2025年菁優(yōu)高考數(shù)學解密之復數(shù)

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學解密之復數(shù)一．多選題（共15小題）1．（2024?南通模擬）已知復數(shù)，，滿足，下列說法正確的是A．若，則 B． C．若，則 D．2．（2024?南通模擬）已知，都是復數(shù)，下列正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則3．（2024?貴港模擬）已知復數(shù)，，，則下列說法中正確的有A．若，則或 B．若，則 C．若，則 D．若，則4．（2024?陽江模擬）設復數(shù)在復平面內對應的點為，則下列說法正確的有A．若，則或 B．若，則的最小值為 C．若，則 D．若，則點的集合所構成圖形的面積為5．（2024?濰坊二模）定義域是復數(shù)集的子集的函數(shù)稱為復變函數(shù)，就是一個多項式復變函數(shù)．給定多項式復變函數(shù)之后，對任意一個復數(shù)，通過計算公式，可以得到一列值，，，，，．如果存在一個正數(shù)，使得對任意都成立，則稱為的收斂點；否則，稱為的發(fā)散點．則下列選項中是的收斂點的是A． B． C． D．6．（2024?遼寧模擬）已知滿足，則A． B．復平面內對應的點在第一象限 C． D．的實部與虛部之積為7．（2024?安徽模擬）已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，下列說法正確的是A． B．復數(shù)在復平面內對應的點位于第四象限 C． D．為純虛數(shù)8．（2024?重慶模擬）已知復數(shù)，均不為0，則A． B． C． D．9．（2024?延邊州模擬）已知、都是復數(shù)，下列正確的是A．若，則 B． C．若，則 D．10．（2024?湖南模擬）已知為虛數(shù)單位，下列說法正確的是A．若復數(shù)，則 B．若，則 C．若，則 D．復數(shù)在復平面內對應的點為，若，則點的軌跡是一個橢圓11．（2024?瓊海模擬）設，為復數(shù)，則下列結論中正確的是A．若為虛數(shù)，則也為虛數(shù) B．若，則的最大值為 C． D．12．（2024?安徽模擬）若復數(shù)，是方程的兩根，則A．，實部不同 B．，虛部不同 C． D．在復平面內所對應的點位于第三象限13．（2024?遵義二模）關于復數(shù)，下列結論正確的是A． B．若，則 C．若，則 D．若，則在復平面內對應的點的軌跡為一條直線14．（2024?河池模擬）已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，為方程的兩個根，則下列選項中正確的有A． B． C．復數(shù)在復平面上對應的點在第二象限 D．15．（2024?莆田三模）若是非零復數(shù)，則下列說法正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則二．填空題（共5小題）16．（2024?紅橋區(qū)一模）是虛數(shù)單位，復數(shù)．17．（2024?普陀區(qū)校級模擬）設復數(shù)滿足，則．18．（2024?松江區(qū)二模）在復平面內，復數(shù)對應的點的坐標是，則．19．（2024?金溪縣校級模擬）復數(shù)的實部為．20．（2024?天津）已知是虛數(shù)單位，復數(shù)．三．解答題（共5小題）21．（2024?貴陽模擬）在復數(shù)集中有這樣一類復數(shù)：與，我們把它們互稱為共軛復數(shù)，時它們在復平面內的對應點關于實軸對稱，這是共軛復數(shù)的特點．它們還有如下性質：（1）（2）（當時，為純虛數(shù)）（3）（4）（5）．（6）兩個復數(shù)和、差、積、商（分母非零）的共軛復數(shù)，分別等于兩個復數(shù)的共軛復數(shù)的和、差、積、商．請根據(jù)所學復數(shù)知識，結合以上性質，完成下面問題：（1）設，．求證：是實數(shù)；（2）已知，，，求的值；（3）設，其中，是實數(shù)，當時，求的最大值和最小值．22．（2024?西山區(qū)模擬）我們把（其中，稱為一元次多項式方程．代數(shù)基本定理：任何復系數(shù)一元次多項式方程（即，，，，為實數(shù)）在復數(shù)集內至少有一個復數(shù)根；由此推得，任何復系數(shù)一元次多項式方程在復數(shù)集內有且僅有個復數(shù)根（重根按重數(shù)計算）．那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何復系數(shù)一元次多項式在復數(shù)集內一定可以分解因式，轉化為個一元一次多項式的積．