2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練12

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練12一．選擇題（共10小題）1．（2024?九龍坡區(qū)校級模擬）已知，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)所在象限為A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2024?下陸區(qū)校級三模）已知復(fù)數(shù)，且，，則A． B． C． D．3．（2024?新鄭市校級一模）復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，4．（2024?安慶模擬）復(fù)數(shù)滿足，則A． B． C． D．5．（2024?泰州模擬）若復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為A． B． C．1 D．6．（2024?張家口模擬）已知復(fù)數(shù)，，下列說法正確的有A．若，則 B．若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則 C．若，則 D．若，則或7．（2024?西充縣模擬）已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（2024?寧波二模）已知復(fù)數(shù)的實(shí)部大于等于1，則的最小值為A． B． C． D．9．（2024?遼寧模擬）已知復(fù)數(shù)滿足且有，則A． B． C． D．10．（2023?鎮(zhèn)安縣校級模擬）已知為虛數(shù)單位，則A． B． C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?南通模擬）已知，都是復(fù)數(shù)，下列正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則12．（2024?船營區(qū)校級模擬）已知復(fù)數(shù)，滿足：為純虛數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是A． B． C．的最小值為3 D．的最小值為313．（2024?重慶模擬）已知復(fù)數(shù)，均不為0，則A． B． C． D．14．（2024?廬陽區(qū)校級模擬）已知復(fù)數(shù)，，，下列結(jié)論正確的有A．若復(fù)數(shù)滿足，則 B．若，滿足，則 C．若，則 D．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是橢圓15．（2024?瓊海模擬）設(shè)，為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是A．若為虛數(shù)，則也為虛數(shù) B．若，則的最大值為 C． D．三．填空題（共5小題）16．（2024?荊州區(qū)校級模擬）棣莫弗定理：若為正整數(shù)，則，其中為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)，則，的實(shí)部為．17．（2024?貴州模擬）如果復(fù)數(shù)，，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，，復(fù)數(shù)滿足，且，則的最大值為．18．（2023?福建學(xué)業(yè)考試）已知是虛數(shù)單位，則．19．（2022?蘇州三模）任何一個(gè)復(fù)數(shù)（其中、，為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式．法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理．根據(jù)以上信息，若，時(shí)，則；對于，，．20．（2022?重慶模擬）任何一個(gè)復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，，都可以表示為，的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉首先發(fā)現(xiàn)為自然對數(shù)的底數(shù)），此結(jié)論被稱為“歐拉公式”，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．因此可得．由復(fù)數(shù)相等可知對，存在一個(gè)關(guān)于的次多項(xiàng)式，，，使得，這樣的多項(xiàng)式被稱為“切比雪夫多項(xiàng)式”，由知，則；運(yùn)用探求切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得．四．解答題（共5小題）21．（2024?貴陽模擬）在復(fù)數(shù)集中有這樣一類復(fù)數(shù)：與，我們把它們互稱為共軛復(fù)數(shù)，時(shí)它們在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，這是共軛復(fù)數(shù)的特點(diǎn)．它們還有如下性質(zhì)：（1）（2）（當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)）（3）（4）（5）．（6）兩個(gè)復(fù)數(shù)和、差、積、商（分母非零）的共軛復(fù)數(shù)，分別等于兩個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的和、差、積、商．請根據(jù)所學(xué)復(fù)數(shù)知識，結(jié)合以上性質(zhì)，完成下面問題：（1）設(shè)，．求證：是實(shí)數(shù)；（2）已知，，，求的值；（3）設(shè)，其中，是實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值．22．（2024?大祥區(qū)校級模擬）高中教材必修第二冊選學(xué)內(nèi)容中指出：設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)，，則任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成：的形式，這種形式叫做復(fù)數(shù)三角形式，其中是復(fù)數(shù)的模，稱為復(fù)數(shù)的輻角，若，則稱為復(fù)數(shù)的輻角主值，記為．復(fù)數(shù)有以下三角形式的運(yùn)算法則：若，，2，，則：，特別地，如果，那么，這個(gè)結(jié)論叫做棣莫弗定理．請運(yùn)用上述知識和結(jié)論解答下面的問題：（1）求復(fù)數(shù)，的模和輻角主值（用表示）；（2）設(shè)，，若存在滿足，那么這樣的有多少個(gè)？（3）求和：．23．