61分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件-高二下學期數(shù)學人教A版選擇性

6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

人教A版（2019）選擇性必修三素養(yǎng)目標1.通過例子，總結(jié)出分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理（重點）2.了解分類加法、分步乘法計數(shù)原理及其意義（重點）3.能根據(jù)具體問題，選擇分類加法計數(shù)原理或者分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題，提升數(shù)學運算和邏輯推理能力（難點）新課導入思考一下：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的一個座位編號,總共能編出多少種不同的號碼？因為英文字母共有26個,阿拉伯數(shù)字共有10個,所以總共可以編出26+10=36種不同的號碼新課學習對上面的問題進行分析首先,這里要完成的事情是"給一個座位編號";其次是"或"字的出現(xiàn)：一個座位編號用一個英文字母或一個阿拉伯數(shù)字表示.因為英文字母與阿拉伯數(shù)字互不相同,所以用英文字母編出的號碼與用阿拉伯數(shù)字編出的號碼也互不相同.這兩類號碼數(shù)相加就得到號碼的總數(shù).根據(jù)上面的分析得到的步驟（1）確定分類標準，根據(jù)問題條件分為字母號碼和數(shù)字號碼兩類；（2）分別計算各類號碼的個數(shù);（3）各類號碼的個數(shù)相加，得出所有號碼的個數(shù).新課學習分類加法計數(shù)原理的概念完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有

m

種不同的方法,在第2類方案中有n

種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法新課學習例1

在填寫高考志愿表時,一名高中畢業(yè)生了解到,A,B

兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè),如表.如果這名同學只能選一個專業(yè),那么他共有多少種選擇新課學習

分析：要完成的事情是"選一個專業(yè)".因為這名同學在A，B兩所大學中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又因為這兩所大學沒有共同的強項專業(yè)，所以符合分類加法計數(shù)原理的條件.這名同學可以選擇

A,B兩所大學中的一所.在A大學中有5種專業(yè)選擇方法,在B大學中有4種專業(yè)選擇方法.因為沒有一個強項專業(yè)是兩所大學共有的,所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理,這名同學可能的專業(yè)選擇種數(shù)為N=5+4=9新課學習探究思考：如果完成一件事有三類不同方案,在第1類方案中有

m1種不同的方法,在第2類方案中有

m2

種不同的方法,在第3類方案中有

m3種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同的方法？有m1+m2+m3種方法探究思考：如果完成一件事有n類不同方案,在每一類方案中都有若干種不同的方法,那么應當如何計數(shù)呢如果完成一件事有n類不同方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法,…,在第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.新課學習思考一下：用前6個大寫英文字母和1~9這9個阿拉伯數(shù)字,以A1,A2,?,A9,B1,B2,?的方式給教室里的一個座位編號,總共能編出多少種不同的號碼這里要完成的事情仍然是"給一個座位編號",但與前一問題的要求不同.在前一問題中,用26個英文字母中的任意一個或10個阿拉伯數(shù)字中的任意一個,都可以給出一個座位號碼.但在這個問題中,號碼必須由一個英文字母和一個作為下標的阿拉伯數(shù)字組成,即得到一個號碼要經(jīng)過先確定一個英文字母,后確定一個阿拉伯數(shù)字這樣兩個步驟.用圖中所示的方法可以列出所有可能的號碼.新課學習也可以這樣思考：由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數(shù)字中的任意一個組成一個號碼,而且它們互不相同，因此共有6×9=54種不同的號碼.上述問題要完成的一件事情仍然是"給一個座位編號"，其中最重要的特征是"和"字的出現(xiàn)：一個座位編號由一個英文字母和一個阿拉伯數(shù)字構(gòu)成。因此得到一個座位號要經(jīng)過先確定一個英文字母,后確定一個阿拉伯數(shù)字這兩個步驟,每一個英文字母與不同的數(shù)字組成的號碼是互不相同的.新課學習分步乘法計數(shù)原理的概念一般地,有如下分步乘法計數(shù)原理:完成一件事需要兩個步驟

，做第1步有

m

種不同的方法,做第2步有

n

種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.新課學習例2某班有男生30名、女生24名,從中任選男生和女生各1名代表班級參加比賽,共有多少種不同的選法分析：要完成的一件事是"選男生和女生各1名"，可以分兩個步驟：第1步，選男生;第2步,選女生.任選男生和女生各1名,可以分兩個步驟完成：第1步，從30名男生中選出1名,有30種不同選法;第2步,從24名女生中選出1名,有24種不同選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有不同選法的種數(shù)為N=30×24=720新課學習探究思考：如果完成一件事需要三個步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法,做第3步有m3種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同的方法探究思考：如果完成一件事需要n個步驟,做每一步都有若干種不同的方法,那么應當如何計數(shù)呢有m1×m2×m3種方法如果完成一件事有n類不同方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法,…,在第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.新課學習例3書架的第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.（1）從書架上任取1本書,有多少種不同取法分析：要完成的一件事是"從書架上取1本書"，可以分從第1層、第2層和第3層中取，有三類方案；從書架上任取1本書,有三類方案:第1類方案是從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2類方案是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方案是從第3層取1本體育書,有2種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,不同取法的種數(shù)為N=4+3+2=9（2）要完成的一件事是"從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書",可以分三個步驟完成.新課學習從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書,可以分三個步驟完成:第1步,從第1層取1本計算機書,有4種方法;第2步,從第2層取1本文藝書,有3種方法;第3步,從第3層取1本體育書,有2種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同取法的種數(shù)為分析：要完成的一件事是"從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書",可以分三個步驟完成.N=4×3×2=24新課學習例4要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅,分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置,共有多少種不同的掛法分析：要完成的一件事是"從3幅畫中選出2幅,并分別掛在左、右兩邊墻上",可以分步完成.