即，其中，，，，，，為方程的根．進一步可以推出：在實系數(shù)范圍內（即，，，，為實數(shù)），方程的有實數(shù)根，則多項式必可分解因式．例如：觀察可知，是方程的一個根，則一定是多項式的一個因式，即，由待定系數(shù)法可知，．（1）解方程：；（2）設，其中，，，，且．分解因式：；記點，是的圖象與直線在第一象限內離原點最近的交點．求證：當時，．23．（2022?上海模擬）設復數(shù)，，其中，．（1）若復數(shù)為實數(shù)，求的值；（2）求的取值范圍．24．（2021?株洲模擬）已知復數(shù)、，滿足，，其中為虛數(shù)單位，表示的共軛復數(shù)（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求．25．（2024?大祥區(qū)校級模擬）高中教材必修第二冊選學內容中指出：設復數(shù)對應復平面內的點，設，，則任何一個復數(shù)都可以表示成：的形式，這種形式叫做復數(shù)三角形式，其中是復數(shù)的模，稱為復數(shù)的輻角，若，則稱為復數(shù)的輻角主值，記為．復數(shù)有以下三角形式的運算法則：若，，2，，則：，特別地，如果，那么，這個結論叫做棣莫弗定理．請運用上述知識和結論解答下面的問題：（1）求復數(shù)，的模和輻角主值（用表示）；（2）設，，若存在滿足，那么這樣的有多少個？（3）求和：．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學解密之復數(shù)參考答案與試題解析一．多選題（共15小題）1．（2024?南通模擬）已知復數(shù)，，滿足，下列說法正確的是A．若，則 B． C．若，則 D．【答案】【考點】復數(shù)的運算；復數(shù)的?！緦ｎ}】數(shù)學運算；計算題；轉化思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復數(shù)【分析】對選項，，利用特殊值法即可判斷，錯誤，對選項，根據(jù)復數(shù)模長的性質即可判斷正確，對選項，根據(jù)復數(shù)模長公式即可判斷正確．【解答】解：對選項，設，則，，不滿足，故錯誤；對選項，設，在復平面內表示的向量分別為，且，當方向相同時，，當方向不相同時，，綜上，故正確；對選項，設，，，，故錯誤；對選項，設，，，，，，，則，，故正確．故選：．【點評】本題考查了復數(shù)的運算，屬于中檔題．2．（2024?南通模擬）已知，都是復數(shù)，下列正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【答案】【考點】復數(shù)的運算；復數(shù)的模；共軛復數(shù)【專題】數(shù)學運算；綜合法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；整體思想【分析】結合復數(shù)的基本概念及復數(shù)的四則運算及復數(shù)的運算性質檢驗各選項即可判斷．【解答】解：若，則，正確；當，滿足，顯然錯誤；當，時，滿足，但，，顯然錯誤；設，，，，都為實數(shù)），若，則，所以，所以，即，正確．故選：．【點評】本題主要考查了復數(shù)的基本概念，復數(shù)的運算性質的綜合應用，考查了分析問題的能力，屬于中檔題．3．（2024?貴港模擬）已知復數(shù)，，，則下列說法中正確的有A．若，則或 B．若，則 C．若，則 D．若，則【答案】【考點】復數(shù)的運算；復數(shù)的?！緦ｎ}】數(shù)系的擴充和復數(shù)；轉化思想；數(shù)學運算；計算題；綜合法【分析】對于，由題意可得進而即可得解；對于，由題意可求以3為周期，進而可得，即可得解；對于，取，，即可判斷得解；對于，利用復數(shù)的模的定義即可求解．【解答】解：對于，或，故正確；對于，，，，所以以3為周期，所以，故正確；對于，取，，則，此時，故錯誤；對于，，，所以，故正確．故選：．【點評】本題考查了復數(shù)的運算，考查了轉化思想，屬于中檔題．4．（2024?陽江模擬）設復數(shù)在復平面內對應的點為，則下列說法正確的有A．若，則或 B．若，則的最小值為 C．若，則 D．若，則點的集合所構成圖形的面積為【答案】【考點】復數(shù)對應復平面中的點【專題】數(shù)學運算；轉化思想；轉化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)【分析】對于，結合特殊值法，即可求解；對于，結合復數(shù)的幾何意義，即可求解；對于，結合復數(shù)模公式，即可求解；對于，結合復數(shù)模公式，以及復數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：對于，令，滿足，但或不成立，故錯誤；對于，，則點的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，表示圓上的點到原點的距離，則的最小值為，故正確；對于，，則，故錯誤；對于，設，則因為，所以，所以點的集合所構成的圖形的面積為，所以正確．