專(zhuān)題5-1 向量模、夾角與坐標(biāo)運(yùn)算-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型歸納與變式演練

專(zhuān)題5-1向量模、夾角投影與坐標(biāo)運(yùn)算目錄一、熱點(diǎn)題型歸納TOC\o"1-3"\h\u【題型一】向量夾角1：坐標(biāo)運(yùn)算 1【題型二】向量夾角2：夾角銳鈍 2【題型三】向量夾角3：模 3【題型四】向量夾角4：復(fù)合型向量夾角 4【題型五】投影 5【題型六】模與數(shù)量積 6【題型七】范圍最值 7二、真題再現(xiàn) 7三、模擬檢測(cè) 9綜述：1.模公式：。2.平面向量數(shù)量積公式：（1）a?（2）a?主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:（1）求向量的夾角，cosθ=a·（2）求投影，a在b上的投影是a?（3）a,b向量垂直，則a?b=0【題型一】向量夾角1：坐標(biāo)運(yùn)算【典例分析】（2022·福建南平·高三期末）設(shè)向量，，則與的夾角等于（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律兩個(gè)非零向量、的夾角：已知非零向量與，記、，則()叫做與的夾角.說(shuō)明：①當(dāng)時(shí)，與同向；②當(dāng)時(shí)，與反向；③當(dāng)時(shí)，與垂直，記；【變式演練】1.（2021·吉林白山·高三期末（文））若向量與向量的夾角為，則（

）A． B． C． D．2.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．3.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，向量，則與的夾角大小為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【題型二】向量夾角2：夾角銳鈍【典例分析】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若，且與的夾角是鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律用坐標(biāo)或者數(shù)量積求解夾角銳鈍時(shí)，要注意向量共線（同向或者反向）【變式演練】1.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.（2022·安徽·巢湖市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知向量，，則“”是“與的夾角為銳角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，若與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型三】向量夾角3：?！镜淅治觥浚?022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）若非零向量，滿(mǎn)足，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律.?！咀兪窖菥殹?.（2022·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知向量滿(mǎn)足，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．2.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知非零向量滿(mǎn)足，且，則與的夾角為（

）A． B．C． D．3.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知單位向量，滿(mǎn)足，則與的夾角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【題型四】向量夾角4：復(fù)合型向量夾角【典例分析】（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））非零向量滿(mǎn)足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律實(shí)際教學(xué)中，許多學(xué)生對(duì)于復(fù)合型向量求夾角，容易混淆不清，可以直接把復(fù)合向量設(shè)為新向量來(lái)代入公式求解?！咀兪窖菥殹?.（2022·河北邯鄲·二模）若向量，滿(mǎn)足，，且，則向量與夾角的余弦值為（

）.A． B． C． D．2.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知非零向量、滿(mǎn)足，，則向量與向量夾角的余弦值為（

）A． B．C． D．3.（2022·遼寧錦州·一模）若，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【題型五】投影【典例分析】已知向量a在向量b方向上的投影為?1，向量b在向量a方向上的投影為?12，且|bA．23河南省林州市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高三5月月考數(shù)學(xué)試題【提分秘籍】基本規(guī)律1.a在b方向上的投影為：|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)2.向量在方向上的投影：設(shè)為、的夾角，則為在方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量.當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為；當(dāng)時(shí)投影為；當(dāng)時(shí)投影為.【變式演練】1.已知向量,的夾角為120°，且則向量在向量方向上的投影為（）A．B．C．D．2.已知向量，的夾角為，且，，則向量在向量方向上的投影是（）A．B．C．D．3.已知向量a，b滿(mǎn)足a=5，a?b=6，a+【題型六】模與數(shù)量積【典例分析】若向量，，，則______________.河北省唐山市第十二高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【提分秘籍】基本規(guī)律平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有().規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為.說(shuō)明：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積的區(qū)別：(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由的符號(hào)所決定.(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱(chēng)為內(nèi)積，寫(xiě)成，書(shū)寫(xiě)時(shí)注意符號(hào)“·”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)，.(4)在實(shí)數(shù)中，若，且，則，但是在向量中，若，且，不能推出，∵其中.(5)已知實(shí)數(shù)、、()，則，但是向量不能推出，如圖：，，但.(6)在實(shí)數(shù)中有，但是在向量中，【變式演練】1.若等邊ΔABC的邊長(zhǎng)為3，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿(mǎn)足CM=13A．2B．?152C．152.在△中，，，是邊上的一點(diǎn)，且，則的值為A．0B．4C．8D．3.已知向量滿(mǎn)足，，則A．4 B．3 C．2 D．0【題型七】范圍最值【典例分析】已知向量、的夾角為，，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式演練】1.（2022·浙江·樂(lè)清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）平面向量滿(mǎn)足，則與夾角最大值時(shí)為（

）A． B． C． D．2.已知向量滿(mǎn)足：，則在上的投影長(zhǎng)度的取值范圍是（）A．B．C．D．3.已知向量e1與e2的夾角為π4，|e1|=1，|eA．(?5?13C．(?∞,?5?131．（·陜西·高考真題（文））已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m等于（

）A．－ B．C．－或 D．02．（2022·全國(guó)·高考真題（文））已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（·山東·高考真題）已知向量，，那么等于（

）A． B． C．1 D．04．（·山東·高考真題）已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，那么的值是（

）A． B． C． D．5．（2020·山東·高考真題）已知點(diǎn)，，點(diǎn)在函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸上，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．或 B．或C．或 D．或6．（2022·全國(guó)·高考真題（理））已知向量滿(mǎn)足，則（

）A． B． C．1 D．27．（2022·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．68．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2022·全國(guó)·高考真題（文））已知向量．若，則______________．10．（2021·全國(guó)·高考真題）已知向量，，，_______．11．（2022·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．12．（2020·浙江·高考真題）設(shè)，為單位向量，滿(mǎn)足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為_(kāi)______．13．（2021·浙江·高考真題）已知平面向量滿(mǎn)足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為_(kāi)__________.14．（2021·北京·高考真題）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則________；________.1.（2022·江蘇·金陵中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．2.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，則“與的夾角為銳角”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3.（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)向量，滿(mǎn)足，，與的夾角為，則等于（

）A．2 B．1 C．3 D．4.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知、、均為單位向量，且，則、之間夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．5.已知向量，滿(mǎn)足，