2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之相等關(guān)系與不等關(guān)系

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之相等關(guān)系與不等關(guān)系一．選擇題（共10小題）1．（2024?白山一模）設(shè)集合，，則A． B．， C．， D．2．（2024?張家口三模）已知正數(shù)，滿足，則的最大值為A．5 B．6 C．7 D．83．（2024?上海），，，，下列不等式恒成立的是A． B． C． D．4．（2024?南開區(qū)一模）若，則的最小值是A．2 B． C．3 D．5．（2024?浙江模擬）已知實(shí)數(shù)，滿足，且，則的最小值為A． B．8 C． D．6．（2024?高州市模擬）已知，，則下面結(jié)論正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則有最小值4 D．若，則7．（2024?崇明區(qū)二模）若，，則下列不等式成立的是A． B． C． D．8．（2024?嘉興二模）若正數(shù)，滿足，則的最小值是A． B． C． D．29．（2024?定西模擬）的最小值為A． B． C． D．10．（2024?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬）已知，且，則的最小值為A． B． C．1 D．二．多選題（共5小題）11．（2024?河池二模）若，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．12．（2024?隨州模擬）設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值13．（2024?廣東模擬）若，，，則下列不等式恒成立的是A． B． C． D．14．（2024?甘肅模擬）已知，，若，則A．的最大值為 B．的最小值為1 C．的最小值為8 D．的最小值為15．（2024?北京模擬）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則下列說法正確的是A．的最小值是4 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是三．填空題（共5小題）16．（2024?運(yùn)城二模）已知集合，，若，則的子集的個(gè)數(shù)為．17．（2024?靜安區(qū)二模）在下列關(guān)于實(shí)數(shù)、的四個(gè)不等式中，恒成立的是．（請(qǐng)?zhí)钊肴空_的序號(hào)）①；②；③；④．18．（2024?濮陽(yáng)模擬）設(shè)，，記為三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，則的最小值．19．（2024?拉薩一模）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為．20．（2024?上海）已知，的最小值為．四．解答題（共5小題）21．（2024?雅安模擬）已知．（1）若，求的取值范圍；（2）求的最大值．22．（2023?綿陽(yáng)模擬）已知函數(shù)，，且的解集為，．（1）求的值；（2）若，，，且，證明：．23．（2023?陜西模擬）已知，，為正實(shí)數(shù)且．（1）求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值．24．（2022?上海模擬）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋簦瑒t稱為“型函數(shù)”；若，則稱為“型函數(shù)”．（1）設(shè)，，，試判斷是“型函數(shù)”還是“型函數(shù)”；（2）設(shè)，，若既是“型函數(shù)”又是“型函數(shù)”，求實(shí)數(shù)，的值；（3）設(shè)，，，若為“型函數(shù)”，求（2）的取值范圍．25．（2022?全國(guó)四模）已知不等式的解集為，，．（1）若，或，求的最小值；（2）若，且，求的最小值．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之相等關(guān)系與不等關(guān)系參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?白山一模）設(shè)集合，，則A． B．， C．， D．【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法；交集及其運(yùn)算；其他不等式的解法【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；整體思想；集合；數(shù)學(xué)抽象【分析】根據(jù)函數(shù)式有意義列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定義即得．【解答】解：在中，由得，即，，又由可得：，解得，即，，故，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?張家口三模）已知正數(shù)，滿足，則的最大值為A．5 B．6 C．7 D．8【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；運(yùn)算求解【分析】在等式兩邊同時(shí)乘以，利用基本不等式可得出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可解得的最大值．【解答】解：因?yàn)?，為正?shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，在等式兩邊同時(shí)乘以，可得：，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最大值8．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，一元二次不等式的解法，是中檔題．3．（2024?上海），，，，下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】等式與不等式的性質(zhì)；不等關(guān)系與不等式【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：對(duì)于，若，則，選項(xiàng)不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，，由不等式的可加性可知，，故正確．對(duì)于、，若，則選項(xiàng)不成立，故、錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?南開區(qū)一模）若，則的最小值是A．2 B． C．3 D．【答案】【考點(diǎn)】：基本不等式及其應(yīng)用【專題】11：計(jì)算題【分析】將變形，然后利用基本不等式求出函數(shù)的最值，檢驗(yàn)等號(hào)能否取得．【解答】解：因?yàn)?，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”故選：．【點(diǎn)評(píng)】利用基本不等式求函數(shù)的最值，一定注意使用的條件：一正、二定、三相等．5．（2024?浙江模擬）已知實(shí)數(shù)，滿足，且，則的最小值為A． B．8 C． D．【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：，則，故，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式的公式，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?高州市模擬）已知，，則下面結(jié)論正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則有最小值4 D．若，則【答案】【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式；等式與不等式的性質(zhì)；基本不等式及其應(yīng)用【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；不等式【分析】由已知結(jié)合基本不等式及不等式性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：因?yàn)椋?