故選：．【點評】本題主要考查復數(shù)的幾何意義，復數(shù)模公式，屬于基礎題．5．（2024?濰坊二模）定義域是復數(shù)集的子集的函數(shù)稱為復變函數(shù)，就是一個多項式復變函數(shù)．給定多項式復變函數(shù)之后，對任意一個復數(shù)，通過計算公式，可以得到一列值，，，，，．如果存在一個正數(shù)，使得對任意都成立，則稱為的收斂點；否則，稱為的發(fā)散點．則下列選項中是的收斂點的是A． B． C． D．【答案】【考點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復數(shù)的乘法及乘方運算；復數(shù)的模【專題】綜合法；轉化思想；數(shù)學運算；數(shù)系的擴充和復數(shù)【分析】根據(jù)計算公式結合收斂點的定義判斷即可．【解答】解：對，由可得數(shù)列，2，4，不合題意，故錯誤；對，由可得數(shù)列，，1，則存在一個正數(shù)，使得對任意都成立，滿足題意，故正確；對，由可得數(shù)列，，，不滿足題意，故錯誤；對，由可得數(shù)列因為，存在一個正數(shù)，使得對任意都成立，滿足題意，故正確．故選：．【點評】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)模的求法，是基礎題．6．（2024?遼寧模擬）已知滿足，則A． B．復平面內對應的點在第一象限 C． D．的實部與虛部之積為【答案】【考點】共軛復數(shù)；復數(shù)的運算【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的運算法則進行運算，求出復數(shù)，逐一判斷各選項是否正確．【解答】解：設，則由已知得，即，所以解得所以，則，其對應點為，在第三象限，故項正確，項錯誤；，的實部為，虛部為1，所以的實部與虛部之積為，故，項正確．故選：．【點評】本題考查復數(shù)的運算，屬于基礎題．7．（2024?安徽模擬）已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，下列說法正確的是A． B．復數(shù)在復平面內對應的點位于第四象限 C． D．為純虛數(shù)【答案】【考點】復數(shù)的運算【專題】數(shù)學運算；方程思想；數(shù)系的擴充和復數(shù)；定義法【分析】化簡復數(shù)，逐一核對選項檢驗即可．【解答】解：，選項，，正確；選項，復數(shù)在復平面內對應的點為，，位于第四象限，正確；選項，，正確；選項，，不是純虛數(shù)，錯誤．故選：．【點評】本題考查復數(shù)的運算，屬于基礎題．8．（2024?重慶模擬）已知復數(shù)，均不為0，則A． B． C． D．【答案】【考點】共軛復數(shù)；復數(shù)的模；復數(shù)的運算【專題】數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算；轉化思想；綜合法【分析】利用復數(shù)的運算性質對四個選項逐一判斷可得答案．【解答】解：復數(shù)，均不為0，對于，不妨令，則，，，錯誤；對于，，正確；對于，由復數(shù)的運算性質，可得，正確；對于，，故，正確．故選：．【點評】本題考查復數(shù)的運算，屬于中檔題．9．（2024?延邊州模擬）已知、都是復數(shù)，下列正確的是A．若，則 B． C．若，則 D．【答案】【考點】復數(shù)的模；共軛復數(shù)；復數(shù)的運算【專題】轉化法；轉化思想；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算【分析】根據(jù)已知條件，結合特殊值法，復數(shù)模的性質，復數(shù)的概念，即可求解．【解答】解：令，，滿足，但不成立，故錯誤；由復數(shù)模的性質可知，，故正確；令，，滿足，但不成立，故錯誤；設，，，，故正確．故選：．【點評】本題主要考查復數(shù)的運算，屬于基礎題．10．（2024?湖南模擬）已知為虛數(shù)單位，下列說法正確的是A．若復數(shù)，則 B．若，則 C．若，則 D．復數(shù)在復平面內對應的點為，若，則點的軌跡是一個橢圓【答案】【考點】復數(shù)的運算；復數(shù)的?！