2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之概率（2024年7月）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之概率（2024年7月）一．選擇題（共10小題）1．如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng)．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）A．14 B．π8 C．12 2．從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（）A．110 B．15 C．310 3．有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立 C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立4．投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.3125．某公司的班車(chē)在7：00，8：00，8：30發(fā)車(chē)，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē)，且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是（）A．13 B．12 C．23 6．我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是（）A．516 B．1132 C．2132 7．某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，D（X）＝2.4，P（X＝4）＜P（X＝6），則p＝（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.38．某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.459．某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為（）A．710 B．58 C．38 10．從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為（）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3二．填空題（共5小題）11．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率是．12．一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX＝．13．盒中有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球．從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹梗O(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為ξ，則P（ξ＝0）＝，E（ξ）＝．14．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，則P（X＞2.5）＝．15．從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．三．解答題（共5小題）16．某工廠(chǎng)的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶(hù)之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0＜p＜1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點(diǎn)p0．（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶(hù)手中，則工廠(chǎng)要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用．（?。┤舨粚?duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；（ⅱ）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？17．為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2）．（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件數(shù)，求P（X≥1）及X的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．（?。┰囌f(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得x=116i=116xi=9.97，s=116i=116用樣本平均數(shù)x作為μ的估計(jì)值μ?，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值σ?，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ（精確到附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.997416≈0.9592，0.008≈0.0918．某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi)，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；（Ⅲ）以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？19．11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10：10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．（1）求P（X＝2）；（2）求事件“X＝4且甲獲勝”的概率．20．某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類(lèi)問(wèn)題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．（1）若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題？并說(shuō)明理由．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之概率（2024年7月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng)．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）A．14 B．π8 C．12 【考點(diǎn)】幾何概型．【專(zhuān)題】定義法；概率與統(tǒng)計(jì)．【答案】B【分析】根據(jù)圖象的對(duì)稱(chēng)性求出黑色圖形的面積，結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：根據(jù)圖象的對(duì)稱(chēng)性知，黑色部分為圓面積的一半，設(shè)圓的半徑為1，則正方形的邊長(zhǎng)為2，則黑色部分的面積S=π則對(duì)應(yīng)概率P=π故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何概型的概率計(jì)算，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求出黑色陰影部分的面積是解決本題的關(guān)鍵．2．從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（）A．110 B．15 C．310 【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專(zhuān)題】計(jì)算題；集合思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)．【答案】D【分析】先求出基本事件總數(shù)n＝5×5＝25，再用列舉法求出抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率．【解答】解：從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，基本事件總數(shù)n＝5×5＝25，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m＝10個(gè)基本事件，∴抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率p=10故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．