中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)沖刺專題11弦圖模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）含答案及解析

弦圖模型鞏固練習(xí)1．在一次課題學(xué)習(xí)中，老師讓同學(xué)們合作編題，某學(xué)習(xí)小組受趙爽弦圖的啟發(fā)，編寫了下面這道題，請(qǐng)你來(lái)解一解：如圖，將平行四邊形ABCD的四邊DA、AB、BC、CD分別延長(zhǎng)至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE．求證：四邊形EFGH為平行四邊形．2．勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進(jìn)行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次“談話”的語(yǔ)言．（1）請(qǐng)你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號(hào)語(yǔ)言敘述）．（2）以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a，b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請(qǐng)你利用圖2，驗(yàn)證勾股定理．（3）利用圖2中的直角梯形中線段BC與AD的大小關(guān)系，可以證明a+bc3．（1）我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個(gè)矩形分成四個(gè)全等的直角三角形，用四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)大的正方形（如圖1），這個(gè)矩形稱為趙爽弦圖，驗(yàn)證了一個(gè)非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式a2+b2＝c2，稱為勾股定理．證明：∵大正方形面積表示為S＝c2，又可表示為S＝4×12ab+（b﹣a）∴4×12ab+（b﹣a）2＝c∴即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．（2）愛(ài)動(dòng)腦筋的小明把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了另一個(gè)大的正方形（如圖2），也能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你幫助小明完成驗(yàn)證的過(guò)程．（3）如圖3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，請(qǐng)你添加適當(dāng)?shù)妮o助線，證明結(jié)論a2+b2＝c2．4．教材第九章中探索乘法公式時(shí)，設(shè)置由圖形面積的不同表示方法驗(yàn)證了乘法公式．我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個(gè)矩形分成四個(gè)全等的直角三角形，用四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)大的正方形（如圖1），這個(gè)圖形稱為趙爽弦圖，驗(yàn)證了一個(gè)非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式a2+b2＝c2，稱為勾股定理．（1）愛(ài)動(dòng)腦筋的小明把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了另一個(gè)大的正方形（如圖2），也能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你幫助小明完成驗(yàn)證的過(guò)程．（2）小明又把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)梯形（如圖3），利用上面探究所得結(jié)論，求當(dāng)a＝3，b＝4時(shí)梯形ABCD的周長(zhǎng)．（3）如圖4，在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的方格紙中，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙格點(diǎn)上．請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△ABC的高BD，利用上面的結(jié)論，求高BD的長(zhǎng)．5．（1）問(wèn)題情境：勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，借助“數(shù)形關(guān)系”利用面積法進(jìn)行證明，而以劉徽的“青朱出入圖”為代表的“無(wú)字證明”也頗為神奇，證明不需用任何數(shù)學(xué)符號(hào)和文字，整個(gè)證明單靠移動(dòng)幾塊圖形而得出．如圖1和2，將4個(gè)全等的直角三角形拼成邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，使中間留下一個(gè)邊長(zhǎng)為c的空白正方形，畫出邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，再移動(dòng)三角形至圖2所示的位置中，于是留下了邊長(zhǎng)分別為a和b的兩個(gè)空白正方形．則圖1和圖2中的白色部分面積必定相等，即；（2）嘗試證明：實(shí)際上只需圖2的“一半”即可用“數(shù)形關(guān)系”和面積法證明，美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德在1876年利用圖3證明了勾股定理，請(qǐng)你來(lái)試一試，借助圖3完成證明：（3）問(wèn)題拓展：已知Rt△ABC的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，求證：a+bc6．綜合與實(shí)踐正方形內(nèi)“奇妙點(diǎn)”及性質(zhì)探究：定義：如圖1，在正方形ABCD中，以BC為直徑作半圓O，以D為圓心，DA為半徑作AC，與半圓O交于點(diǎn)P我們稱點(diǎn)P為正方形ABCD的一個(gè)“奇妙點(diǎn)”．