緦ｎ}】數(shù)系的擴充和復數(shù)；綜合法；轉化思想；數(shù)學運算【分析】根據(jù)復數(shù)的運算性質逐項判斷即可．【解答】解：對于，因為，所以，故正確；對于，取，滿足，但，所以不成立，故錯誤；對于，若，根據(jù)模的性質，故正確；對于，復數(shù)在復平面內對應的點為，若，則點的軌跡是線段，故錯誤．故選：．【點評】本題考查復數(shù)的運算性質，屬于中檔題．11．（2024?瓊海模擬）設，為復數(shù)，則下列結論中正確的是A．若為虛數(shù)，則也為虛數(shù) B．若，則的最大值為 C． D．【答案】【考點】復數(shù)的模；復數(shù)的運算【專題】數(shù)學運算；定義法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；對應思想【分析】對于，由為虛數(shù)，得為虛數(shù)，從而可判斷，對于，由進行判斷，對于，設，，，，，然后分別求解進行判斷，對于，根據(jù)復數(shù)的向量表示及向量的不等式分析判斷．【解答】解：對于，因為為虛數(shù)，為實數(shù)，所以為虛數(shù)，所以也為虛數(shù)，所以正確，對于，當時，滿足，此時，所以錯誤，對于，設，，，，，則，，所以，，所以，所以正確，對于，設，確定的向量分別為，則由向量不等式得，所以恒成立，所以正確，故選：．【點評】本題考查復數(shù)的運算，屬于中檔題．12．（2024?安徽模擬）若復數(shù)，是方程的兩根，則A．，實部不同 B．，虛部不同 C． D．在復平面內所對應的點位于第三象限【答案】【考點】復數(shù)的除法運算；復數(shù)對應復平面中的點；復數(shù)的?！緦ｎ}】定義法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；方程思想；數(shù)學運算【分析】在復數(shù)集內解方程，求出，再根據(jù)復數(shù)的模及其幾何意義、共軛復數(shù)、復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義、復數(shù)的除法運算，逐項判定，即可求出結果．【解答】解：因為方程可化為，所以，則，是共軛復數(shù)，實部相同，虛部互為相反數(shù)，所以錯誤，正確；因為，所以正確；因為，所以在復平面內所對應的點為，位于第一象限，所以錯誤．故選：．【點評】本題考查復數(shù)的運算，屬于基礎題．13．（2024?遵義二模）關于復數(shù)，下列結論正確的是A． B．若，則 C．若，則 D．若，則在復平面內對應的點的軌跡為一條直線【答案】【考點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復數(shù)的模；復數(shù)的運算【專題】計算題；整體思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算【分析】由復數(shù)的運算和幾何意義運算可得結果．【解答】解：對于，設，則，所以，所以，故正確；對于，若，則，所以不一定是，故錯誤；對于，因為，所以，故錯誤；對于，設，則，所以，所以，所以在復平面內對應的點的軌跡為一條直線，故正確．故選：．【點評】本題主要考查復數(shù)的運算，屬于基礎題．14．（2024?河池模擬）已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，為方程的兩個根，則下列選項中正確的有A． B． C．復數(shù)在復平面上對應的點在第二象限 D．【答案】【考點】復數(shù)的模；復數(shù)的運算【專題】數(shù)學運算；綜合法；計算題；轉化思想；數(shù)系的擴充和復數(shù)【分析】由題意可知：，進而可判斷；結合可判斷；根據(jù)復數(shù)的幾何意義判斷．【解答】解：對于選項：由方程解得，可知：，所以，故正確；對于選項：對于任意復數(shù)，則，可得，所以，故正確；對于選項：由方程解得，即或，可知復數(shù)在復平面上對應的點在第一象限或第四象限，故錯誤；對于選項：由選項可知：．故正確．故選：．【點評】本題考查復數(shù)運算、復數(shù)模，考查數(shù)學運算能力，屬于中檔題．15．（2024?莆田三模）若是非零復數(shù)，則下列說法正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【答案】【考點】復數(shù)的乘法及乘方運算【專題】數(shù)系的擴充和復數(shù)；定義法；方程思想；數(shù)學運算【分析】利用共軛復數(shù)的定義可判定、，利用復數(shù)的乘法運算法則結合模長公式可判定、．【解答】解：由，得，則錯誤．