2024-2025學(xué)年山東省青島市高一上冊期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省青島市高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題說明：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．滿分150分．答題時(shí)間120分鐘．2．請將第Ⅰ卷題目的答案選出后用2B鉛筆涂在答題紙對應(yīng)題目的代號(hào)上；第Ⅱ卷用黑色簽字筆將正確答案寫在答題紙對應(yīng)的位置上，答在試卷上作廢．第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求交集.【詳解】由題意可得，，所以.故選：B.2.下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】B【分析】求出兩個(gè)函數(shù)定義域以及化簡對應(yīng)關(guān)系.若兩個(gè)函數(shù)定義域相同且對應(yīng)關(guān)系相同，則這兩個(gè)函數(shù)相同，進(jìn)而判斷答案.【詳解】對A，的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，則A錯(cuò)誤；對B，和的定義域均為R，且，則B正確；對C，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)镽，則C錯(cuò)誤；對D，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)镽，則D錯(cuò)誤.故選：B.3.已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】C【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題求解即可.【詳解】由命題p：，得否定：，.故選：C.4.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大?。驹斀狻俊呤菧p函數(shù)，，所以，又，∴．故選：C．5.下列命題為假命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若且，則 D.若且，則【正確答案】A【分析】對于A：舉例分析判斷；對于BC：根據(jù)不等式的性質(zhì)分析判斷；對于D：根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合作差法分析判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：例如，則，故A為假命題；對于選項(xiàng)B：若，則，即，故B為真命題；對于選項(xiàng)C：若，則，可得，因?yàn)?，所以，故C為真命題；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，可得，故D為真命題；故選：A.6.“冪函數(shù)在上為增函數(shù)”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【正確答案】A【分析】要使函數(shù)fx=m2+m?1xm是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，求出，可得函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；函數(shù)【詳解】要使函數(shù)fx=m則m2+m?1=1m>0，解得：，當(dāng)時(shí)，gx=則g?x=2“函數(shù)gx=2則gx=?g?x解得：，故必要性不成立，故選：A．7.已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.-8 B.-4 C.4 D.8【正確答案】D【分析】先求出，然后代入求解，最后利用偶函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】由，解得，則.所以，因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以.故選：D8.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由函數(shù)的奇偶性與特殊的函數(shù)值對選項(xiàng)逐一判斷，【詳解】由題意得，則是偶函數(shù)，故B，C錯(cuò)誤，，故D錯(cuò)誤，故選：A二、選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.函數(shù)（且）的圖象恒過點(diǎn)B.在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)C.，且，則D.函數(shù)的單增區(qū)間是【正確答案】AC【分析】對于A：根據(jù)指數(shù)函數(shù)定點(diǎn)分析判斷；對于B：舉反例說明即可；對于C：先將指數(shù)式化為對數(shù)式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算求解；對于D：結(jié)合函數(shù)定義域分析判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：令，可得，，所以函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)，故A正確；對于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在定義域上不是單調(diào)遞增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，可得，則，且且，所以，故C正確；對于選項(xiàng)D：令，解得，可知函數(shù)定義域?yàn)?，可知函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間不可能為，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.下列函數(shù)中，對任意，，，滿足條件的有（）．A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】結(jié)合已知條件，根據(jù)函數(shù)的凸凹性即可求解.【詳解】由題意可知，在上是下凸函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知，AB正確；由冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知，C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.11.已知，，且，下列結(jié)論中正確的是（）A.的最大值是 B.的最小值是2C.的最小值是9 D.的最小值是【正確答案】ACD【分析】根據(jù)題意，利用題設(shè)條件，結(jié)合基本不等式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，且，對于A，由，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則最大值為，故A正確；對于B，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故B錯(cuò)誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是9，故C正確；對于D，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則的最小值是，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，則的定義域是______．【正確答案】或【分析】復(fù)合函數(shù)定義域求法:若的定義域?yàn)?則有意義要首先滿足.【詳解】的定義域?yàn)?，∴需滿足：，解得，∴的定義域是或．故或．13.已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)___________.