2025年高考數(shù)學復習熱搜題速遞之立體幾何初步（2024年7月）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學復習熱搜題速遞之立體幾何初步（2024年7月）一．選擇題（共10小題）1．已知三棱錐P﹣ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為（）A．86π B．46π C．26π D．6π2．已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點，若三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）A．36π B．64π C．144π D．256π3．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）A．32 B．155 C．105 4．設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且面積為93，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為（）A．123 B．183 C．243 D．5435．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（）A． B． C． D．6．已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為（）A．64π B．48π C．36π D．32π7．體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為（）A．12π B．323π C．8π D．48．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A．16 B．13 C．12 9．已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）A．π B．3π4 C．π2 10．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）A．2+5 B．4+5 C．2+25 D二．填空題（共5小題）11．已知三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S﹣ABC的體積為9，則球O的表面積為．12．已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為．13．已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為．14．如圖，三棱錐A﹣BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別是AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是．15．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O．D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為．三．解答題（共5小題）16．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱錐P﹣ABCD的體積為8317．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O為BD的中點．（1）證明：OA⊥CD；（2）若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小為45°，求三棱錐A﹣BCD的體積．18．如圖，已知三棱錐A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點，D為PB中點，且△PMB為正三角形．（1）求證：DM∥平面APC；（2）求證：平面ABC⊥平面APC；（3）若BC＝4，AB＝20，求三棱錐D﹣BCM的體積．19．如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐E﹣ACD的體積為6320．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC=12AD，∠BAD＝∠ABC＝（1）證明：直線BC∥平面PAD；（2）若△PCD面積為27，求四棱錐P﹣ABCD的體積．

2025年高考數(shù)學復習熱搜題速遞之立體幾何初步（2024年7月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．已知三棱錐P﹣ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為（）A．86π B．46π C．26π D．6π【考點】球的體積和表面積．【專題】數(shù)形結合；分割補形法；空間位置關系與距離．【答案】D【分析】由題意畫出圖形，證明三棱錐P﹣ABC為正三棱錐，且三條側棱兩兩互相垂直，再由補形法求外接球球O的體積．【解答】解：如圖，由PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，可知三棱錐P﹣ABC為正三棱錐，則頂點P在底面的射影O1為底面三角形的中心，連接BO1并延長，交AC于G，則AC⊥BG，又PO1⊥AC，PO1∩BG＝O1，可得AC⊥平面PBG，則PB⊥AC，∵E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∴EF∥PB，又∠CEF＝90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面PAC，則PB⊥PA，PB⊥PC，又三棱錐P﹣ABC是正三棱錐，∴正三棱錐P﹣ABC的三條側棱兩兩互相垂直，把三棱錐補形為正方體，則正方體外接球即為三棱錐的外接球，其直徑為D==1半徑為62，則球O的體積為4故選：D．