3．有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立 C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】分別列出甲、乙、丙、丁可能的情況，然后根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷即可．【解答】解：由題意可知，兩點(diǎn)數(shù)和為8的所有可能為：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），兩點(diǎn)數(shù)和為7的所有可能為（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），P（甲）=16，P（乙）=16，P（丙）=5A：P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），B：P（甲丁）=136=PC：P（乙丙）=136≠PD：P（丙丁）＝0≠P（丙）P（?。蔬x：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的應(yīng)用，要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，屬于中檔題．4．投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專(zhuān)題】概率與統(tǒng)計(jì)．【答案】A【分析】判斷該同學(xué)投籃投中是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，然后求解概率即可．【解答】解：由題意可知：同學(xué)3次測(cè)試滿(mǎn)足X∽B（3，0.6），該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為C32故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的求法，基本知識(shí)的考查．5．某公司的班車(chē)在7：00，8：00，8：30發(fā)車(chē)，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē)，且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是（）A．13 B．12 C．23 【考點(diǎn)】幾何概型．【專(zhuān)題】概率與統(tǒng)計(jì)．【答案】B【分析】求出小明等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的時(shí)間長(zhǎng)度，代入幾何概型概率計(jì)算公式，可得答案．【解答】解：設(shè)小明到達(dá)時(shí)間為y，當(dāng)y在7：50至8：00，或8：20至8：30時(shí)，小明等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘，故P=20故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．6．我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是（）A．516 B．1132 C．2132 【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專(zhuān)題】定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】基本事件總數(shù)n＝26＝64，該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻包含的基本個(gè)數(shù)m=C63=【解答】解：在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，基本事件總數(shù)n＝26＝64，該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻包含的基本個(gè)數(shù)m=C6則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率p=m故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，D（X）＝2.4，P（X＝4）＜P（X＝6），則p＝（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【答案】B【分析】利用已知條件，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布，利用方差轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，看作是獨(dú)立重復(fù)事件，滿(mǎn)足X～B（10，p），P（x＝4）＜P（X＝6），可得C104p4(1-p)6＜C10因?yàn)镈X＝2.4，可得10p（1﹣p）＝2.4，解得p＝0.6或p＝0.4（舍去）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求法，獨(dú)立重復(fù)事件的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．8．某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)據(jù)分析．【答案】A【分析】設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為p，則由題意可得0.75×p＝0.6，由此解得p的值．【解答】解：設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為p，則由題意可得0.75×p＝0.6，解得p＝0.8，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為（）A．710 B．58 C．38 【考點(diǎn)】幾何概型．【專(zhuān)題】綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【答案】B【分析】求出一名行人前25秒來(lái)到該路口遇到紅燈，即可求出至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率．【解答】解：∵紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈，∴一名行人前25秒來(lái)到該路口遇到紅燈，∴至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為2540故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的計(jì)算，考查幾何概型，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．10．從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為（）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專(zhuān)題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)．【答案】D【分析】（適合理科生）從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，共有C52＝10種，其中全是女生的有C32＝3種，根據(jù)概率公式計(jì)算即可，（適合文科生），設(shè)2名男生為a，b，3名女生為A，B，C，則任選2人的種數(shù)為ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10種，其中全是女生為AB，AC，BC共3種，根據(jù)概率公式計(jì)算即可【解答】解：（適合理科生）從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，共有C52＝10種，其中全是女生的有C32＝3種，故選中的2人都是女同學(xué)的概率P=310（適合文科生），設(shè)2名男生為a，b，3名女生為A，B，C，則任選2人的種數(shù)為ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10種，其中全是女生為AB，AC，BC共3種，故選中的2人都是女同學(xué)的概率P=310故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概率的問(wèn)題，采用排列組合或一一列舉法，屬于基礎(chǔ)題．