【正確答案】或16【分析】分兩種情況分別求出的表達(dá)式，得到關(guān)于的方程，解方程即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，由題意知，，解得符合題意；當(dāng)時(shí)，由題意知，，解得（舍），符合題意；綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為16或.故答案為:16或.14.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意的，，，滿足：，若，則不等式的解集為___________.【正確答案】【分析】令，可得函數(shù)利是定義在上的偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞增，原不等式等價(jià)于，分析可得答案.【詳解】令，由是定義在上的奇函數(shù)，可得是定義在上的偶函數(shù)，由對任意的，，，滿足：，可得在(0,+∞)上單調(diào)遞增，由，可得，所以在上單調(diào)遞減，且，不等式，即為，即，可得或，即或解得或.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.求值：（1）；（2）；（3）已知，求式子的值．【正確答案】（1）18（2）（3）【分析】（1）將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算求解；（2）根據(jù)對數(shù)的定義和運(yùn)算求解即可；（3）根據(jù)平方關(guān)系依次求得，，進(jìn)而可得結(jié)果.【小問1詳解】.【小問2詳解】.【小問3詳解】因?yàn)?，顯然，則，即，又因?yàn)?，且，可得，所?16.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有．（1）求函數(shù)在上的解析式；（2）用定義證明在上的單調(diào)性，并求函數(shù)的值域；；（3）解關(guān)于的不等．【正確答案】（1）；（2）證明見解析，值域?yàn)?；?）．【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義求解析式；（2）由單調(diào)性定義證明單調(diào)性，單調(diào)性求值域；（2）根據(jù)奇偶性和單調(diào)性解不等式．【小問1詳解】是偶函數(shù)，所以時(shí)，，所以.【小問2詳解】設(shè)是上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則，又，所以，所以，即，所以在上是減函數(shù)，是偶函數(shù)，則在上是增函數(shù)，，又，所以的值域是．【小問3詳解】是偶函數(shù)，則不等式化為，又在是增函數(shù)，所以，，，或，所以不等式的解集為．17.已知函數(shù)，（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在的最小值；（3）已知，：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；：當(dāng)時(shí)，是單調(diào)函數(shù)．若，一真一假，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）（2）答案見詳解（3）或【分析】（1）根據(jù)題意利用配湊法求函數(shù)解析式；（2）分和兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)恒成立問題求p，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求q，分析可知p與q真假性相反，列式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?【小問2詳解】因?yàn)榈膱D象開口向上，對稱軸為，顯然，若，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)；若，此時(shí).【小問3詳解】若為真，不等式，即對任意的恒成立，而函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為，可知在上單調(diào)遞減，且，則；函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為，若為真，即在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則或，解得或；由p，q一真一假，則或，解得或，所以實(shí)數(shù)取值范圍為或.18.隨著城市地鐵建設(shè)的持續(xù)推進(jìn)，市民的出行也越來越便利，根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，某條地鐵線路運(yùn)行時(shí)，發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足:，平均每班地鐵的載客人數(shù)（單位：人）與發(fā)車時(shí)間間隔近似地滿足函數(shù)關(guān)系：，（1）若平均每班地鐵的載客人數(shù)不超過1560人，試求發(fā)車時(shí)間間隔的取值范圍；（2）若平均每班地鐵每分鐘的凈收益為（單位：元），則當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，平均每班地鐵每分鐘的凈收益最大？并求出最大凈收益.【正確答案】（1）；（2），最大值為260元.分析】（1）根據(jù)題意即求解不等式；（2）根據(jù)題意求出的解析式，利用函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求最值.【詳解】（1）當(dāng)，超過1560，所以不滿足題意；當(dāng)，載客人數(shù)不超過1560，即，解得或，由于所以；（2）根據(jù)題意，則根據(jù)基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，所以，即當(dāng)時(shí)，平均利潤的最大值為260元，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，綜上所述，最大值260元.此題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，關(guān)鍵在于根據(jù)題目所給模型，準(zhǔn)確求解不等式，或根據(jù)函數(shù)關(guān)系求出最值，基本不等式求最值注意等號(hào)成立的條件.19.對于函數(shù)，若其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)滿足，則稱為“偽奇函數(shù)”．（1）已知函數(shù)，試問是否為“偽奇函數(shù)”？說明理由；（2）若冪函數(shù)使得為定義在上的“偽奇函數(shù)”，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得是定義在上的“偽奇函數(shù)”，若存在，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）不是；（2）；（3）．【分析】（1）先假設(shè)為“偽奇函數(shù)”，然后推出矛盾即可說明；（2）先根據(jù)冪函數(shù)確定出的解析式，然后將問題轉(zhuǎn)化為“在上有解”，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域以及對勾函數(shù)的單調(diào)性求解出的取值范圍；（3）將問題轉(zhuǎn)化為“在上有解”，通過換元法結(jié)合二次函數(shù)的零點(diǎn)分布求解出的取值范圍.【詳解】（1）假設(shè)為“偽奇函數(shù)”，存在滿足，有解，化為，無解，不是“偽奇函數(shù)”；（2）為冪函數(shù)，，，，為定義在的“偽奇函數(shù)”，在上有解，在上有解，令，在上有解，又對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單