（2024?西山區(qū)模擬）我們把（其中，稱為一元次多項(xiàng)式方程．代數(shù)基本定理：任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式方程（即，，，，為實(shí)數(shù)）在復(fù)數(shù)集內(nèi)至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根；由此推得，任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)化為個(gè)一元一次多項(xiàng)式的積．即，其中，，，，，，為方程的根．進(jìn)一步可以推出：在實(shí)系數(shù)范圍內(nèi)（即，，，，為實(shí)數(shù)），方程的有實(shí)數(shù)根，則多項(xiàng)式必可分解因式．例如：觀察可知，是方程的一個(gè)根，則一定是多項(xiàng)式的一個(gè)因式，即，由待定系數(shù)法可知，．（1）解方程：；（2）設(shè)，其中，，，，且．分解因式：；記點(diǎn)，是的圖象與直線在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn)．求證：當(dāng)時(shí)，．24．（2022?上海模擬）設(shè)復(fù)數(shù)，，其中，．（1）若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，求的值；（2）求的取值范圍．25．（2022?寶山區(qū)校級二模）已知虛數(shù)，其中，，為虛數(shù)單位．①若對任意，均有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；②若，恰好是某實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)解，求，的值．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練12參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?九龍坡區(qū)校級模擬）已知，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)所在象限為A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復(fù)數(shù)的運(yùn)算【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，因?yàn)?，所以它在?fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)位于第四象限．故選：．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，涉及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?下陸區(qū)校級三模）已知復(fù)數(shù)，且，，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)【分析】由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的條件即可求解．【解答】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，則，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)當(dāng)，時(shí)，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等條件的應(yīng)用，屬于中檔題．3．（2024?新鄭市校級一模）復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)已知條件可得，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，兩條坐標(biāo)軸為對稱軸，長軸長為4的橢圓，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，兩條坐標(biāo)軸為對稱軸，長軸長為4的橢圓，即，解得，該橢圓的短軸長，表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，則的最大值為橢圓的長半軸，最小值為短半軸，故的取值范圍為，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．4．（2024?安慶模擬）復(fù)數(shù)滿足，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及模的求解公式即可求解．【解答】解：由已知可得，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及模的求解，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?泰州模擬）若復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為A． B． C．1 D．【答案】【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的?！緦ｎ}】數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；定義法【分析】根據(jù)已知條件得出所對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而可求的最小值．【解答】解：設(shè)，則，整理得，即所對應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則的最小值為點(diǎn)到的距離：．故選：．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．6．（2024?張家口模擬）已知復(fù)數(shù)，，下列說法正確的有A．若，則 B．若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則 C．若，則 D．若，則或【答案】【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的?！緦ｎ}】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】對于，令，即可判斷；對于，令即可判斷；對于，由韋達(dá)定理即可驗(yàn)算；對于，由共軛復(fù)數(shù)以及模的運(yùn)算公式即可判斷．