二．填空題（共5小題）11．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率是0.18．【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】甲隊(duì)以4：1獲勝包含的情況有：①前5場(chǎng)比賽中，第一場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，②前5場(chǎng)比賽中，第二場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，③前5場(chǎng)比賽中，第三場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，④前5場(chǎng)比賽中，第四場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，由此能求出甲隊(duì)以4：1獲勝的概率．【解答】解：甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，甲隊(duì)以4：1獲勝包含的情況有：①前5場(chǎng)比賽中，第一場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，其概率為：p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，②前5場(chǎng)比賽中，第二場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，其概率為：p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036，③前5場(chǎng)比賽中，第三場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，其概率為：p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，④前5場(chǎng)比賽中，第四場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，其概率為：p4＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率為：p＝p1+p2+p3+p4＝0.036+0.036+0.054+0.054＝0.18．故答案為：0.18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12．一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX＝1.96．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；概率與統(tǒng)計(jì)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】判斷概率滿(mǎn)足的類(lèi)型，然后求解方差即可．【解答】解：由題意可知，該事件滿(mǎn)足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是一個(gè)二項(xiàng)分布模型，其中，p＝0.02，n＝100，則DX＝npq＝np（1﹣p）＝100×0.02×0.98＝1.96．故答案為：1.96．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散性隨機(jī)變量的期望與方差的求法，判斷概率類(lèi)型滿(mǎn)足二項(xiàng)分布是解題的關(guān)鍵．13．盒中有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球．從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹梗O(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為ξ，則P（ξ＝0）＝13，E（ξ）＝1【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；數(shù)學(xué)模型法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】P（ξ＝0）=13，E（ξ）＝【分析】【解法1】由題意知隨機(jī)變量ξ的可能取值分別為0，1，2；根據(jù)題意分別求出對(duì)應(yīng)的概率值，寫(xiě)出分布列，求出數(shù)學(xué)期望值；【解法2】由題意知隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2；分別計(jì)算P（ξ＝0）、P（ξ＝1）和P（ξ＝2），再求E（ξ）的值．【解答】解：【解法1】由題意知隨機(jī)變量ξ的可能取值分別為0，1，2；ξ＝0表示取到紅球后（停止取球）還沒(méi)有取到黃球，有以下兩種情況：①第一次就取到紅球（P1=1②第一次取到綠球、第二次取到紅球（P2=1所以P（ξ＝0）＝P1+P2=1當(dāng)ξ＝1時(shí)，有以下三種情況：①第一次取到1個(gè)黃球?yàn)?4=1②第一次取到1個(gè)黃球?yàn)?4，第二次取到綠球?yàn)?3，第三次取到紅球?yàn)棰鄣谝淮稳〉骄G球?yàn)?4，第二次取到黃球?yàn)?3，第三次取到紅球?yàn)樗訮（ξ＝1）=2P（ξ＝2）＝1﹣P（ξ＝0）﹣P（ξ＝1）＝1-1所以ξ的分布列為：ξ012P131313數(shù)學(xué)期望為E（ξ）＝0×13+1×1【解法2】由題意知，隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2；計(jì)算P（ξ＝0）=CP（ξ＝1）=CP（ξ＝2）=A所以E（ξ）＝0×13+1×1故答案為：13，1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．14．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，則P（X＞2.5）＝0.14．【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義．【專(zhuān)題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】0.14．【分析】利用正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求解．【解答】解：∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），∴P（2＜X≤2.5）+P（X＞2.5）＝0.5，∴P（X＞2.5）＝0.5﹣0.36＝0.14，故答案為：0.14．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題．15．從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為310【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專(zhuān)題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出3人，先求出基本事件總數(shù)，再求出甲、乙被選中包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由此求出甲、乙被選中的概率．【解答】解：方法一：設(shè)5人為甲、乙、丙、丁、戊，從5人中選3人有以下10個(gè)基本事件：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；甲、乙被選中的基本事件有3個(gè)：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；故甲、乙被選中的概率為310方法二：由題意，從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出3人，基本事件總數(shù)C53甲、乙被選中，則從剩下的3人中選一人，包含的基本事件的個(gè)數(shù)C31根據(jù)古典概型及其概率的計(jì)算公式，甲、乙都入選的概率P=C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式，熟記概率的計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)題．三．解答題（共5小題）16．某工廠(chǎng)的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶(hù)之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0＜p＜1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點(diǎn)p0．