第4章　高考大題規(guī)范解答-高考中三角函數(shù)綜合問題的熱點(diǎn)題型

第四章三角函數(shù)、解三角形高考大題規(guī)范解答——高考中三角函數(shù)綜合問題的熱點(diǎn)題型提能訓(xùn)練練案[29]命題動(dòng)向：三角函數(shù)不僅是數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)也是解決其他問題的一種數(shù)學(xué)工具．高考命題者常在三角函數(shù)、解三角形和平面向量、數(shù)列等知識(shí)的交匯處命題，對(duì)三角函數(shù)與平面向量的考查，多以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等．備考中注意與平面向量的加法、減法的幾何意義，平行、垂直的條件以及數(shù)量積的定義相結(jié)合來(lái)尋找解題突破口.解三角形中角平分線、中線、高線問題(2023·新課標(biāo)一卷，17)(10分)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sinB．(1)求sinA；(2)設(shè)AB＝5，求AB邊上的高．[解析]解法一：(1)第1步：利用三角形的內(nèi)角和為π以及已知角的等式，求出角C在△ABC中，A＋B＝π－C，第2步：把三角式往要求的角A轉(zhuǎn)化因?yàn)?sin(A－C)＝sinB，第3步：利用兩角差的正弦公式及特殊角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為關(guān)于角A的三角等式得sinA＝3cosA，(4分)第4步：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinA又sin2A＋cos2A＝1，且sinA>0，(2)利用等面積法求高第1步：利用正弦定理求出BC第2步：利用余弦定理求出AC由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC，(7分)第3步：利用三角形中大邊對(duì)大角，得AC的值第4步：利用等面積法，求出AB邊上的高解得h＝6，所以AB邊上的高為6.(10分)解法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因?yàn)?sin(A－C)＝sinB，所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，(2分)所以2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，(3分)所以sinAcosC＝3cosAsinC，易得cosAcosC≠0，又sinA>0，第2步：利用兩角差的正弦公式求出sinB第3步：利用正弦定理求出AC第4步：解直角三角形，求出AB邊上的高【變式訓(xùn)練】(1)若D是BC的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)度；(2)若E是邊BC上一點(diǎn)，AE為△ABC的角平分線，求AE的長(zhǎng)度．與三角形面積有關(guān)的問題(2023·全國(guó)高考甲卷理科，8)(12分)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.(1)求sin∠ABC；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且∠BAD＝90°，求△ADC的面積．[解析]

(1)第1步：根據(jù)余弦定理求BC解法二：第2步：根據(jù)余弦定理求cos∠ABC，然后求sin∠ABC第2步：求△ADC的面積第2步：求△ADC與△BAD的面積的比值第3步：求△ADC的面積[注意事項(xiàng)]

本題考查解三角形相關(guān)知識(shí)，是基礎(chǔ)題．本題有三個(gè)方面值得注意：一是本題揉合了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用；二是在本題的分析與求解過程中，可畫出圖形，方便對(duì)已知條件和要求解的要素有直觀的認(rèn)識(shí)；三是關(guān)于第(2)問的解法二，事實(shí)上指向了這類問題的通性解法，可以解決∠BAD不是90°的更一般情形．【變式訓(xùn)練】即sinAcosB－cosA