，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，顯然錯(cuò)誤；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，正確；因?yàn)?，所以，，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式及不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?崇明區(qū)二模）若，，則下列不等式成立的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出正誤．【解答】解：，，，與大小關(guān)系不確定，，與的大小關(guān)系不確定．則下列不等式成立的是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?嘉興二模）若正數(shù)，滿足，則的最小值是A． B． C． D．2【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)條件得出，從而得出，然后根據(jù)基本不等式即可求出的最小值．【解答】解：正數(shù)，滿足，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的最小值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式求最值的方法，是基礎(chǔ)題．9．（2024?定西模擬）的最小值為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用；函數(shù)的最值【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)基本不等式可得結(jié)果．【解答】解：由題意得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬）已知，且，則的最小值為A． B． C．1 D．【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題【分析】根據(jù)題意，以與為基本量，化簡(jiǎn)得，然后根據(jù)基本不等式，結(jié)合“1的代換”算出所求最小值．【解答】解：根據(jù)題意，可得，因?yàn)椋?，由，且與都是正數(shù)，可得．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立．因此，的最小值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，利用基本不等式求最值等知識(shí)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?河池二模）若，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】等式與不等式的性質(zhì)；不等關(guān)系與不等式【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：，，，，即，故正確；不妨取，，，，，顯然，故錯(cuò)誤；，，，，即，故正確；，，，，，，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024?隨州模擬）設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由，根據(jù)，逐一判斷各選項(xiàng)即可．【解答】解：正實(shí)數(shù)，滿足，對(duì)于，即有，可得，即有，即有時(shí)，取得最小值4，故正確；對(duì)于，由，可得有最大值，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由，可得時(shí)，取得最大值，故正確；對(duì)于，由可得，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故正確．綜上可得，，均正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式及其應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．13．（2024?廣東模擬）若，，，則下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，依次求解．【解答】解：，對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故正確；對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故正確；對(duì)于，，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式及其應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．14．（2024?甘肅模擬）已知，，若，則A．的最大值為 B．的最小值為1 C．的最小值為8 D．的最小值為【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化法；邏輯推理【分析】對(duì)于，選項(xiàng)，直接由基本不等式即可求出最值；對(duì)于選項(xiàng)，化為，即可求出最小值；對(duì)于選項(xiàng)，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)，由，即，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，取等號(hào)，所以正確；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)，取等號(hào)，所以正確；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，取等號(hào)，所以正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．15．（2024?北京模擬）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則下列說法正確的是A．的最小值是4 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式的解法及應(yīng)用【分析】根據(jù)正實(shí)數(shù)，滿足，結(jié)合基本不等式分別判斷各選項(xiàng)即可．【解答】解：，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以的最小值為4，故正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故錯(cuò)誤；由基本不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以的最大值為，故正確；由基本不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以的最大值為，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式及相關(guān)結(jié)論在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?運(yùn)城二模）已知集合，，若，則的子集的個(gè)數(shù)為8．【答案】8．【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算；指、對(duì)數(shù)不等式的解法；交集及其運(yùn)算【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；整體思想；集合【分析】先求出集合，然后結(jié)合集合的交集運(yùn)算及元素與集合關(guān)系先求出，進(jìn)而可求，結(jié)合集合的并集及集合子集的個(gè)數(shù)規(guī)律即可求解．【解答】解：因?yàn)?，，，若，則，所以，即，，，，1，，子集個(gè)數(shù)為．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的交集及并集運(yùn)算，還考查了集合子集個(gè)數(shù)的判斷，屬于基礎(chǔ)題．17．（2024?靜安區(qū)二模）在下列關(guān)于實(shí)數(shù)、的四個(gè)不等式中，恒成立的是②③④．（請(qǐng)?zhí)钊肴空_的序號(hào)）①；②；③；④．【答案】②③④．