（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶(hù)手中，則工廠(chǎng)要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用．（?。┤舨粚?duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；（ⅱ）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）求出f（p）=C202p2(1-p)18，則f'(（2）（i）由p＝0.1，令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，依題意知Y～B（180，0.1），再由X＝20×2+25Y，即X＝40+25Y，能求出E（X）．（ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，由這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元，E（X）＝490＞400，從而應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)．【解答】解：（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），則f（p）=C∴f'令f′（p）＝0，得p＝0.1，當(dāng)p∈（0，0.1）時(shí)，f′（p）＞0，當(dāng)p∈（0.1，1）時(shí)，f′（p）＜0，∴f（p）的最大值點(diǎn)p0＝0.1．（2）（i）由（1）知p＝0.1，令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，依題意知Y～B（180，0.1），X＝20×2+25Y，即X＝40+25Y，∴E（X）＝E（40+25Y）＝40+25E（Y）＝40+25×180×0.1＝490．（ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，由這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元，∵E（X）＝490＞400，∴應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法及應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)的判斷與求法，考查二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．17．為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2）．（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件數(shù)，求P（X≥1）及X的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．（ⅰ）試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得x=116i=116xi=9.97，s=116i=116用樣本平均數(shù)x作為μ的估計(jì)值μ?，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值σ?，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ（精確到附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.997416≈0.9592，0.008≈0.09【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；概率與統(tǒng)計(jì)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）通過(guò)P（X＝0）可求出P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝0.0408，利用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算可得結(jié)論；（2）（?。┯桑?）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外為小概率事件可知該監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法合理；（ⅱ）通過(guò)樣本平均數(shù)x、樣本標(biāo)準(zhǔn)差s估計(jì)μ?、σ?可知(μ?-3σ?，【解答】解：（1）由題可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之內(nèi)的概率為0.9974，則落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率為1﹣0.9974＝0.0026，由題意知X～B（16，0.0026），因?yàn)镻（X＝0）=C160×（1﹣0.9974）0×0.9974所以P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝0.0408，因?yàn)閄～B（16，0.0026），所以E（X）＝16×0.0026＝0.0416；（2）（ⅰ）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(μ?-3σ?，μ?（ⅱ）由x=9.97，s≈0.212，得μ的估計(jì)值為μ?=9.97，σ的估計(jì)值為零件的尺寸在(μ剔除(μ?-115（16×9.97﹣9.22）＝10.02因此μ的估計(jì)值為10.02．i=116xi2＝16×0.2122+16×剔除(μ?-115（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008因此σ的估計(jì)值為0.008≈0.09【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布，考查二項(xiàng)分布，考查方差、標(biāo)準(zhǔn)差，考查概率的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．18．某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi)，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；（Ⅲ）以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=1125，P（X≤19）=1725．由此能確定滿(mǎn)足P（X≤n）≥（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=1725．求出買(mǎi)19個(gè)所需費(fèi)用期望EX1和買(mǎi)20個(gè)所需費(fèi)用期望EX2，由此能求出買(mǎi)法二：解法二：購(gòu)買(mǎi)零件所用費(fèi)用含兩部分，一部分為購(gòu)買(mǎi)零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外購(gòu)買(mǎi)的費(fèi)用，分別求出n＝19時(shí)，費(fèi)用的期望和當(dāng)n＝20時(shí)，費(fèi)用的期望，從而得到買(mǎi)19個(gè)更合適．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，P（X＝16）＝（20100）2=P（X＝17）=20P（X＝18）＝（40100）2+2（20100）2P（X＝19）=2×P（X＝20）=(20P（X＝21）=2×P（X＝22）=(20∴X的分布列為：X16171819202122P1466121（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）=1P（X≤19）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）+P（X＝19）=1∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值為19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）+P（X＝19）=1買(mǎi)19個(gè)所需費(fèi)用期望：EX1＝200×19×1725+（200×19+500）×15+（200×19+500×2）×225買(mǎi)20個(gè)所需費(fèi)用期望：EX2=200×20×2225+（200×20+500）×225+（∵EX1＜EX2，∴買(mǎi)19個(gè)更合適．