【解答】解：對于，令，，顯然，但，都不等于0，故錯(cuò)誤；對于，由于一元二次方程的虛根是以共軛復(fù)數(shù)的形式成對出現(xiàn)的，所以若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則也是關(guān)于的方程的一個(gè)根，從而由韋達(dá)定理有，故錯(cuò)誤；對于，設(shè)，而，所以，故正確；對于，取，顯然有，但不滿足且，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題．7．（2024?西充縣模擬）已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復(fù)數(shù)的運(yùn)算【專題】定義法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)【分析】設(shè)，代入，整理后利用復(fù)數(shù)相等的條件列式求解與的值，則答案可求．【解答】解：設(shè)，代入，得，，則，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限．故選：．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．8．（2024?寧波二模）已知復(fù)數(shù)的實(shí)部大于等于1，則的最小值為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的?！緦ｎ}】數(shù)據(jù)分析；數(shù)形結(jié)合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)實(shí)部大于等于1，得出，的取值范圍，從而轉(zhuǎn)化為距離的最小值．【解答】解：由題意，設(shè)，，則，且，即，則，最小值為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則與復(fù)數(shù)相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9．（2024?遼寧模擬）已知復(fù)數(shù)滿足且有，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算【專題】定義法；方程思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)【分析】設(shè)為虛數(shù)單位），由棣莫佛公式可知，根據(jù)平方關(guān)系求出，從而求出，即可得解．【解答】解：設(shè)為虛數(shù)單位），由棣莫佛公式可知，因?yàn)椋?，即，所以，即，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．10．（2023?鎮(zhèn)安縣校級模擬）已知為虛數(shù)單位，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則計(jì)算可得．【解答】解：．故選：．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共5小題）11．（2024?南通模擬）已知，都是復(fù)數(shù)，下列正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【答案】【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模；共軛復(fù)數(shù)【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；整體思想【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：若，則，正確；當(dāng)，滿足，顯然錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，滿足，但，，顯然錯(cuò)誤；設(shè)，，，，都為實(shí)數(shù)），若，則，所以，所以，即，正確．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了分析問題的能力，屬于中檔題．12．（2024?船營區(qū)校級模擬）已知復(fù)數(shù)，滿足：為純虛數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是A． B． C．的最小值為3 D．的最小值為3【答案】【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；純虛數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】借助復(fù)數(shù)的基本概念與模長運(yùn)算可得；借助復(fù)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得；借助圓與直線的距離可得、．【解答】解：為純虛數(shù)，可設(shè)，，選項(xiàng)正確；對：設(shè)，，則，即，則所對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，，選項(xiàng)正確；對為純虛數(shù)，對應(yīng)點(diǎn)在軸上（除去原點(diǎn)），所對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，的取值范圍為，無最小值，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對，表示點(diǎn)到以為圓心，以2為半徑的圓上的點(diǎn)的距離，為純虛數(shù)或0，在軸上（除去點(diǎn)，當(dāng)時(shí)取得最小值3，選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的模長公式，復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．13．（2024?重慶模擬）已知復(fù)數(shù)，均不為0，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷可得答案．【解答】解：復(fù)數(shù)，均不為0，對于，不妨令，則，，，錯(cuò)誤；對于，，正確；對于，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，正確；對于，，故，正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．14．（2024?廬陽區(qū)校級模擬）已知復(fù)數(shù)，，，下列結(jié)論正確的有A．若復(fù)數(shù)滿足，則 B．若，滿足，則 C．若，則 D．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是橢圓【答案】【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；邏輯推理；轉(zhuǎn)化思想；方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)【分析】設(shè)，由，得出，判斷選項(xiàng)即可；設(shè)，，，，計(jì)算，，由，得出，判斷選項(xiàng)即可；由，利用模長公式，計(jì)算即可得出不一定為0，判斷選項(xiàng)即可；設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)，由，結(jié)合橢圓的定義，即可判斷選項(xiàng)．