因為，所以，解得或（舍去），則正確．設，，且，則，所以，則正確．由，得．設，，且，則，，從而，則正確．故選：．【點評】本題考查復數(shù)的應用，屬于基礎題．二．填空題（共5小題）16．（2024?紅橋區(qū)一模）是虛數(shù)單位，復數(shù)．【答案】．【考點】復數(shù)的運算【專題】數(shù)學運算；綜合法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；整體思想【分析】由已知結合復數(shù)的四則運算進行化簡即可求解．【解答】解：．故答案為：．【點評】本題主要考查了復數(shù)的四則運算，屬于基礎題．17．（2024?普陀區(qū)校級模擬）設復數(shù)滿足，則5．【考點】復數(shù)的模；共軛復數(shù)【專題】數(shù)學運算；轉化思想；轉化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)【分析】設，根據(jù)復數(shù)的共軛復數(shù)、復數(shù)相等列方程組解得，，再根據(jù)模長公式求解即可得答案．【解答】解：設，則，于是，解得，則．故答案為：5．【點評】本題考查復數(shù)的共軛復數(shù)、復數(shù)相等，屬于基礎題．18．（2024?松江區(qū)二模）在復平面內，復數(shù)對應的點的坐標是，則．【答案】．【考點】復數(shù)的運算【專題】對應思想；轉化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算【分析】根據(jù)復數(shù)的運算性質計算即可．【解答】解：由題意得：，故，故答案為：．【點評】本題考查了復數(shù)的運算，是基礎題．19．（2024?金溪縣校級模擬）復數(shù)的實部為．【答案】．【考點】復數(shù)的運算【專題】數(shù)學運算；轉化思想；數(shù)系的擴充和復數(shù)；轉化法【分析】根據(jù)已知條件，先對化簡，再結合實部的定義，即可求解．【解答】解：因為，所以的實部為．故答案為：．【點評】本題主要考查復數(shù)的運算，屬于基礎題．20．（2024?天津）已知是虛數(shù)單位，復數(shù)．【答案】．【考點】復數(shù)的運算【專題】轉化法；轉化思想；數(shù)學運算；數(shù)系的擴充和復數(shù)【分析】根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的四則運算，即可求解．【解答】解：．故答案為：．【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，是基礎題．三．解答題（共5小題）21．（2024?貴陽模擬）在復數(shù)集中有這樣一類復數(shù)：與，我們把它們互稱為共軛復數(shù)，時它們在復平面內的對應點關于實軸對稱，這是共軛復數(shù)的特點．它們還有如下性質：（1）（2）（當時，為純虛數(shù)）（3）（4）（5）．（6）兩個復數(shù)和、差、積、商（分母非零）的共軛復數(shù)，分別等于兩個復數(shù)的共軛復數(shù)的和、差、積、商．請根據(jù)所學復數(shù)知識，結合以上性質，完成下面問題：（1）設，．求證：是實數(shù)；（2）已知，，，求的值；（3）設，其中，是實數(shù)，當時，求的最大值和最小值．【答案】（1）證明見解答；（2）；（3），．【考點】共軛復數(shù)；復數(shù)的模；復數(shù)的運算【專題】數(shù)學運算；綜合法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；整體思想【分析】（1）設，利用，，可證得是實數(shù)；（2）設，結合題意，可得關于，的方程組，解之即可；（3）設，，依題意，可得，從而可求得的最大值和最小值．【解答】解：（1）證明：設，，，，，是實數(shù)；（2）設，則，，，，①；又，②；聯(lián)立①②，解得，，；（3），設，，則，，，，．【點評】本題考查復數(shù)的運算及其性質的應用，考查轉化與化歸思想及方程思想的綜合運用，屬于中檔題．22．（2024?西山區(qū)模擬）我們把（其中，稱為一元次多項式方程．代數(shù)基本定理：任何復系數(shù)一元次多項式方程（即，，，，為實數(shù)）在復數(shù)集內至少有一個復數(shù)根；由此推得，任何復系數(shù)一元次多項式方程在復數(shù)集內有且僅有個復數(shù)根（重根按重數(shù)計算）．那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何復系數(shù)一元次多項式在復數(shù)集內一定可以分解因式，轉化為個一元一次多項式的積．