過(guò)奇妙點(diǎn)的多條線段與正方形ABCD無(wú)論是位置關(guān)系還是數(shù)量關(guān)系，都具有不少優(yōu)美的性質(zhì)值得探究．性質(zhì)探究：如圖2，連接DP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，則DE為半圓O的切線．證明：連接OP，OD．由作圖可知，DP＝DC，OP＝OC，又∵OD＝OD．∴△OPD≌△OCD．（SSS）∴∠OPD＝∠OCD＝90°∴DE是半圓O的切線．問(wèn)題解決：（1）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，連接OE．請(qǐng)判斷∠BOE和∠CDO的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）在（1）的條件下，請(qǐng)直接寫出線段DE，BE，CD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖4，已知點(diǎn)P為正方形ABCD的一個(gè)“奇妙點(diǎn)”，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，連接DP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，連接CP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，請(qǐng)寫出BE和AB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（4）如圖5，已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為正方形ABCD的四個(gè)“奇妙點(diǎn)”連接AG，BH，CE，DF，恰好得到一個(gè)特殊的“趙爽弦圖”．請(qǐng)根據(jù)圖形，探究并直接寫岀一個(gè)不全等的幾何圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系．7．如圖①，美麗的弦圖，蘊(yùn)含著四個(gè)全等的直角三角形．（1）弦圖中包含了一大，一小兩個(gè)正方形，已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長(zhǎng)為c，結(jié)合圖①，試驗(yàn)證勾股定理．（2）如圖②，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的周長(zhǎng)為24，OC＝3，求該飛鏢狀圖案的面積．（3）如圖③，將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，則S2＝．弦圖模型鞏固練習(xí)1．在一次課題學(xué)習(xí)中，老師讓同學(xué)們合作編題，某學(xué)習(xí)小組受趙爽弦圖的啟發(fā)，編寫了下面這道題，請(qǐng)你來(lái)解一解：如圖，將平行四邊形ABCD的四邊DA、AB、BC、CD分別延長(zhǎng)至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE．求證：四邊形EFGH為平行四邊形．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB＝CD，∠BCD＝∠BAD，根據(jù)平角的定義得到∠HCG＝∠EAF，根據(jù)啟動(dòng)建設(shè)性的性質(zhì)得到EF＝CH，同理EH＝GF，于是得到結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∠BCD＝∠BAD，∵∠HCG＝180°﹣∠BCD，∠EAF＝180°﹣∠BAD，∴∠HCG＝∠EAF，∵BF＝DH，∴AF＝CH，∴△HCG≌△FAE（SAS），∴EF＝GH，同理EH＝GF，∴四邊形EFGH為平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進(jìn)行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次“談話”的語(yǔ)言．（1）請(qǐng)你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號(hào)語(yǔ)言敘述）．（2）以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a，b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請(qǐng)你利用圖2，驗(yàn)證勾股定理．（3）利用圖2中的直角梯形中線段BC與AD的大小關(guān)系，可以證明a+bc【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求解；（2）利用S梯形ABCD＝SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED進(jìn)行證明即可；（3）在直角梯形ABCD中，BC＜AD，由于已證△AED是直角三角形，那么利用勾股定理有AD=2c，從而可證a+b【解答】解：（1）如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC，又∵∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°．∵S梯形ABCD＝SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，∴12（a+b）（a+b）=12ab+12整理，得a2+b2＝c2．（3）∵AD=2c，BC＜AD∴a+b＜2c，即a+b【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)、面積分割法、勾股定理等知識(shí)．3．（1）我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個(gè)矩形分成四個(gè)全等的直角三角形，用四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)大的正方形（如圖1），這個(gè)矩形稱為趙爽弦圖，驗(yàn)證了一個(gè)非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式a2+b2＝c2，稱為勾股定理．證明：∵大正方形面積表示為S＝c2，又可表示為S＝4×12ab+（b﹣a）∴4×12ab+（b﹣a）2＝c∴a2+b2＝c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．