【解答】解：設(shè)，由，得，所以，選項(xiàng)正確；設(shè)，，，，則，，所以，即，因?yàn)?，即，所以，至少有一個(gè)不為零，不妨設(shè)，由，可得，所以，所以，即，，選項(xiàng)正確；由，可得，所以，而，不一定為0，選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)，記，，由，得，這符合橢圓定義，選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的定義與運(yùn)算問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是中檔題．15．（2024?瓊海模擬）設(shè)，為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是A．若為虛數(shù)，則也為虛數(shù) B．若，則的最大值為 C． D．【答案】【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；對應(yīng)思想【分析】對于，由為虛數(shù)，得為虛數(shù)，從而可判斷，對于，由進(jìn)行判斷，對于，設(shè)，，，，，然后分別求解進(jìn)行判斷，對于，根據(jù)復(fù)數(shù)的向量表示及向量的不等式分析判斷．【解答】解：對于，因?yàn)闉樘摂?shù)，為實(shí)數(shù)，所以為虛數(shù)，所以也為虛數(shù)，所以正確，對于，當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，所以錯(cuò)誤，對于，設(shè)，，，，，則，，所以，，所以，所以正確，對于，設(shè)，確定的向量分別為，則由向量不等式得，所以恒成立，所以正確，故選：．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?荊州區(qū)校級模擬）棣莫弗定理：若為正整數(shù)，則，其中為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)，則985，的實(shí)部為．【答案】985；．【考點(diǎn)】共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的三角表示【專題】整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；綜合法【分析】化解復(fù)數(shù)，由棣莫弗定理可得，，根據(jù)復(fù)數(shù)模及共軛復(fù)數(shù)定義即可求解．【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以由棣莫弗定理可得，，所以．所以，所以的實(shí)部為．故答案為：985；．【點(diǎn)評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的三角表示的應(yīng)用，屬于中檔題．17．（2024?貴州模擬）如果復(fù)數(shù)，，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，，復(fù)數(shù)滿足，且，則的最大值為．【答案】．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復(fù)數(shù)的?！緦ｎ}】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)【分析】先將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，然后用距離公式對條件進(jìn)行變形，得到，由此可以證明，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算將表示為關(guān)于，的表達(dá)式，利用，即可證明，再舉例說明能求出的最大值．【解答】解：復(fù)數(shù)，，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，，，，，，，，，，，，條件即為，展開得到，再化簡得，，，，，，，，，，，，，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)，時(shí)，條件滿足，此時(shí)，的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義、距離公式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．18．（2023?福建學(xué)業(yè)考試）已知是虛數(shù)單位，則2．【考點(diǎn)】：復(fù)數(shù)的運(yùn)算【專題】：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．【解答】解：．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（2022?蘇州三模）任何一個(gè)復(fù)數(shù)（其中、，為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式．法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理．根據(jù)以上信息，若，時(shí)，則；對于，，．【答案】（1）；（2）．【考點(diǎn)】數(shù)列與三角函數(shù)的綜合【專題】對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；推理和證明；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】利用給定定理直接計(jì)算即得；令，求出等比數(shù)列前項(xiàng)的和，再利用復(fù)數(shù)相等求解作答．【解答】解：當(dāng)，時(shí)，，所以；，令，則，，，，而，則，，所以，．故答案為：；．【點(diǎn)評】涉及復(fù)數(shù)的次冪的求和問題，可把視為等比數(shù)列的第項(xiàng)，再借助數(shù)列問題求解．20．（2022?重慶模擬）任何一個(gè)復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，，都可以表示為，的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉首先發(fā)現(xiàn)為自然對數(shù)的底數(shù)），此結(jié)論被稱為“歐拉公式”，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．