【點評】本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，是中檔題．2．已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點，若三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）A．36π B．64π C．144π D．256π【考點】球的體積和表面積．【專題】計算題；空間位置關系與距離．【答案】C【分析】當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O﹣ABC的體積最大，利用三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，求出半徑，即可求出球O的表面積．【解答】解：如圖所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O﹣ABC的體積最大，設球O的半徑為R，此時VO﹣ABC＝VC﹣AOB=13×12×R2×R=16R3=故選：C．【點評】本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計算，確定點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O﹣ABC的體積最大是關鍵．3．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）A．32 B．155 C．105 【考點】異面直線及其所成的角．【專題】數(shù)形結合；定義法；空間角．【答案】C【分析】【解法一】設M、N、P分別為AB，BB1和B1C1的中點，得出AB1、BC1夾角為MN和NP夾角或其補角；根據(jù)中位線定理，結合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解法二】通過補形的辦法，把原來的直三棱柱變成直四棱柱，解法更簡潔．【解答】解：【解法一】如圖所示，設M、N、P分別為AB，BB1和B1C1的中點，則AB1、BC1夾角為MN和NP夾角或其補角（因異面直線所成角為（0，π2]可知MN=12AB1NP=12BC1作BC中點Q，則△PQM為直角三角形；∵PQ＝1，MQ=12△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC＝4+1﹣2×2×1×（-1＝7，∴AC=7∴MQ=7在△MQP中，MP=MQ在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP=MN又異面直線所成角的范圍是（0，π2]∴AB1與BC1所成角的余弦值為105【解法二】如圖所示，補成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=2，BD=C1D=5∴BC12+BD∴∠DBC1＝90°，∴cos∠BC1D=2故選：C．【點評】本題考查了空間中的兩條異面直線所成角的計算問題，也考查了空間中的平行關系應用問題，是中檔題．4．設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且面積為93，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為（）A．123 B．183 C．243 D．543【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】計算題；數(shù)形結合；方程思想；轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離．【答案】B【分析】求出等邊△ABC的邊長，畫出圖形，判斷D的位置，然后求解即可．【解答】解：△ABC為等邊三角形且面積為93，可得34×AB2球心為O，三角形ABC的外心為O′，顯然D是O′O的延長線與球的交點，如圖：O′C=23×32×6=則三棱錐D﹣ABC高的最大值為：6，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為：13×3故選：B．【點評】本題考查球的內接多面體，棱錐的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．5．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（）A． B． C． D．【考點】直線與平面平行．【專題】證明題；數(shù)形結合；數(shù)形結合法；空間位置關系與距離．【答案】A【分析】利用線面平行判定定理可知B、C、D均不滿足題意，從而可得答案．【解答】解：對于選項B，由于AB∥MQ，結合線面平行判定定理可知B不滿足題意；對于選項C，由于AB∥MQ，結合線面平行判定定理可知C不滿足題意；對于選項D，由于AB∥NQ，結合線面平行判定定理可知D不滿足題意；所以選項A滿足題意，故選：A．【點評】本題考查空間中線面平行的判定定理，利用三角形中位線定理是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．6．已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為（）A．64π B．48π C．36π D．32π【考點】球的體積和表面積．【專題】計算題；轉化思想；數(shù)形結合法；空間位置關系與距離；直觀想象．