（2）愛(ài)動(dòng)腦筋的小明把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了另一個(gè)大的正方形（如圖2），也能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你幫助小明完成驗(yàn)證的過(guò)程．（3）如圖3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，請(qǐng)你添加適當(dāng)?shù)妮o助線，證明結(jié)論a2+b2＝c2．【分析】（1）化簡(jiǎn)可得結(jié)論；（2）根據(jù)四個(gè)全等的直角三角形的面積+中間小正方形的面積＝大正方形的面積，即可證明；（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建矩形，根據(jù)矩形的面積可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵大正方形面積表示為S＝c2，又可表示為S＝4×12ab+（b﹣a）∴4×12ab+（b﹣a）2＝c∴2ab+b2﹣2ab+a2＝c2，∴a2+b2＝c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．故答案為：a2+b2＝c2；（2）證明：由圖得，大正方形面積=12×ab×4+c2＝（a+b）×（a整理得，2ab+c2＝a2+b2+2ab，即a2+b2＝c2；（3）如圖3，過(guò)A作AF⊥AB，過(guò)E作EF⊥AF于F，交BC的延長(zhǎng)線于D，則四邊形ABDF是矩形，∵△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB+∠ECD，∵∠ACB+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴CD＝AB＝b，DE＝BC＝a，S矩形ABDF＝b（a+b）＝2×12ab∴a2+b2＝c2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用數(shù)形結(jié)合來(lái)證明勾股定理，矩形和正方形的面積，三角形的面積，鍛煉了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合的思想方法．4．教材第九章中探索乘法公式時(shí)，設(shè)置由圖形面積的不同表示方法驗(yàn)證了乘法公式．我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個(gè)矩形分成四個(gè)全等的直角三角形，用四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)大的正方形（如圖1），這個(gè)圖形稱為趙爽弦圖，驗(yàn)證了一個(gè)非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式a2+b2＝c2，稱為勾股定理．（1）愛(ài)動(dòng)腦筋的小明把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了另一個(gè)大的正方形（如圖2），也能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你幫助小明完成驗(yàn)證的過(guò)程．（2）小明又把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)梯形（如圖3），利用上面探究所得結(jié)論，求當(dāng)a＝3，b＝4時(shí)梯形ABCD的周長(zhǎng)．（3）如圖4，在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的方格紙中，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙格點(diǎn)上．請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△ABC的高BD，利用上面的結(jié)論，求高BD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)四個(gè)全等的直角三角形的面積+陰影部分小正方形的面積＝大正方形的面積，代入數(shù)值，即可證明；（2）由（1）中結(jié)論先求出c的值，再根據(jù)周長(zhǎng)公式即可得出梯形ABCD的周長(zhǎng)；（3）先根據(jù)高的定義畫出BD，由（1）中結(jié)論求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)△ABC的面積不變列式，即可求出高BD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：由圖得，12×ab×4+c2＝（a+b）×（a+整理得，2ab+c2＝a2+b2+2ab，即a2+b2＝c2；（2）解：∵a＝3，b＝4，∴c=a梯形ABCD的周長(zhǎng)為：a+c+3a+c═4a+2c＝4×3+2×5＝22；（3）解：如圖，BD是△ABC的高．∵S△ABC=12AC?BD=12AB∴BD=3AB【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用數(shù)形結(jié)合來(lái)證明勾股定理，勾股定理的應(yīng)用，梯形的周長(zhǎng)，三角形的高與面積，鍛煉了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合的思想方法．5．（1）問(wèn)題情境：勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，借助“數(shù)形關(guān)系”利用面積法進(jìn)行證明，而以劉徽的“青朱出入圖”為代表的“無(wú)字證明”也頗為神奇，證明不需用任何數(shù)學(xué)符號(hào)和文字，整個(gè)證明單靠移動(dòng)幾塊圖形而得出．如圖1和2，將4個(gè)全等的直角三角形拼成邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，使中間留下一個(gè)邊長(zhǎng)為c的空白正方形，畫出邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，再移動(dòng)三角形至圖2所示的位置中，于是留下了邊長(zhǎng)分別為a和b的兩個(gè)空白正方形．