因此可得．由復(fù)數(shù)相等可知對，存在一個(gè)關(guān)于的次多項(xiàng)式，，，使得，這樣的多項(xiàng)式被稱為“切比雪夫多項(xiàng)式”，由知，則；運(yùn)用探求切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得．【答案】；【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的三角表示；類比推理【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)【分析】根據(jù)以及“切比雪夫多項(xiàng)式”即可求解出；利用，代入即可求解．【解答】解：，所以，取，則，所以，所以，則且，解得：．故答案為：；．【點(diǎn)評】本題考查歐拉公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?貴陽模擬）在復(fù)數(shù)集中有這樣一類復(fù)數(shù)：與，我們把它們互稱為共軛復(fù)數(shù)，時(shí)它們在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，這是共軛復(fù)數(shù)的特點(diǎn)．它們還有如下性質(zhì)：（1）（2）（當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)）（3）（4）（5）．（6）兩個(gè)復(fù)數(shù)和、差、積、商（分母非零）的共軛復(fù)數(shù)，分別等于兩個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的和、差、積、商．請根據(jù)所學(xué)復(fù)數(shù)知識，結(jié)合以上性質(zhì)，完成下面問題：（1）設(shè)，．求證：是實(shí)數(shù)；（2）已知，，，求的值；（3）設(shè)，其中，是實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值．【答案】（1）證明見解答；（2）；（3），．【考點(diǎn)】共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；整體思想【分析】（1）設(shè)，利用，，可證得是實(shí)數(shù)；（2）設(shè)，結(jié)合題意，可得關(guān)于，的方程組，解之即可；（3）設(shè)，，依題意，可得，從而可求得的最大值和最小值．【解答】解：（1）證明：設(shè)，，，，，是實(shí)數(shù)；（2）設(shè)，則，，，，①；又，②；聯(lián)立①②，解得，，；（3），設(shè)，，則，，，，．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及方程思想的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．22．（2024?大祥區(qū)校級模擬）高中教材必修第二冊選學(xué)內(nèi)容中指出：設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)，，則任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成：的形式，這種形式叫做復(fù)數(shù)三角形式，其中是復(fù)數(shù)的模，稱為復(fù)數(shù)的輻角，若，則稱為復(fù)數(shù)的輻角主值，記為．復(fù)數(shù)有以下三角形式的運(yùn)算法則：若，，2，，則：，特別地，如果，那么，這個(gè)結(jié)論叫做棣莫弗定理．請運(yùn)用上述知識和結(jié)論解答下面的問題：（1）求復(fù)數(shù)，的模和輻角主值（用表示）；（2）設(shè)，，若存在滿足，那么這樣的有多少個(gè)？（3）求和：．【答案】（1）；．（2）506．（3）1017．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的相等【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；邏輯推理；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)模及輻角主值的定義，結(jié)合三角變換求解即得．（2）利用給定定理，結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算，再借助正余弦函數(shù)的周期性求解即可．（3）令，利用等比數(shù)列及錯(cuò)位相減法求出，再利用復(fù)數(shù)相等即可得解．【解答】解：（1）由復(fù)數(shù)，，，，得，，，，，，，，．（2）由，，，，，解得，，，，，，符合條件的有506個(gè)，這樣的有506個(gè)．（3）令，而，則，令，則，兩邊同乘，得：，，，，．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)模、輻角主值的定義、三角變換、誘導(dǎo)公式、正余弦函數(shù)的周期性、等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法、復(fù)數(shù)相等等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是難題．23．（2024?西山區(qū)模擬）我們把（其中，稱為一元次多項(xiàng)式方程．代數(shù)基本定理：任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式方程（即，，，，為實(shí)數(shù)）在復(fù)數(shù)集內(nèi)至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根；由此推得，任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)化為個(gè)一元一次多項(xiàng)式的積．即，其中，，，，，，為方程的根．進(jìn)一步可以推出：在實(shí)系數(shù)范圍內(nèi)（即，，，，為實(shí)數(shù)），方程的有實(shí)數(shù)根，則多項(xiàng)式必可分解因式．例如：觀察可知，是方程的一個(gè)根，則一定是多項(xiàng)式的一個(gè)因式，即，由待定系數(shù)法可知，．（1）解方程：；（2）設(shè)，其中，，，，且．分解因式：；記點(diǎn)，是的圖象與直線在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn)．求證：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1），，；（2）；證明過程見解析．