”,故有（3）

（4）方法一:B4的逆事件是“三個零件都是合格品”,

故有

方法二：與B4等價的事件是“三個零件中至少有一個次品”，故有（5）也可以利用事件“三個零件中至少有一個合格品”的逆事件與B5等價，得出

（6）B6等價于“三個事件中無次品”或“三個零件中只有一個次品”，故有

另外，也可以利用B6與事件“三個零件中至少有兩個合格品”等價，得出

【例1.2】設(shè)隨機事件A、

B、C滿足C

AB，

Ｃ

AB,

證明AC=AB∪CB。

證明由于

故

從而故

【例1.3】假設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)在射程之內(nèi)的概率為0.7，這時射擊命中目標(biāo)的概率為0.6，試求兩次獨立射擊至少有一次命中目標(biāo)的概率。

解記A={目標(biāo)進入射程}，Bi={第i次射擊命中目標(biāo)}(i=1，2),故所求概率為事件B=B1∪B2的概率。由于目標(biāo)不在射程之內(nèi)是不可能命中目標(biāo)的，因此可利用全概率公式來求解。由題意知P(A)=0.7，P(Bi|A)=0.6

(i=1，2),由于

P(AB)=0(A表示目標(biāo)不在射程之內(nèi))，因此由全概率公式有由題意知B1與B2相互獨立,從而

P(B1B2|A)=P(B1|A)P(B2|A)=0.6×0.6=0.36

由加法公式得

P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)－P(B1B2|A)

=0.6+0.6－0.36=0.84

故

P(B)=P(A)P(B1∪B2|A)=0.7×0.84=0.588

【例1.4】將n個人等可能地分配到N(n≤N)間房中去，試求下列事件的概率:

(1)A={某指定的n間房中各有一人}；

(2)B={恰有n間房，其中各有一人}；

(3)C={某指定的房中恰有m(m≤n)個人}。解把n個人等可能地分配到N間房中去，由于并沒有限定每間房中的人數(shù)，因此這是一個可重復(fù)的排列問題，分法共有Nn種。

（1）對于事件A，今固定某n間房，第一個人可分配到

n間房的任一間，有n種分法；第二個人可分配到余下的n－1間房中的任一間，有n－1種分法。依次類推，得到A共含有

n!個樣本點。

故（2）對于事件B，因為n間房沒有指定，所以可先在N

間房中任意選出n間房（共有CnN種選法），然后對于選出來的某n間房，按照上面的分析，可知B共含有CnN·n!個樣本

點。故

(3)對于事件C，由于m個人可從n個人中任意選出，并不是指定的，因此有Cmn種選法，而其余的n－m個人可任意地分配到其余的N－1間房中，共有(N－1)n－m種分法，故C中共含有Cmn·(N－1)n－m個樣本點。

因此

【例1.5】從1~100的整數(shù)中任取一數(shù)，已知取出的數(shù)是不超過50的整數(shù)，求它是2或3的倍數(shù)的概率。

解記A={取出的數(shù)不超過50}，B={取出的數(shù)是2的倍數(shù)}，C={取出的數(shù)是3的倍數(shù)}，則所求概率為條件概率P(B∪C|A)，利用條件概率的性質(zhì)進行計算。由條件概率的性質(zhì)知由于，，故

【例1.6】設(shè)P(A)＞0，試證。

證明由于P(A∪B)≤1，即P(A)+P(B)－P(AB)≤1,從而由乘法公式知

P(A)+P(B)－P(A)P(B|A)≤1

故

P(A)·P(B|A)≥P(A)－［1－P(B)］因而有由于P(A)>0,因此得

【例1.7】設(shè)有甲、乙、丙三門炮，同時獨立地向某目標(biāo)射擊，各炮的命中率分別為0.2、0.3和0.5，目標(biāo)被命中一發(fā)而被擊毀的概率為0.2，被命中兩發(fā)而被擊毀的概率為0.6，被命中三發(fā)而被擊毀的概率為0.9，求：