【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；不等式【分析】根據(jù)基本不等式可判斷①不成立；作差比較法可判斷②④是否成立；根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可判斷③成立．【解答】解：，時(shí)，不成立，①不成立；，，②成立；，③成立；，，④成立．故答案為：②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的條件，絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，作差比較法的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．18．（2024?濮陽(yáng)模擬）設(shè)，，記為三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，則的最小值2．【答案】2．【考點(diǎn)】不等式比較大小【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式的解法及應(yīng)用【分析】分類討論的大小關(guān)系，轉(zhuǎn)化為利用均值不等式求兩個(gè)正數(shù)和的最小值，可分析最大值不小于和的一半，即可得出結(jié)論．【解答】解：由，，①當(dāng)時(shí)，，而，可得至少有一個(gè)不小于2，則的最小值為2；②當(dāng)時(shí)，，而，可得至少有一個(gè)不小于2，的最小值不小于2．綜上，的最小值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式比較大小，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?拉薩一模）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為2．【答案】2．【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：正數(shù)，滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?上海）已知，的最小值為12．【答案】12．【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式；整體思想【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：由，，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取最小值12，所以的最小值為12．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共5小題）21．（2024?雅安模擬）已知．（1）若，求的取值范圍；（2）求的最大值．【答案】（1）．（2）8．【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式求最值【專題】綜合法；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式的解法及應(yīng)用；整體思想【分析】（1）由得，則，可得結(jié)果．（2）利用基本不等式先求出的最值，再求出的最值，可得結(jié)果．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以且，所以，則，解得，又，所以的取值范圍為．（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．22．（2023?綿陽(yáng)模擬）已知函數(shù)，，且的解集為，．（1）求的值；（2）若，，，且，證明：．【考點(diǎn)】：基本不等式及其應(yīng)用【專題】34：方程思想；49：綜合法；59：不等式的解法及應(yīng)用【分析】（1）運(yùn)用絕對(duì)值的解法，即可得到所求值；（2）運(yùn)用乘1法和基本不等式，即可得到證明．【解答】解：（1）函數(shù)，，且的解集為，，可得的解集為，，即有，，，可得；（2）證明：，，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，取得等號(hào)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，注意運(yùn)用絕對(duì)值的含義，考查不等式的證明，注意運(yùn)用基本不等式，以及滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．23．（2023?陜西模擬）已知，，為正實(shí)數(shù)且．（1）求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】（1）的最小值為；（2）．【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】計(jì)算題；整體思想；對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）由已知條件，應(yīng)用三元柯西不等式求目標(biāo)式的最小值，注意等號(hào)成立條件；（2）由基本不等式可得，結(jié)合條件得，從而求、、的值，即可得的值．【解答】解：（1）由柯西不等式得，，故；當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)，等號(hào)成立；故的最小值為；（2）由基本不等式可得，，，，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，，時(shí)，等號(hào)成立，又，，即，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元柯西不等式及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．24．（2022?上海模擬）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?，則稱為“型函數(shù)”；若，則稱為“型函數(shù)”．（1）設(shè)，，，試判斷是“型函數(shù)”還是“型函數(shù)”；（2）設(shè)，，若既是“型函數(shù)”又是“型函數(shù)”，求實(shí)數(shù)，的值；（3）設(shè)，，，若為“型函數(shù)”，求（2）的取值范圍．【答案】（1）是“型函數(shù)”；（2），；（3），．【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域；基本不等式及其應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法【分析】（1）利用基本不等式以及雙勾函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域可求解；（2）分，和，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分類討論求解；（3）分不同的取值結(jié)合“型函數(shù)”的定義即可求范圍．【解答】解：（1）當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由于（1），（4），所以函數(shù)的值域?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以是“型函?shù)”；（2），定義域?yàn)?，，由題意得函數(shù)的值域也為，，顯然，否則值域不可能由負(fù)到正，當(dāng)，時(shí)，在，上單調(diào)遞增，則，得，；當(dāng)，時(shí)，在，上單調(diào)遞減，則得，；（3），，，由題意得函數(shù)的值域，，當(dāng)時(shí)，的最小值（1），當(dāng)時(shí)，的最小值（a），當(dāng)時(shí)，的最小值（3），當(dāng)時(shí)，的最大值（3），當(dāng)時(shí)，的最大值（1），因?yàn)椋?），由點(diǎn)所在的可行域，當(dāng)，時(shí)，（2）取最大值，最大值為2，當(dāng)（2）與相切，即，時(shí)，（2）取最小值，最小值為1，因此（2）的取值范圍是，．【點(diǎn)評(píng)】本題以新定義為載體，主要考查了基本不等式及函數(shù)單調(diào)性在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．25．（2022?全國(guó)四模）已知不等式的解集為，，．（1）若，或，求的最小值；（2）若，且，求的最小值．【答案】（1）的最小值為3；（2）的最小值等于．