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化【分析】（1）觀察可知是方程的一個(gè)根，所以設(shè)，對照可得，，，得到，即可求出方程的根；（2）是方程的一個(gè)根，所以設(shè)，對照可得，，，從而可得出答案；令，故是方程的最小正實(shí)根，由知，設(shè)，根據(jù)開口方向，結(jié)合，則一定有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，設(shè)正實(shí)根為，結(jié)合時(shí)，（1），故，得到．【解答】解：（1）觀察可知：是方程的一個(gè)根；分所以：，由待定系數(shù)法可知，，，；所以，即或，則方程的根為，，；分（2）由可知：是方程的一個(gè)根，所以：，由待定系數(shù)法可知，，，，所以；分令，即，點(diǎn)，是的圖象與直線在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn)，等價(jià)于是方程的最小正實(shí)根；分由知：是方程的一個(gè)正實(shí)根，且，分設(shè)，由，，，可知為開口向上的二次函數(shù)，又因?yàn)?，則一定有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，設(shè)正實(shí)根為，又，可得，所以（1），當(dāng)時(shí)，（1），由二次函數(shù)單調(diào)性可知，即是方程的最小正實(shí)根．分【點(diǎn)評】本題考查三次函數(shù)，解題關(guān)鍵是需要求解出三次函數(shù)的零點(diǎn)，可以先求出一個(gè)零點(diǎn)后將三次函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)再進(jìn)行解題．24．（2022?上海模擬）設(shè)復(fù)數(shù)，，其中，．（1）若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，求的值；（2）求的取值范圍．【答案】（1）．（2）．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的乘除法法則，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換公式，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：（1）復(fù)數(shù)，，，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，，即，，，．（2），，，，，，，即，的取值范圍為．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．25．（2022?寶山區(qū)校級二模）已知虛數(shù)，其中，，為虛數(shù)單位．①若對任意，均有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；②若，恰好是某實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)解，求，的值．【答案】①，；②當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模【專題】方程思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】①依題意，得，再利用，可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；②由，恰好是某實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)解，可得，解之即可求得，的值．【解答】解：，①若對任意，均有，即，即，，，，即，；②，，，恰好是某實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)解，，且，即，解得，或，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，代入，得，，或，此時(shí)或．綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的概念性質(zhì)及綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及方程思想的運(yùn)用，考運(yùn)算求解能力，屬于難題．

考點(diǎn)卡片1．?dāng)?shù)列與三角函數(shù)的綜合【知識點(diǎn)的認(rèn)識】函數(shù)、數(shù)列、解析幾何作為高中數(shù)學(xué)的主要軀干，蘊(yùn)含著諸多的數(shù)學(xué)思想和方法（數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化和歸納等），因而一直是高考的重點(diǎn)．尤其是它們互相之間及和其他數(shù)學(xué)知識（如復(fù)數(shù)、向量等）之間的互相滲透、互相聯(lián)系，更為高考命題帶來廣闊的空間．而傳統(tǒng)的章節(jié)復(fù)習(xí)法使學(xué)生分散地學(xué)習(xí)知識，對各個(gè)章節(jié)的聯(lián)系和滲透考慮較少，從而造成對一些綜合題心存膽怯．近幾年高考中常見的函數(shù)﹣數(shù)列﹣解析幾何綜合題就是其中的典型．【解題方法點(diǎn)撥】事實(shí)上，無論是函數(shù)、數(shù)列還是解析幾何中的曲線（包括復(fù)數(shù)、向量），都表現(xiàn)出數(shù)和形兩種狀態(tài)，數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)；函數(shù)的圖象（解析式）則可看作解析幾何中一種特殊的形（方程）；而復(fù)數(shù)、向量的坐標(biāo)順理成章地使它們與函數(shù)、數(shù)列及解析幾何發(fā)生聯(lián)系．解函數(shù)﹣數(shù)列﹣解析幾何綜合題首先是建立在對數(shù)學(xué)基本概念理解的基礎(chǔ)上，然后抓住概念間內(nèi)在的聯(lián)系，將問題轉(zhuǎn)化為較熟悉的數(shù)學(xué)問題予以解決，當(dāng)然這也離不開對各章節(jié)內(nèi)部的扎實(shí)基本功．2．純虛數(shù)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a，b分別叫做它的實(shí)部和虛部，當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，叫做純虛數(shù)．純虛數(shù)也可以理解為非零實(shí)數(shù)與虛數(shù)單位i相乘得到的結(jié)果．【解題方法點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)是一一對飲的，這為形與數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化提供了一條重要思路．