（1）三門炮在一次射擊中擊毀目標(biāo)的概率；

（2）在目標(biāo)被擊毀的條件下，只由甲炮擊中的概率。解設(shè)事件A1、A2、A3分別表示甲、乙、丙炮擊中目標(biāo)，D表示目標(biāo)被擊毀，Hi表示由i門炮同時擊中目標(biāo)(i=1，2，3)，則由全概率公式有

其中P(Hi)由題設(shè)條件及獨立性求出，而第二問可由貝葉斯公式來處理。由題設(shè)知P(A1)=0.2，P(A2)=0.3，P(A3)=0.5

P(D|H1)=0.2，P(D|H2)=0.6，P(D|H3)=0.9

由于A1、A2、A3相互獨立，故同理（1）由全概率公式得（2）由貝葉斯公式得第四節(jié)習(xí)題全解

1.1

簡述下列基本概念：

（1）隨機試驗具有的三個特點；

（2）隨機事件的定義；

（3）概率的統(tǒng)計定義。答（1）①可重復(fù)性：試驗可以在相同的條件下重復(fù)進行；②可觀察性：每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果；③不確定性：進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。

（2）隨機試驗的若干個結(jié)果組成的集合稱為隨機事件（簡稱事件），常用大寫字母A、B、C等表示。（3）設(shè)有隨機試驗E，若當(dāng)試驗的次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某數(shù)p附近擺動，而且隨著試驗次數(shù)的增加，擺動幅度越來越小，則稱數(shù)p為事件A的概率，

記為P(A)=p。概率的這種定義，稱為概率的統(tǒng)計定義。

1.2

寫出下列隨機試驗的樣本空間:

（1）同時擲三顆骰子，記錄三顆骰子點數(shù)之和；

（2）會議室的所有人員是教師、學(xué)生或工人，從中隨機地喊一個人出來，記錄被喊人的職業(yè)；

（3）記錄一個班級一次考試的平均分?jǐn)?shù)（以百分制計分）；

（4）記錄某話務(wù)員在一個工作日內(nèi)接聽電話的次數(shù)；

（5）生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。解（1）設(shè)第一、二、三顆骰子點數(shù)的樣本空間分別為S1、S2、S3，三顆骰子點數(shù)之和的樣本空間為S，則

S1={1，2，3，4，5，6}

S2={1，2，3，4，5，6}

S3={1，2，3，4，5，6}

故S={3，4，…，18}。

（2）設(shè)試驗的樣本空間為S，則

S={教師，學(xué)生，工人}（3）設(shè)試驗的樣本空間為S，以n表示該班的學(xué)生數(shù)，因以百分制計分，故該班在一次考試中的總成績的可能取值為0，1，2，…，100n。該班在一次考試中平均分?jǐn)?shù)的所有可能結(jié)果即為該隨機試驗的樣本空間，因而所求的樣本空

間為

（4）設(shè)試驗的樣本空間為S，則

S={0，1，2，…}（5）設(shè)試驗的樣本空間為S，由題設(shè)可知，若生產(chǎn)的10件產(chǎn)品均為正品，則記錄的產(chǎn)品總件數(shù)為10；若生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中有1件次品，則需繼續(xù)生產(chǎn)，且若第11件產(chǎn)品恰為正品，則記錄的產(chǎn)品總件數(shù)為11。一般假設(shè)在生產(chǎn)第10件正品前共生產(chǎn)了k件不合格品，則記錄的產(chǎn)品總件數(shù)的所有可能結(jié)果，即樣本空間為

S={10+k|k=0，1，2，…}

或?qū)懗蒘={10，11，12，13，14，15，…}

1.3

從某班學(xué)生中任選一名學(xué)生，設(shè)A={選出的學(xué)生是男生}，B={選出的學(xué)生是數(shù)學(xué)愛好者}，C={選出的學(xué)生是班干部}，試問下列運算結(jié)果分別表示什么事件。解（1）A表示選出的學(xué)生是男生,B表示選出的學(xué)生是數(shù)學(xué)愛好者,C表示選出的學(xué)生是班干部,故ABC表示選出的學(xué)生是愛好數(shù)學(xué)的男生班干部。