【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用；基本不等式及其應(yīng)用；不等式的基本性質(zhì)【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）不等式的解可轉(zhuǎn)化為方程的兩個(gè)根為1，2，由根與系數(shù)的關(guān)系求，，再利用絕對(duì)值的性質(zhì)求解的最小值即可；（2）由，且，可得，再利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）由于不等式的解集為，或，所以，可得，，即．（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），（2）當(dāng)時(shí)，不等式為，，因?yàn)?，，所以可得，所以，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），所以的最小值等于．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次不等式及二次方程的性質(zhì)應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．并集及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號(hào)語(yǔ)言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．圖形語(yǔ)言：．A∪B實(shí)際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運(yùn)算性質(zhì)：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．⑤A∪B＝B?A?B．⑥A∪B＝?，兩個(gè)集合都是空集．⑦A∪（?UA）＝U．⑧?U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解題方法點(diǎn)撥】解答并集問題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；注意并集中元素的互異性．不能重復(fù)．【命題方向】掌握并集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域聯(lián)合命題．2．交集及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號(hào)語(yǔ)言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說兩個(gè)集合沒有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個(gè)集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．3．等式與不等式的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．不等式的基本性質(zhì)（1）對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，有且只有以下三種情況之一成立：①a＞b?a﹣b＞0；②a＜b?a﹣b＜0；③a＝b?a﹣b＝0．（2）不等式的基本性質(zhì)①對(duì)稱性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數(shù)可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開方法則：a＞b＞0?（n∈N，且n＞1）．4．不等關(guān)系與不等式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】不等關(guān)系就是不相等的關(guān)系，如2和3不相等，是相對(duì)于相等關(guān)系來說的，比如與就是相等關(guān)系．而不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關(guān)系，第二層也就意味著它是個(gè)式子，比方說a＞b，a﹣b＞0就是不等式．不等式定理①對(duì)任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù)．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命題方向】例1：解不等式：sinx≥．解：∵sinx≥，∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），∴不等式sinx≥的解集為{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．這個(gè)題很典型，考查了不等式和三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，也體現(xiàn)了一般不等式喜歡與函數(shù)聯(lián)結(jié)的特點(diǎn)，這個(gè)題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個(gè)周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：當(dāng)ab＞0時(shí)，a＞b?．證明：由ab＞0，知＞0．又∵a＞b，∴a＞b，即；若，則∴a＞b．這個(gè)例題就是上面定理的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯(cuò)的，直接舉個(gè)反例即可，這種技巧在選擇題上用的最廣．5．不等式比較大小【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】不等式大小比較的常用方法（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量或放縮法；（8）圖象法．其中比較法（作差、作商）是最基本的方法．【命題方向】方法一：作差法典例1：若a＜0，b＜0，則p＝與q＝a+b的大小關(guān)系為（）A．p＜qB．p≤qC．p＞qD．p≥q解：p﹣q＝﹣a﹣b＝＝（b2﹣a2）＝，∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，若a＝b，則p﹣q＝0，此時(shí)p＝q，若a≠b，則p﹣q＜0，此時(shí)p＜q，綜上p≤q，故選：B方法二：利用函數(shù)的單調(diào)性典例2：三個(gè)數(shù)，，的大小順序是（）A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜解：由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，＞，由冪函數(shù)的單調(diào)性可知，＞，則＞＞，故＜＜，故選：B．6．基本不等式及其應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．實(shí)例解析例1：下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負(fù)數(shù)，則．B：．C：．D：．解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個(gè)基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對(duì)于C選項(xiàng)中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負(fù)值．故選：C．A選項(xiàng)告訴我們正數(shù)的要求是整個(gè)式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個(gè)組成元素；B分子其實(shí)可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個(gè)例題告訴我們對(duì)于一個(gè)式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？當(dāng)0＜x＜1時(shí)，如何求的最大值．解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，當(dāng)x≠0時(shí)，＝，用基本不等式若x＞0時(shí)，0＜y≤，若x＜0時(shí)，﹣≤y＜0，綜上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣與．