【答案】A【分析】畫出圖形，利用已知條件求出OO1，然后求解球的半徑，即可求解球的表面積．【解答】解：由題意可知圖形如圖：⊙O1的面積為4π，可得O1A＝2，則32AO1＝ABsin60°，3∴AB＝BC＝AC＝OO1＝23，外接球的半徑為：R=AO球O的表面積：4×π×42＝64π．故選：A．【點評】本題考查球的內接體問題，球的表面積的求法，求解球的半徑是解題的關鍵．7．體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為（）A．12π B．323π C．8π D．4【考點】球的體積和表面積．【專題】計算題；方程思想；綜合法；球．【答案】A【分析】先通過正方體的體積，求出正方體的棱長，然后求出球的半徑，即可求出球的表面積．【解答】解：正方體體積為8，可知其邊長為2，正方體的體對角線為4+4+4=23即為球的直徑，所以半徑為3，所以球的表面積為4π?(故選：A．【點評】本題考查學生的空間想象能力，體積與面積的計算能力，是基礎題．8．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A．16 B．13 C．12 【考點】棱錐的體積．【專題】計算題；空間位置關系與距離；立體幾何．【答案】A【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，進而可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，棱錐的底面面積S=12×1×高為1，故棱錐的體積V=1故選：A．【點評】本題考查的知識點是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關鍵．9．已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）A．π B．3π4 C．π2 【考點】圓柱的體積．【專題】計算題；方程思想；定義法；立體幾何．【答案】B【分析】推導出該圓柱底面圓周半徑r=1【解答】解：∵圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，∴該圓柱底面圓周半徑r=1∴該圓柱的體積：V＝Sh=π故選：B．【點評】本題考查面圓柱的體積的求法，考查圓柱、球等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．10．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）A．2+5 B．4+5 C．2+25 D【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】空間位置關系與距離．【答案】C【分析】根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：OA⊥面ABC，AC＝AB，E為BC中點，EA＝2，EC＝EB＝1，OA＝1，BC⊥面AEO，AC=5，OE=5【解答】解：根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：OA⊥面ABC，AC＝AB，E為BC中點，EA＝2，EC＝EB＝1，OA＝1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，由直線與平面垂直的判定定理得：BC⊥面AEO，AC=5，OE∴S△ABC=12×2×2＝2，S△OAC＝S△OAB=S△BCO=12×故該三棱錐的表面積是2+25故選：C．【點評】本題考查了空間幾何體的三視圖的運用，空間想象能力，計算能力，關鍵是恢復直觀圖，得出幾何體的性質．二．填空題（共5小題）11．已知三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S﹣ABC的體積為9，則球O的表面積為36π．【考點】球的體積和表面積；球內接多面體．【專題】計算題；轉化思想；空間位置關系與距離．【答案】見試題解答內容【分析】判斷三棱錐的形狀，利用幾何體的體積，求解球的半徑，然后求解球的表面積．【解答】解：三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑，若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S﹣ABC的體積為9，可知三角形SBC與三角形SAC都是等腰直角三角形，設球的半徑為r，可得13×12×2球O的表面積為：4πr2＝36π．故答案為：36π．【點評】本題考查球的內接體，三棱錐的體積以及球的表面積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．12．已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為23π【考點】球的體積和表面積．【專題】數(shù)形結合；分析法；球；數(shù)學運算．【答案】見試題解答內容【分析】易知圓錐內半徑最大的球應為圓錐的內切球，作圖，求得出該內切球的半徑即可求出球的體積．【解答】解：因為圓錐內半徑最大的球應該為該圓錐的內切球，如圖，圓錐母線BS＝3，底面半徑BC＝1，則其高SC=BS2不妨設該內切球與母線BS切于點D，令OD＝OC＝r，由△SOD∽△SBC，則ODOS即r22-rV=43πr3=故答案為：23π【點評】本題考查圓錐內切球，考查球的體積公式，數(shù)形結合思想，屬于中檔題．13．已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為9π2【考點】球的體積和表面積．【專題】方程思想；定義法；空間位置關系與距離．【答案】見試題解答內容【分析】根據(jù)正方體和球的關系，得到正方體的體對角線等于直徑，結合球的體積公式進行計算即可．