即，其中，，，，，，為方程的根．進一步可以推出：在實系數(shù)范圍內（即，，，，為實數(shù)），方程的有實數(shù)根，則多項式必可分解因式．例如：觀察可知，是方程的一個根，則一定是多項式的一個因式，即，由待定系數(shù)法可知，．（1）解方程：；（2）設，其中，，，，且．分解因式：；記點，是的圖象與直線在第一象限內離原點最近的交點．求證：當時，．【答案】（1），，；（2）；證明過程見解析．【考點】復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化【分析】（1）觀察可知是方程的一個根，所以設，對照可得，，，得到，即可求出方程的根；（2）是方程的一個根，所以設，對照可得，，，從而可得出答案；令，故是方程的最小正實根，由知，設，根據(jù)開口方向，結合，則一定有一正一負兩個實根，設正實根為，結合時，（1），故，得到．【解答】解：（1）觀察可知：是方程的一個根；分所以：，由待定系數(shù)法可知，，，；所以，即或，則方程的根為，，；分（2）由可知：是方程的一個根，所以：，由待定系數(shù)法可知，，，，所以；分令，即，點，是的圖象與直線在第一象限內離原點最近的交點，等價于是方程的最小正實根；分由知：是方程的一個正實根，且，分設，由，，，可知為開口向上的二次函數(shù)，又因為，則一定有一正一負兩個實根，設正實根為，又，可得，所以（1），當時，（1），由二次函數(shù)單調性可知，即是方程的最小正實根．分【點評】本題考查三次函數(shù)，解題關鍵是需要求解出三次函數(shù)的零點，可以先求出一個零點后將三次函數(shù)轉化為二次函數(shù)再進行解題．23．（2022?上海模擬）設復數(shù)，，其中，．（1）若復數(shù)為實數(shù)，求的值；（2）求的取值范圍．【答案】（1）．（2）．【考點】復數(shù)的運算；共軛復數(shù)【專題】轉化思想；轉化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算【分析】（1）根據(jù)已知條件，結合共軛復數(shù)的定義，以及復數(shù)的乘除法法則，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結合三角函數(shù)的恒等變換公式，以及復數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：（1）復數(shù)，，，復數(shù)為實數(shù)，，即，，，．（2），，，，，，，即，的取值范圍為．【點評】本題主要考查復數(shù)與三角函數(shù)的綜合應用，屬于中檔題．24．（2021?株洲模擬）已知復數(shù)、，滿足，，其中為虛數(shù)單位，表示的共軛復數(shù)（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【考點】共軛復數(shù)；復數(shù)的運算【專題】轉化思想；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算；定義法【分析】（Ⅰ）將代入，求出，再由模的計算公式求解即可；（Ⅱ）由，利用等差數(shù)列的定義以及通項公式，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因為，，，所以，故；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，，，，所以，又，則，所以，，則，，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則，故，因為，，所以，，，，所以．【點評】本題考查了復數(shù)的運算，共軛復數(shù)定義的應用，復數(shù)模的求解，等差數(shù)列定義以及通項公式的運用，考查了運算能力，屬于中檔題．25．（2024?大祥區(qū)校級模擬）高中教材必修第二冊選學內容中指出：設復數(shù)對應復平面內的點，設，，則任何一個復數(shù)都可以表示成：的形式，這種形式叫做復數(shù)三角形式，其中是復數(shù)的模，稱為復數(shù)的輻角，若，則稱為復數(shù)的輻角主值，記為．復數(shù)有以下三角形式的運算法則：若，，2，，則：，特別地，如果，那么，這個結論叫做棣莫弗定理．請運用上述知識和結論解答下面的問題：（1）求復數(shù)，的模和輻角主值（用表示）；（2）設，，若存在滿足，那么這樣的有多少個？（3）求和：．【答案】（1）；．（2）506．（3）1017．【考點】復數(shù)的相等【專題】綜合法；轉化思想；數(shù)學運算；邏輯推理；數(shù)系的擴充和復數(shù)【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用復數(shù)模及輻角主值的定義，結合三角變換求解即得．