這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個(gè)元素（函數(shù)）相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．【解題方法點(diǎn)撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【命題方向】技巧一：湊項(xiàng)點(diǎn)評(píng)：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當(dāng)0＜x＜4時(shí)，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個(gè)系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y＝的值域．解：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項(xiàng)，再將其分離．y＝＝＝（x+1）++5，當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時(shí)，y≥2+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）技巧四：換元對(duì)于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值．技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．技巧六：整體代換點(diǎn)評(píng)：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)．技巧七：取平方點(diǎn)評(píng)：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．7．運(yùn)用基本不等式求最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．【解題方法點(diǎn)撥】在運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)，可以將代數(shù)式分解成可以應(yīng)用均值不等式的形式．例如，要求代數(shù)式x+的最小值，可以利用均值不等式從而得出最小值為2，并且在x＝1時(shí)取到最小值．需要注意的是，運(yùn)用不等式時(shí)要確保代入的數(shù)值符合不等式的適用范圍，并進(jìn)行必要的等號(hào)條件驗(yàn)證．【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達(dá)式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設(shè)計(jì)等．例如，求解一個(gè)代數(shù)式的最小值，或設(shè)計(jì)一個(gè)幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用均值不等式進(jìn)行最值求解，并能正確代入和計(jì)算．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝1，則的最大值是_____．解：因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)．故答案為：．8．指、對(duì)數(shù)不等式的解法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根軸法）．步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的討論；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的討論．（2）分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則．（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解．（4）指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（5）對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（6）含絕對(duì)值不等式①應(yīng)用分類討論思想去絕對(duì)值；②應(yīng)用數(shù)形思想；③應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化．注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：9．其他不等式的解法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法其實(shí)最主要的就是兩點(diǎn)，第一點(diǎn)是判斷指、對(duì)數(shù)的單調(diào)性，第二點(diǎn)就是學(xué)會(huì)指數(shù)和指數(shù)，對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)之間的運(yùn)算，下面以例題為講解．【解題方法點(diǎn)撥】例1：已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）設(shè)h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＞0，h（x）為增，當(dāng)x＜1時(shí)，h'（x）＜0，h（x）為減，當(dāng)x＝1時(shí)，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．這里面是一個(gè)綜合題，解題的思路主要還是判斷函數(shù)的單調(diào)性，尤其是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查的重點(diǎn)其實(shí)是大家的計(jì)算能力．例2：已知函數(shù)f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴當(dāng)a＞1時(shí)，有，解得2＜x＜3．當(dāng)1＞a＞0時(shí)，有，解得1＜x＜2．綜上可得，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（2，3）；當(dāng)1＞a＞0時(shí)，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（1，2）．這個(gè)題考查的就是對(duì)數(shù)函數(shù)不等式的求解，可以看出主要還是求單調(diào)性，當(dāng)然也可以右邊移到左邊，然后變成一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)來求解也可以．【命題方向】本考點(diǎn)其實(shí)主要是學(xué)會(huì)判斷各函數(shù)的單調(diào)性，然后重點(diǎn)考察學(xué)生的運(yùn)算能力，也是一個(gè)比較重要的考點(diǎn)，希望大家好好學(xué)習(xí)．10．一元二次不等式及其應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式．特征當(dāng)△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當(dāng)△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當(dāng)△＝b2﹣4ac＜0時(shí)．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實(shí)根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點(diǎn)．【解題方法點(diǎn)撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個(gè)題的特點(diǎn)是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項(xiàng)寫成ax2+bx+c＜0的形式；然后應(yīng)用了特征當(dāng)中的第一條，把它寫成兩個(gè)一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是