【解答】解：設正方體的棱長為a，∵這個正方體的表面積為18，∴6a2＝18，則a2＝3，即a=3∵一個正方體的所有頂點在一個球面上，∴正方體的體對角線等于球的直徑，即3a＝2R，即R=3則球的體積V=43π?（32）故答案為：9π【點評】本題主要考查空間正方體和球的關系，利用正方體的體對角線等于直徑，結合球的體積公式是解決本題的關鍵．14．如圖，三棱錐A﹣BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別是AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是78【考點】異面直線及其所成的角．【專題】空間角．【答案】見試題解答內容【分析】連結ND，取ND的中點為：E，連結ME說明異面直線AN，CM所成的角就是∠EMC通過解三角形，求解即可．【解答】解：連結ND，取ND的中點為：E，連結ME，則ME∥AN，異面直線AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN＝22，∴ME=2=EN，MC＝2又∵EN⊥NC，∴EC=EN∴cos∠EMC=EM故答案為：78【點評】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．15．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O．D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為415cm3．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題．【答案】415cm3．【分析】法一：由題，連接OD，交BC于點G，由題意得OD⊥BC，OG=36BC，設OG＝x，則BC＝23x，DG＝5﹣x，三棱錐的高h=25-10x，求出S△ABC＝33x2，V=13S△ABC×h=3?25x4-10x5，令f（x）＝25x4﹣10x5，x∈（0，52），法二：設正三角形的邊長為x，則OG=13×32x=36x，F(xiàn)G＝法三：連接OD，交BC于H，設BC＝2x，則0＜2x＜53，OH=x3，DH＝5-x3【解答】解法一：由題意，連接OD，交BC于點G，由題意得OD⊥BC，OG=36即OG的長度與BC的長度成正比，設OG＝x，則BC＝23x，DG＝5﹣x，三棱錐的高h=DS△ABC=則V=1令f（x）＝25x4﹣10x5，x∈（0，52），f′（x）＝100x3﹣50x4令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，則f（x）≤f（2）＝80，∴V≤3×80=415cm3，∴體積最大值為4故答案為：415cm3．解法二：如圖，設正三角形的邊長為x，則OG=1∴FG＝SG＝5-3SO＝h=S∴三棱錐的體積V==1令b（x）＝5x4-33x令b′（x）＝0，則4x3-x43=0，解得x∴Vmax=1512故答案為：415cm3．解法三：連接OD，交BC于H，如圖，設BC＝2x，則0＜2x＜53，OH=x3，DH＝5∴V==3=3=3≤3＝415，當x＝23時，取“＝”．∴體積最大值為415cm3．故答案為：415cm3．【點評】本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系、函數(shù)性質、導數(shù)等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想，是中檔題．三．解答題（共5小題）16．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱錐P﹣ABCD的體積為83【考點】平面與平面垂直；棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積．【專題】證明題；數(shù)形結合；數(shù)形結合法；空間位置關系與距離．【答案】見試題解答內容【分析】（1）推導出AB⊥PA，CD⊥PD，從而AB⊥PD，進而AB⊥平面PAD，由此能證明平面PAB⊥平面PAD．（2）設PA＝PD＝AB＝DC＝a，取AD中點O，連結PO，則PO⊥底面ABCD，且AD=2a，PO=22a，由四棱錐P﹣ABCD的體積為8【解答】證明：（1）∵在四棱錐P﹣ABCD中，∠BAP＝∠CDP＝90°，∴AB⊥PA，CD⊥PD，又AB∥CD，∴AB⊥PD，∵PA∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD，∵AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．解：（2）設PA＝PD＝AB＝DC＝a，取AD中點O，連結PO，∵PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，平面PAB⊥平面PAD，∴PO⊥底面ABCD，且AD=a2+a∵四棱錐P﹣ABCD的體積為83由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，∴VP﹣ABCD==1解得a＝2，∴PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝22，PO=2∴PB＝PC=4+4=2∴該四棱錐的側面積：S側＝S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC=1=1＝6+23．【點評】本題考查面面垂直的證明，考查四棱錐的側面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想，是中檔題．17．