（2）A表示選出的學(xué)生是女生，B表示選出的學(xué)生是數(shù)學(xué)愛好者，C

表示選出的學(xué)生不是班干部，故ABC表示選出的學(xué)生是愛好數(shù)學(xué)的女生，且不是班干部。（3）A表示選出的學(xué)生是男生，C表示選出的學(xué)生是班干部，則A∪C表示選出的學(xué)生是男生班干部，故A∪C表示選出的學(xué)生為不是班干部的女生。

（4）A表示選出的學(xué)生是男生，B表示選出的學(xué)生是數(shù)學(xué)愛好者，C表示選出的學(xué)生是班干部，則B∪C表示選出的學(xué)生是數(shù)學(xué)愛好者也是班干部，故A－(B∪C)表示選出的學(xué)生是不是數(shù)學(xué)愛好者也不是班干部的男生。

1.7

朋友聚會，其中有a位男士，b位女士，大家隨機地圍繞圓桌就座，求其中甲、乙兩人坐在一起（即座位相鄰）的概率。解a+b圍成一圈共有(a+b－1)!種排法。而甲乙兩人相鄰時，將甲乙兩人視為一個整體，與余下的a+b－2個人圍成一圈共有(a+b－2)!種排法。再考慮到甲乙兩人本身有2種排列方法，故甲乙兩人相鄰時，大家圍成一圈共有2(a+b－2)!種排法。所以甲乙兩人相鄰的概率為

1.8

某教研室共有20名教師，其中中老年教師12名，

年輕教師8名，現(xiàn)要選4名優(yōu)秀教師，求：

（1）至少有1名年輕教師的概率；

（2）有2名年輕教師的概率。解（1）令事件A={4名優(yōu)秀教師中至少有1名年輕教師}，A的對立事件A={4名優(yōu)秀教師中沒有1名年輕教師}，從12名中老年教師中選出4名優(yōu)秀教師共有C412種選法，從20名教師中選出4名優(yōu)秀教師共有C420種選法，故所以（2）令事件B={有2名年輕教師}，從20名教師中選出4名優(yōu)秀教師共有C420種選法，從8名年輕教師中選出2名優(yōu)秀教師共有C28種選法，然后從12名中老年教師中選出2名優(yōu)秀教師共有C212種選法。因此從20名教師中選出4名優(yōu)秀教師且其中有2名是年輕教師共有C212C28種選法，故

1.9

兩艘船都要停泊在同一個碼頭，而這個碼頭不能同時停泊兩艘船，它們可能在一個晝夜的任何時刻到達(dá)，設(shè)兩艘船?？康臅r間分別是1小時和2小時，求有一艘船要靠位必須等待一段時間的概率。

解以X、Y分別表示兩艘船到達(dá)時刻，那么0≤X≤24，0≤Y≤24；若以（X，Y）表示平面上的點的坐標(biāo)，則所有基本事件可以用這平面上的邊長為24的一個正方形：0≤X≤24,0≤Y≤24內(nèi)的所有的點表示出來。于是一艘船?？繒r需要等待空出碼頭分兩種情況：甲先到，乙在隨后的1小時內(nèi)到達(dá)；乙先到，甲在隨后的2小時內(nèi)到達(dá)。于是這一事件可表示為（X，Y）落在區(qū)域：{(X，Y)|0≤

X≤24，0≤Y≤24，0≤Y－X≤1}∪{(X，Y)|0≤X≤24，

0≤Y≤24，0≤X－Y≤2}。如圖1-1所示，根據(jù)幾何概型計

算可得圖1-1

1.11

設(shè)A、B、C是三個事件，P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=1/8，P(AC)=0，求：