則圖1和圖2中的白色部分面積必定相等，即c2＝a2+b2；（2）嘗試證明：實(shí)際上只需圖2的“一半”即可用“數(shù)形關(guān)系”和面積法證明，美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德在1876年利用圖3證明了勾股定理，請(qǐng)你來(lái)試一試，借助圖3完成證明：（3）問(wèn)題拓展：已知Rt△ABC的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，求證：a+bc【分析】（1）結(jié)合圖形可知得到c2＝a2+b2；（2）可以利用梯形減去兩個(gè)黑色直角三角形的面積，整理可得到c2＝a2+b2，可證得結(jié)論；（3）可把不等式兩邊平方，再結(jié)合勾股定理可證得．【解答】（1）解：在圖1中，白色部分為邊為c的正方形，其面積為c2，在圖2中，白色部分為邊長(zhǎng)分別為a和b的兩個(gè)正方形，其面積和為a2+b2，而a、b、c是直角三角形的三邊，所以有c2＝a2+b2，故答案為：c2＝a2+b2；（2）證明：∵S白三角形＝S梯形﹣2S黑三角形，∴12c2=12（a+b）（a+b）﹣2即c2＝a2+b2；（3）證明：∵0≤（a﹣b）2，∴2ab≤a2+b2，∴a2+b2+2ab≤2（a2+b2），∵a2+b2＝c2，∴（a+b）2≤2c2，∴(a+b∴a+bc【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理的證明和應(yīng)用，等積法是證明勾股定理常用的方法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．6．綜合與實(shí)踐正方形內(nèi)“奇妙點(diǎn)”及性質(zhì)探究：定義：如圖1，在正方形ABCD中，以BC為直徑作半圓O，以D為圓心，DA為半徑作AC，與半圓O交于點(diǎn)P我們稱點(diǎn)P為正方形ABCD的一個(gè)“奇妙點(diǎn)”．過(guò)奇妙點(diǎn)的多條線段與正方形ABCD無(wú)論是位置關(guān)系還是數(shù)量關(guān)系，都具有不少優(yōu)美的性質(zhì)值得探究．性質(zhì)探究：如圖2，連接DP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，則DE為半圓O的切線．證明：連接OP，OD．由作圖可知，DP＝DC，OP＝OC，又∵OD＝OD．∴△OPD≌△OCD．（SSS）∴∠OPD＝∠OCD＝90°∴DE是半圓O的切線．問(wèn)題解決：（1）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，連接OE．請(qǐng)判斷∠BOE和∠CDO的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）在（1）的條件下，請(qǐng)直接寫出線段DE，BE，CD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖4，已知點(diǎn)P為正方形ABCD的一個(gè)“奇妙點(diǎn)”，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，連接DP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，連接CP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，請(qǐng)寫出BE和AB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（4）如圖5，已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為正方形ABCD的四個(gè)“奇妙點(diǎn)”連接AG，BH，CE，DF，恰好得到一個(gè)特殊的“趙爽弦圖”．請(qǐng)根據(jù)圖形，探究并直接寫岀一個(gè)不全等的幾何圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OPD＝∠OCD＝90°，∠POD＝∠COD，∠CDO=∠PDO=12∠PDC，于是得到∠BOP＝∠PDC（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PD＝DC，PE＝BE，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；（3）如圖4，連接OE，OD，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BEBO=OC（4）答案不唯一，根據(jù)圖形即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∠BOE＝∠CDO，理由如下：∵PD＝DC，OD＝OD，OP＝OC，∴△OPD≌△OCD（SSS），∴∠OPD＝∠OCD＝90°，∠POD＝∠COD，∠CDO=∠PDO=1∴∠POC+∠PDC＝360°﹣∠OPD﹣∠OCD＝180°，∴∠POC+∠BOP＝180°，∴∠BOP＝∠PDC，在Rt△POE和Rt△BOE中，∵OE＝OE，OP＝OB，∴△POE≌△BOE（HL），∴∠POE=∠BOE=1∵∠CDO=∠PDO=1∴∠BOE＝∠CDO；（2）線段DE，BE，CD之間的數(shù)量關(guān)系是DE＝BE+CD，理由：由（1）知，△OPD≌△OCD，△POE≌△BOE，∴PD＝DC，PE＝BE，∵DE＝PE+PD，∴DE＝CD+BE；（3）如圖4，連接OE，OD，由（1）可知，∠BOE＝∠CDO，又∵∠B＝∠OCD＝90°，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，∴tan∠BOE＝tan∠CDO，∴BEBO∴BE=1∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∴BE=1（4）答案不唯一，如圖5，連接DE，∵點(diǎn)E是正方形ABCD的“奇妙點(diǎn)”，∴DE＝CD，∵DF⊥CE，∴EF＝CF，∴EF=1∴設(shè)EF＝a，則CE＝2a，∴△ABH的面積=12a×2a＝a2，正方形EFGH的面積＝a∴△ABH的面積＝正方形EFGH的面積；同理正方形EFGH的面積等于正方形ABCD面積的15【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．7．如圖①，美麗的弦圖，蘊(yùn)含著四個(gè)全等的直角三