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O為BD的中點．（1）證明：OA⊥CD；（2）若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小為45°，求三棱錐A﹣BCD的體積．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直．【專題】轉化思想；綜合法；空間角；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】見試題解答內容【分析】（1）利用等腰三角形中線就是高，得到AO⊥BD，然后利用面面垂直的性質，得到AO⊥平面BCD，再利用線面垂直的性質，即可證明AO⊥CD；（2）方法一：建立合適的空間直角坐標系，設A（0，0，t），利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式求出t的值，然后利用錐體的體積公式求解即可．方法二：利用幾何法求出二面角E﹣BC﹣D的平面角，然后利用錐體的體積公式求解即可．【解答】解：（1）證明：因為AB＝AD，O為BD的中點，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO?平面ABD，所以AO⊥平面BCD，又CD?平面BCD，所以AO⊥CD；（2）方法一：取OD的中點F，因為△OCD為正三角形，所以CF⊥OD，過O作OM∥CF與BC交于點M，則OM⊥OD，所以OM，OD，OA兩兩垂直，以點O為坐標原點，分別以OM，OD，OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，則B（0，﹣1，0），C(32，12，0)，設A（0，0，t），則E(0因為OA⊥平面BCD，故平面BCD的一個法向量為OA→設平面BCE的法向量為n→又BC→所以由n→?BC令x=3，則y＝﹣1，z=2因為二面角E﹣BC﹣D的大小為45°，所以|cos解得t＝1，所以OA＝1，又S△OCD=故VA方法二：過E作EF⊥BD，交BD于點F，過F作FG⊥BC于點G，連結EG，由題意可知，EF∥AO，又AO⊥平面BCD1所以EF⊥平面BCD，又BC?平面BCD，所以EF⊥BC，又BC⊥FG，F(xiàn)G∩EF＝F所以BC⊥平面EFG，又EG?平面EFG，所以BC⊥EG，則∠EGF為二面角E﹣BC﹣D的平面角，即∠EGF＝45°，又CD＝DO＝OB＝OC＝1，所以∠BOC＝120°，則∠OCB＝∠OBC＝30°，故∠BCD＝90°，所以FG∥CD，因為DEAD則AO=所以BFBD=GF所以EF＝GF=23，則所以VA【點評】本題考查了面面垂直和線面垂直的性質，在求解有關空間角問題的時候，一般要建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉化為空間向量問題，屬于中檔題．18．如圖，已知三棱錐A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點，D為PB中點，且△PMB為正三角形．（1）求證：DM∥平面APC；（2）求證：平面ABC⊥平面APC；（3）若BC＝4，AB＝20，求三棱錐D﹣BCM的體積．【考點】直線與平面平行；平面與平面垂直；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】空間位置關系與距離．【答案】見試題解答內容【分析】（1）要證DM∥平面APC，只需證明MD∥AP（因為AP?面APC）即可．（2）在平面ABC內直線AP⊥BC，BC⊥AC，即可證明BC⊥面APC，從而證得平面ABC⊥平面APC；（3）因為BC＝4，AB＝20，求出三棱錐的高，即可求三棱錐D﹣BCM的體積．【解答】證明：（I）由已知得，MD是△ABP的中位線∴MD∥AP∵MD?面APC，AP?面APC∴MD∥面APC；（II）∵△PMB為正三角形，D為PB的中點∴MD⊥PB，∴AP⊥PB又∵AP⊥PC，PB∩PC＝P∴AP⊥面PBC（6分）∵BC?面PBC∴AP⊥BC又∵BC⊥AC，AC∩AP＝A∴BC⊥面APC，∵BC?面ABC∴平面ABC⊥平面APC；（III）由題意可知，三棱錐A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點，D為PB中點，且△PMB為正三角形．MD⊥面PBC，BC＝4，AB＝20，MB＝10，DM＝53，PB＝10，PC=100-16=2∴MD是三棱錐D﹣BCM的高，S△BCD=12×4×2∴VM【點評】本題考查直線與平面的平行，三棱錐的體積，平面與平面垂直的判定，是中檔題．19．如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐E﹣ACD的體積為63【考點】平面與平面垂直；棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積．【專題】空間位置關系與距離．【答案】見試題解答內容【分析】（Ⅰ）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）根據(jù)三棱錐的條件公式，進行計算即可．【解答】證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，則AC⊥平面BED，∵AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；解：（Ⅱ）設AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，得AG＝GC=32x，GB＝GD∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BG，則△EBG為直角三角形，∴EG=12AC＝AG=則BE=EG∵三棱錐E﹣ACD的體積V=1解得x＝2，即AB＝2，∵∠ABC＝120°，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BCcosABC＝4+4﹣2×2×即AC=12在三個直角三角形EBA，EBD，EBC中，斜邊AE＝EC＝ED，∵AE⊥EC，∴△EAC為等腰三角形，則AE2+EC2＝AC2＝12，即2AE2＝12，∴AE2＝6，則AE=6∴從而得AE＝EC＝ED=6∴△EAC的面積S=12在等腰三角形EAD中，過E作EF⊥AD于F，則AE=6，AF=則EF=(∴△EAD的面積和△ECD的面積均為S=1故該三棱錐的側面積為3+25．