要完整理解復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的等價(jià)條件，復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)的充要條件是a＝0，b≠0．實(shí)數(shù)集和虛數(shù)集的并集是全體復(fù)數(shù)集．虛數(shù)中包含純虛數(shù)，即由純虛數(shù)構(gòu)成的集合可以看成是虛數(shù)集的一個(gè)真子集．【命題方向】純虛數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，是歷年高考的熱點(diǎn)，考察學(xué)生的基本運(yùn)算能力．常見的命題角度有：（1）復(fù)數(shù)的概念；（2）復(fù)數(shù)的模；（3）復(fù)數(shù)相等的四則運(yùn)算；（4）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)．3．復(fù)數(shù)的相等【知識點(diǎn)的認(rèn)識】復(fù)數(shù)z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等，即a1＝a2和b1＝b2．【解題方法點(diǎn)撥】﹣比較分量：通過比較兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，判斷它們是否相等．﹣應(yīng)用：在復(fù)數(shù)方程中使用復(fù)數(shù)相等的條件求解未知數(shù)．【命題方向】﹣復(fù)數(shù)相等的判定：考查如何根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部判斷復(fù)數(shù)的相等．﹣復(fù)數(shù)方程的應(yīng)用：如何在復(fù)數(shù)方程中應(yīng)用復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)．4．復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，且原點(diǎn)（0，0），對應(yīng)復(fù)數(shù)0．即復(fù)數(shù)z＝a+bi→復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a，b）→平面向量．2、除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量的一一對應(yīng)關(guān)系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z0對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．3、復(fù)數(shù)中的解題策略：（1）證明復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的策略：①z＝a+bi∈R?b＝0（a，b∈R）；②z∈R?＝z．（2）證明復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的策略：①z＝a+bi為純虛數(shù)?a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0時(shí)，z﹣＝2bi為純虛數(shù)；③z是純虛數(shù)?z+＝0且z≠0．5．復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，且原點(diǎn)（0，0），對應(yīng)復(fù)數(shù)0．即復(fù)數(shù)z＝a+bi→復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a，b）→平面向量．2、除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量的一一對應(yīng)關(guān)系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z0對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．【解題方法點(diǎn)撥】﹣點(diǎn)的表示：將復(fù)數(shù)a+bi作為復(fù)平面上的點(diǎn)（a，b）進(jìn)行圖示．﹣幾何運(yùn)算：利用復(fù)平面上的點(diǎn)進(jìn)行幾何運(yùn)算和分析．【命題方向】﹣復(fù)平面的幾何表示：考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的點(diǎn)表示及其幾何意義．﹣復(fù)數(shù)的幾何應(yīng)用：如何在復(fù)平面中使用復(fù)數(shù)解決幾何問題．6．共軛復(fù)數(shù)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】實(shí)部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)，叫做互為共軛復(fù)數(shù)．如2+3i與2﹣3i互為共軛復(fù)數(shù)，用數(shù)學(xué)語言來表示即：復(fù)數(shù)Z＝a+bi的共軛復(fù)數(shù)＝a﹣bi．【解題方法點(diǎn)撥】共軛復(fù)數(shù)的常見公式有：；；；【命題方向】共軛復(fù)數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，要求能夠掌握共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，并能將復(fù)數(shù)的共軛加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算進(jìn)行推廣．運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)運(yùn)算解決一些簡單的復(fù)數(shù)問題，提高數(shù)學(xué)符號變換的能力，培優(yōu)學(xué)生類比推廣思想，從特殊到一般的方法和探究方法．7．復(fù)數(shù)的模【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．復(fù)數(shù)的概念：形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a+bi為實(shí)數(shù)；若b≠0，則a+bi為虛數(shù)；若a＝0，b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．2、復(fù)數(shù)相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共軛復(fù)數(shù)：a+