解法二：購(gòu)買(mǎi)零件所用費(fèi)用含兩部分，一部分為購(gòu)買(mǎi)零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外購(gòu)買(mǎi)的費(fèi)用，當(dāng)n＝19時(shí)，費(fèi)用的期望為：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04＝4040，當(dāng)n＝20時(shí)，費(fèi)用的期望為：20×200+500×0.08+1000×0.04＝4080，∴買(mǎi)19個(gè)更合適．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．19．11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10：10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．（1）求P（X＝2）；（2）求事件“X＝4且甲獲勝”的概率．【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）設(shè)雙方10：10平后的第k個(gè)球甲獲勝為事件Ak（k＝1，2，3，…），則P（X＝2）＝P（A1A2）+P（A1A2）＝P（A1）P（A2）+P（A1）（2）P（X＝4且甲獲勝）＝P（A1A2A3A4）+P（A1A2A3A4）＝P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）+P（A1）P（A【解答】解：（1）設(shè)雙方10：10平后的第k個(gè)球甲獲勝為事件Ak（k＝1，2，3，…），則P（X＝2）＝P（A1A2）+P（A1＝P（A1）P（A2）+P（A1）P（A＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5．（2）P（X＝4且甲獲勝）＝P（A1A2A3A＝P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）+P（A1）P（A2）P（A3）P（A＝0.5×0.6×0.5×0.4+0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，是中檔題．20．某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類(lèi)問(wèn)題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．（1）若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題？并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專(zhuān)題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）X020100P0.20.320.48（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題．【分析】（1）由已知可得，X的所有可能取值為0，20，100，分別求出對(duì)應(yīng)的概率即可求解分布列；（2）由（1）可得E（X），若小明先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題，記Y為小明的累計(jì)得分，Y的所有可能取值為0，80，100，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，從而可得E（Y），比較E（X）與E（Y）的大小，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由已知可得，X的所有可能取值為0，20，100，則P（X＝0）＝1﹣0.8＝0.2，P（X＝20）＝0.8×（1﹣0.6）＝0.32P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為：X020100P0.20.320.48（2）由（1）可知小明先回答A類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分的期望為E（X）＝0×0.2+20×0.32+100×0.48＝54.4，若小明先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，P（Y＝0）＝1﹣0.6＝0.4，P（Y＝80）＝0.6×（1﹣0.8）＝0.12，P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，則Y的期望為E（Y）＝0×0.4+80×0.12+100×0.48＝57.6，因?yàn)镋（Y）＞E（X），所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱(chēng)這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿(mǎn)足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過(guò)對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1n如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．2．列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、等可能條件下概率的意義：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=m等可能條件下概率的特征：（1）對(duì)于每一次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果都是有限的；（2）每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等．2、概率的計(jì)算方法：（1）列舉法（列表或畫(huà)樹(shù)狀圖），（2）公式法；列表法或樹(shù)狀圖這兩種舉例法，都可以幫助我們不重不漏的列出所以可能的結(jié)果．列表法（1）定義：用列出表格的方法來(lái)分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．（2）列表法的應(yīng)用場(chǎng)合當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法．樹(shù)狀圖法（1）定義：通過(guò)列樹(shù)狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹(shù)狀圖法．（2）運(yùn)用樹(shù)狀圖法求概率的條件當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)三個(gè)或更多的因素時(shí)，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)狀圖法求概率．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為b，設(shè)任意投擲兩次使兩條不重合直線(xiàn)l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的概率為P1，相交的概率為P2，若點(diǎn)（P1，P2）在圓（x﹣m）2+y2=137144的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)A．（-518，+∞）B．（﹣∞，718）C．（-718，518）解析：對(duì)于a與b各有6中情形，故總數(shù)為36種設(shè)兩條直線(xiàn)l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4，或a＝3，b＝6，故概率為P=設(shè)兩條直線(xiàn)l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2相交的情形除平行與重合即可，∵當(dāng)直線(xiàn)l1、l2相交時(shí)b≠2a，圖中滿(mǎn)足b＝2a的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三種，∴滿(mǎn)足b≠2a的有36﹣3＝33種，∴直線(xiàn)l1、l2相交的概率P=33∵點(diǎn)（P1，P2）在圓（x﹣m）2+y2=137∴（118-m）2+（1112）解得-518故選：D典例2：某種零件按質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分為1，2，3，4，5五個(gè)等級(jí)，現(xiàn)從一批該零件巾隨機(jī)抽取20個(gè)，對(duì)其等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下等級(jí)12345頻率0.05m0.150.35n（1）在抽取的20個(gè)零件中，等級(jí)為5的恰有2個(gè)，求m，n；（2）在（1）的條件下，從等級(jí)為3和5的所有零件中，任意抽取2個(gè)，求抽取的2個(gè)零件等級(jí)恰好相同的概率．