從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上,可以分兩個步驟完成:第1步,從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上,有3種選法;第2步,從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上,有2種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同掛法的種數(shù)為N=3×2=6這6種掛法如圖所示新課學習思考一下：分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理有什么區(qū)別？分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題.區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對的是"分類"問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對的是"分步"問題，各個步驟中的方法互相依存,只有每一個步驟都完成才算做完這件事.新課學習例5給程序模塊命名,需要用3個字符,其中首字符要求用字母A~G或U~Z,后兩個字符要求用數(shù)字1~9,最多可以給多少個程序模塊命名分析：要完成的一件事是"給一個程序模塊命名"，可以分三個步驟完成：第1步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符.而首字符又可以分為兩類.由分類加法計數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為7+6=13后兩個字符從1~9中選,因為數(shù)字可以重復,所以不同選法的種數(shù)都為9.由分步乘法計數(shù)原理,不同名稱的個數(shù)是13×9×9=1053即最多可以給1053個程序模塊命名.新課學習例6電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài),而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法,即二進制.為了使計算機能夠識別字符,需要對字符進行編碼,每個字符可以用1個或多個字節(jié)來表示,其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位,每個字節(jié)由8個二進制位構(gòu)成.（1）1個字節(jié)（8位）最多可以表示多少個不同的字符？分析：要完成的一件事是"確定1個字節(jié)各二進制位上的數(shù)字".由于每個字節(jié)有8個二進制位,每一位上的數(shù)字都有0,1兩種選擇,而且不同的順序代表不同的字符,因此可以用分步乘法計數(shù)原理求解新課學習用圖表示1個字節(jié),每一格代表一位.1個字節(jié)共有8位,每位上有2種選擇.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,1個字節(jié)最多可以表示不同字符的個數(shù)是2×2×2×2×2×2×2×2=28=256.新課學習（2）計算機漢字國標碼包含了6763個漢字,一個漢字為一個字符,要對這些漢字進行編碼,每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示分析：只要計算出多少個字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個即可由（1）知，1個字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個，我們考慮2個字節(jié)能夠表示多少個字符.前1個字節(jié)有256種不同的表示方法，后1個字節(jié)也有256種表示方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，2個字節(jié)可以表示不同字符的個數(shù)是256×256=65536這已經(jīng)大于漢字國標碼包含的漢字個數(shù)6763.因此要對這些漢字進行編碼,每個漢字至少要用2個字節(jié)表示.新課學習例7計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行測試.程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù)。一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成.圖中是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑？另外，為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù).你能幫助程序員設(shè)計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎？新課學習分析：整個模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點；第2步是從A點執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可由子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個來完成；第2步可由子模塊4、子模塊5中任何一個來完成.因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個計數(shù)原理.由分類加法計數(shù)原理，子模塊1、子模塊2、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為18+45+28=91子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為38+43=81新課學習又由分步乘法計數(shù)原理,整個模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為91×81=7371在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊.這樣,他可以先分別單獨測試5個模塊,以考察每個子模塊的工作是否正常.總共需要的測試次數(shù)為18+45+28+38+43=172再測試各個模塊之間的信息交流是否正常,只需要測試程序第1步中的各個子模塊和第2步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常,需要的測試次數(shù)為3×2=6新課學習如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息交流也正常,那么整個程序模塊就工作正常.這樣,測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6=178顯然,178與7371的差距是非常大的.新課學習例8

通常,我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成:第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機關(guān)代號,第二部分為由阿拉伯數(shù)字和英文字母組成的序號,如圖所示.其中,序號的編碼規(guī)則為:（1）由10個阿拉伯數(shù)字和除O,I之外的24個英文字母組成;（2）最多只能有2個英文字母.如果某地級市發(fā)牌機關(guān)采用5位序號編碼，那么這個發(fā)牌機關(guān)最多能發(fā)放多少張汽車號牌新課學習分析：由號牌編號的組成可知，序號的個數(shù)決定了這個發(fā)牌機關(guān)所能發(fā)放的最多號牌數(shù).按序號編碼規(guī)則可知，每個序號中的數(shù)字、字母都是可重復的，并且可將序號分為三類：沒有字母，有1個字母，有2個字母.以字母所在位置為分類標準，可將有1個字母的序號分為五個子類，將有2個字母的序號分為十個子類.由號牌編號的組成可知，這個發(fā)牌機關(guān)所能發(fā)放的最多號牌數(shù)就是序號的個數(shù).根據(jù)序號編碼規(guī)則，5位序號可以分為三類：沒有字母，有1個字母，有2個字母.（1）當沒有字母時，序號的每一位都是數(shù)字.確定一個序號可以分5個步驟，每一步都可以從10個數(shù)字中選1個，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)為10×10×10×10×10=100000新課學習（2）當有1個字母時，這個字母可以分別在序號的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號可以分為五個子類.當?shù)?位是字母時,分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字:第1步,從24個字母中選1個放在第1位,有24種選法;第2~5步都是從10個數(shù)字中選1個放在相應的位置,各有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,號牌張數(shù)為24×10×10×10×10=240000同樣，其余四個子類號牌也各有240000張.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)一共為240000+240000+240000+240000+240000=1200000新課學習（3）當有2個字母時，根據(jù)這2個字母在序號中的位置，可以將這類序號分為十個子類：第1位和第2位,第1位和第3位,第1位和第4位,第1位和第5位,第2位和第3位,第2位和第4位,第2位和第5位,第3位和第4位,第3位和第5位,第4位和第5