（2）利用給定定理，結合誘導公式計算，再借助正余弦函數(shù)的周期性求解即可．（3）令，利用等比數(shù)列及錯位相減法求出，再利用復數(shù)相等即可得解．【解答】解：（1）由復數(shù)，，，，得，，，，，，，，．（2）由，，，，，解得，，，，，，符合條件的有506個，這樣的有506個．（3）令，而，則，令，則，兩邊同乘，得：，，，，．【點評】本題考查復數(shù)模、輻角主值的定義、三角變換、誘導公式、正余弦函數(shù)的周期性、等比數(shù)列、錯位相減法、復數(shù)相等等基礎知識，考查運算求解能力，是難題．

考點卡片1．復數(shù)的相等【知識點的認識】復數(shù)z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i相等，當且僅當它們的實部和虛部分別相等，即a1＝a2和b1＝b2．【解題方法點撥】﹣比較分量：通過比較兩個復數(shù)的實部和虛部，判斷它們是否相等．﹣應用：在復數(shù)方程中使用復數(shù)相等的條件求解未知數(shù)．【命題方向】﹣復數(shù)相等的判定：考查如何根據(jù)復數(shù)的實部和虛部判斷復數(shù)的相等．﹣復數(shù)方程的應用：如何在復數(shù)方程中應用復數(shù)相等的性質．2．復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義【知識點的認識】1、復數(shù)的代數(shù)表示法建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面．在復平面內，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點（0，0），對應復數(shù)0．即復數(shù)z＝a+bi→復平面內的點z（a，b）→平面向量．2、除了復數(shù)與復平面內的點和向量的一一對應關系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復數(shù)z對應的點到原點的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復數(shù)z對應的點與復數(shù)z0對應的點之間的距離．3、復數(shù)中的解題策略：（1）證明復數(shù)是實數(shù)的策略：①z＝a+bi∈R?b＝0（a，b∈R）；②z∈R?＝z．（2）證明復數(shù)是純虛數(shù)的策略：①z＝a+bi為純虛數(shù)?a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0時，z﹣＝2bi為純虛數(shù)；③z是純虛數(shù)?z+＝0且z≠0．3．復數(shù)對應復平面中的點【知識點的認識】1、復數(shù)的代數(shù)表示法建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面．在復平面內，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點（0，0），對應復數(shù)0．即復數(shù)z＝a+bi→復平面內的點z（a，b）→平面向量．2、除了復數(shù)與復平面內的點和向量的一一對應關系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復數(shù)z對應的點到原點的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復數(shù)z對應的點與復數(shù)z0對應的點之間的距離．【解題方法點撥】﹣點的表示：將復數(shù)a+bi作為復平面上的點（a，b）進行圖示．﹣幾何運算：利用復平面上的點進行幾何運算和分析．【命題方向】﹣復平面的幾何表示：考查復數(shù)在復平面中的點表示及其幾何意義．﹣復數(shù)的幾何應用：如何在復平面中使用復數(shù)解決幾何問題．4．共軛復數(shù)【知識點的認識】實部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個復數(shù)，叫做互為共軛復數(shù)．如2+3i與2﹣3i互為共軛復數(shù)，用數(shù)學語言來表示即：復數(shù)Z＝a+bi的共軛復數(shù)＝a﹣bi．【解題方法點撥】共軛復數(shù)的常見公式有：；；；【命題方向】共軛復數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題