解析：（1）由頻率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n＝1，即m+n＝0.45．…（2分）由抽取的20個(gè)零件中，等級(jí)為5的恰有2個(gè)，得n=220所以m＝0.45﹣0.1＝0.35．…（5分）（2）：由（1）得，等級(jí)為3的零件有3個(gè)，記作x1，x2，x3；等級(jí)為5的零件有2個(gè)，記作y1，y2．從x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2個(gè)零件，所有可能的結(jié)果為：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）共計(jì)10種．…（9分）記事件A為“從零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等級(jí)相等”．則A包含的基本事件為（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4個(gè)．…（11分）故所求概率為P(A)=3．幾何概型【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：若一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）每次試驗(yàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)，且全體結(jié)果可用一個(gè)有度量的幾何區(qū)域來(lái)表示；（2）每次試驗(yàn)的各種結(jié)果是等可能的．那么這樣的試驗(yàn)稱(chēng)為幾何概型．2．幾何概率：設(shè)幾何概型的基本事件空間可表示成可度量的區(qū)域Ω，事件A所對(duì)應(yīng)的區(qū)域用A表示（A?Ω），則P（A）=A的度量Ω4．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件．2．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式：將事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的事件即為A?B，若兩個(gè)相互獨(dú)立事件A、B同時(shí)發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：P（A?B）＝P（A）?P（B）推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率之積，即：P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）3．區(qū)分互斥事件和相互獨(dú)立事件是兩個(gè)不同的概念：（1）互斥事件：兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；（2）相互獨(dú)立事件：一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響．5．離散型隨機(jī)變量及其分布列【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、相關(guān)概念；（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來(lái)表示，并且X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫(xiě)字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱(chēng)X為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個(gè)對(duì)應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．6．離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱(chēng)Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．2、離散型隨機(jī)變量的方差；方差：對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，稱(chēng)為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡(jiǎn)稱(chēng)為方差，式中的EξDξ是隨機(jī)變量ξ的期望．標(biāo)準(zhǔn)差：Dξ的算術(shù)平方根Dξ叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作．方差的性質(zhì)：．方差的意義：（1）隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；（2）隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；（3）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用更廣泛．7．離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱(chēng)Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．2、離散型隨機(jī)變量的方差；方差：對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，稱(chēng)為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡(jiǎn)稱(chēng)為方差，式中的EξDξ是隨機(jī)變量ξ的期望．標(biāo)準(zhǔn)差：Dξ的算術(shù)平方根Dξ叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作．方差的性質(zhì)：．方差的意義：（1）隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；（2）隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；（3）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用更廣泛．8．正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正態(tài)曲線(xiàn)及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線(xiàn)的定義函數(shù)φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+（2）正態(tài)曲線(xiàn)的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個(gè)常數(shù)：π和e，這是兩個(gè)無(wú)理數(shù)．③解析式中含有兩個(gè)參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實(shí)數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個(gè)特征數(shù)．④解析式前面有一個(gè)系數(shù)為12πσ，后面是一個(gè)以e2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b（a＜b），隨機(jī)變量X滿(mǎn)足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，則稱(chēng)X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，（2）正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)正態(tài)曲線(xiàn)φμ，σ（x）=12πσe（1）曲線(xiàn)位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)；（3）曲線(xiàn)在x＝μ處達(dá)到峰值12（4）曲線(xiàn)與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線(xiàn)隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當(dāng)μ一定時(shí)，曲線(xiàn)的形狀由σ確定，σ越小，曲線(xiàn)越“瘦高”