【點評】本題主要考查面面垂直的判定，以及三棱錐體積的計算，要求熟練掌握相應的判定定理以及體積公式．20．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC=12AD，∠BAD＝∠ABC＝（1）證明：直線BC∥平面PAD；（2）若△PCD面積為27，求四棱錐P﹣ABCD的體積．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；數(shù)學運算．【答案】見試題解答內容【分析】（1）利用直線與平面平行的判定定理證明即可．（2）利用已知條件轉化求解幾何體的線段長，然后求解幾何體的體積即可．【解答】（1）證明：四棱錐P﹣ABCD中，∵∠BAD＝∠ABC＝90°．∴BC∥AD，∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴直線BC∥平面PAD；（2）解：四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，設O是AD的中點，則PO⊥BC，而PO?面PAD，面PAD∩面ABCD＝BC，所以PO⊥面ABCD，AB＝BC=12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°．設AD＝2則AB＝BC＝x，CD=2x，連接OC，設CD的中點為E，連接則OE=22x，PO=3△PCD面積為27，可得：12PE?即：12×72x?2x=27則VP﹣ABCD=13×12（BC+AD）×AB×【點評】本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．

考點卡片1．球內接多面體【知識點的認識】1、球內接多面體的定義：多面體的頂點都在球面上，且球心到各頂點的距離都是半徑．球內接多面體也叫做多面體外接球．球外切多面體的定義：球面和多面體的各個面都相切，球心到各面的距離都是球的半徑．球外切多面體也叫做多面體內切球2、研究球與多面體的接、切問題主要考慮以下幾個方面的問題：（1）球心與多面體中心的位置關系；（2）球的半徑與多面體的棱長的關系；（3）球自身的對稱性與多面體的對稱性；（4）能否做出軸截面．3、球與多面體的接、切中有關量的分析：（1）球內接正方體：球和正方體都是中心對稱和軸對稱圖形，設球的半徑為r，正方體的棱長為a，則：①球心就是正方體的中心，球心在正方體的體對角線的中點處；②正方體的四個頂點都在球面上；③軸截面就是正方體的對角面；④在軸截面上，含有一個球的大圓和正方體的棱、面對角線、體對角線，且構造一個直角三角形；⑤球半徑和正方體棱長的關系：r=322．棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積【知識點的認識】側面積和全面積的定義：（1）側面積的定義：把柱、錐、臺的側面沿著它們的一條側棱或母線剪開，所得到的展開圖的面積，就是空間幾何體的側面積．（2）全面積的定義：空間幾何體的側面積與底面積的和叫做空間幾何體的全面積．柱體、錐體、臺體的表面積公式（c為底面周長，h為高，h′為斜高，l為母線）S圓柱表＝2πr（r+l），S圓錐表＝πr（r+l），S圓臺表＝π（r2+rl+Rl+R2）3．棱柱、棱錐、棱臺的體積【知識點的認識】柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱＝sh，V錐=134．棱錐的體積棱錐的體積5．圓柱的體積圓柱的體積6．球的體積和表面積【知識點的認識】1．球體：在空間中，到定點的距離等于或小于定長的點的集合稱為球體，簡稱球．其中到定點距離等于定長的點的集合為球面．2．球體的體積公式設球體的半徑為R，V球體=3．球體的表面積公式設球體的半徑為R，S球體＝4πR2．【命題方向】考查球體的體積和表面積公式的運用，常見結合其他空間幾何體進行考查，以增加試題難度，根據(jù)題目所給條件得出球體半徑是解題關鍵．7．由三視圖求面積、體積【知識點的認識】1．三視圖：觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形，包括：（1）主視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖，反映物體的高度和長度；（2）左視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖，反映物體的高度和寬度；（3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖，反映物體的長度和寬度．2．三視圖的畫圖規(guī)則：（1）高平齊：主視圖和左視圖的高保持平齊；（2）長對正：主視圖和俯視圖的長相對應；（3）寬相等：俯視圖和左視圖的寬度相等．3．常見空間幾何體表面積、體積公式（1）表面積公式：圓柱：（2）體積公式：柱體：【解題思路點撥】1．解題步驟：（1）由三視圖定對應幾何體形狀（柱、錐、球）（2）選對應公式（3）定公式中的基本量（一般看俯視圖定底面積，看主、左視圖定高）（4）代公式計算2．求面積、體積常用思想方法：（1）截面法：尤其是關于旋轉體及與旋轉體有關的組合體問題，常用軸截面進行分析求解；（2