（1）A、B、C都發(fā)生的概率；

（2）A、B、C至少有一個發(fā)生的概率；

（3）A、B、C都不發(fā)生的概率。

解（1）由ABC

AC可知P(ABC)≤P(AC)=0,又由

概率的公理化定義可知P(ABC)≥0，所以

P(ABC)=0（2）由概率的性質(zhì)可知（3）由（2）得

1.12

設(shè)A、B是兩個隨機事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，問：

（1）在什么條件下P(AB)取最小值？最小值是多少？

（2）在什么條件下P(AB)取最大值？最大值是多少？

解由A、B兩事件的概率看，A、B兩事件相容。利用加法公式有

P(AB)=P(A)+P(B)－P(A∪B)（1）因為P(B)≤P(A∪B)≤1，故當(dāng)P(A∪B)=1時，P(AB)最小，且

P(AB)|min=P(A)+P(B)－1=0.6+0.7－1=0.3

（2）由P(B)=0.7和P(A)=0.6可知，P(B)>P(A)。

當(dāng)BA時，AB=A，

A∪B=B，P(A∪B)=P(B)為最小，此時P(AB)為最大，故

P(AB)|max=P(A)=0.6

1.13

袋中有10個球，8紅2白，現(xiàn)從袋中任取兩次，每次取一個球做不放回抽樣，求下列事件的概率：

（1）兩次都是紅球；

（2）兩次中一次取紅球，另一次取白球；

（3）至少有一次取到白球；

（4）第二次取到的是白球。解（1）令事件A={兩次都是紅球}，從10個球中取

2個球有C210種取法，從8個紅球中取2個球有C28種取法，故（2）令事件B={兩次中一次取紅球，另一次取白球}，從10個球中取2個球有C210種取法，從8個紅球中取1個球有C18種取法，從2個白球中取1個球有C12種取法，則兩次中一次取紅球，另一次取白球有C18C12種取法，故（3）令事件C={至少有一次取到白球}，則事件C的對立事件是事件A，所以（4）令事件D={第二次取到的是白球}，從10個球中取2個球有C210種取法，從10個球中取2個球且第一次取到的是紅球，第二次取到的是白球有C18C12種取法；從10個球中取2個球且第一次和第二次取到的都是白球有C12種取法。因為第一次取到紅球和取到白球的概率各占一半，故

1.14

假設(shè)某學(xué)校學(xué)生四級英語考試及格率為98%，其中70%的學(xué)生通過英語六級考試，試求從該學(xué)校隨機地選出一名學(xué)生通過六級英語考試的概率。解令事件A={通過四級英語考試}，B={通過六級英語考試}。由條件知

P(A)=0.98，P(B|A)=0.7

故隨機地選出一名學(xué)生通過六級英語考試的概率為

P(AB)=P(A)P(B|A)=0.686

1.15

設(shè)某事件分兩階段進行，已知通過第一階段試驗的概率為60%，通過第二階段試驗的概率為40%，試求已通過第一階段試驗后再通過第二階段試驗的概率。解令事件A＝｛通過第一階段｝，事件B＝｛通過第二階段｝，那么條件A下事件B的概率可由條件概率的公式求得。由于先要通過第一階段然后才能通過第二階段，所以AB=B，于是

1.16

某商店出售尚未過關(guān)的某電子產(chǎn)品，進貨10件，其中有3件是次品，已出售2件，現(xiàn)從剩下的8件產(chǎn)品中任取一件，求這件是正品的概率。解令事件B={顧客買到的是正品}，Ai={售出的兩件中有i件次品}，由題意知由全概率公式有

1.17

有兩批產(chǎn)品：第一批20件，其中有5件特級品；第二批12件，其中有2件特級品。今按下列兩種方法抽樣：（1）將兩批產(chǎn)品混在一起，從中任取2件；

（2）從第一批中任取2件混入第二批中，再從混合后的第二批中抽取2件。

試分別求出兩種抽樣情況下所抽兩件都是特級品的概率。解（1）將兩批產(chǎn)品混在一起后共有32件產(chǎn)品，其中有7件是特級品。從32件產(chǎn)品中任取2件有C232種取法，從7件特級品中任取2件有C27種取法，故兩件都是特級品的概率為（2）令事件A0、A1、A2分別表示從第一批產(chǎn)品中抽到的2件