備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易錯題10立體幾何含解析

易錯點(diǎn)10立體幾何—備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易錯題【典例分析】例1（2024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)）日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（）A.20° B.40°C.50° D.90°【答案】B【解析】【分析】畫出過球心和晷針?biāo)_定的平面截地球和晷面的截面圖，依據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的定義判定有關(guān)截線的關(guān)系，依據(jù)點(diǎn)處的緯度，計算出晷針與點(diǎn)處的水平面所成角.【詳解】畫出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；是點(diǎn)處的水平面的截線，依題意可知；是晷針?biāo)谥本€.是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，依據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知、依據(jù)線面垂直的定義可得..由于，所以，由于，所以，也即晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學(xué)文化，考查球體有關(guān)計算，涉及平面平行，線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.例2（2024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．【答案】.【解析】【分析】依據(jù)已知條件易得，側(cè)面，可得側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，可得側(cè)面與球面的交線是扇形的弧，再依據(jù)弧長公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖：取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，因?yàn)?0°，直四棱柱的棱長均為2，所以△為等邊三角形，所以，，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因?yàn)椋詡?cè)面，設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)，則，因?yàn)榍虻陌霃綖?，，所以，所以?cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，因?yàn)?，所以?cè)面與球面的交線是扇形的弧，因?yàn)?，所以，所以依?jù)弧長公式可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面垂直的判定，考查了立體幾何中的軌跡問題，考查了扇形中的弧長公式，屬于中檔題.例3（2024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，從而得到平面；（2）依據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，之后求得平面的法向量以及向量的坐標(biāo)，求得的最大值，即為直線與平面所成角的正弦值的最大值.【詳解】（1）證明：在正方形中，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)樗云矫?；?）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則有，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為，則依據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的肯定值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有線面平行的判定和性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)，利用空間向量求線面角，利用基本不等式求最值，屬于中檔題目.【易錯警示】易錯點(diǎn)1.柱、錐、臺結(jié)構(gòu)特征推斷中的誤區(qū)【例1】如圖所示，幾何體的正確說法的序號為________．(1)這是一個六面體；(2)這是一個四棱臺；(3)這是一個四棱柱；(4)此幾何體可由三棱柱截去一個三棱柱得到；(5)此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到．【錯解】(1)正確，因?yàn)橛辛鶄€面，屬于六面體的范圍；(2)錯誤，因?yàn)閭?cè)棱的延長線不能交于一點(diǎn)，所以不正確；(3)正確，假如把幾何體放倒就會發(fā)覺是一個四棱柱；(4)(5)都錯誤．【錯因】忽視側(cè)棱的延長線不能交于一點(diǎn)，直觀感覺是棱臺，而不留意邏輯推理．【正解】(4)(5)如圖，都正確。正確答案：(1)(3)(4)(5)易錯點(diǎn)2.解答平面圖形直觀圖還原問題的易錯點(diǎn)【例2】一梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面積為eq\r(2)，則原梯形的面積為()A．2B.eq\r(2)C．2eq\r(2) D．4【錯解】OC的長度eq\r(2)倍，故其面積是梯形OA′B′C′面積的eq\r(2)倍，梯形OA′B′C′的面積為eq\r(2)，所以原梯形的面積是2.【錯因】原梯形與直觀圖中梯形上、下底邊的長度一樣，但高的長度不一樣．原梯形的高OC是直觀圖中OC′的長度的2倍，OC′長度是直觀圖中梯形的高的eq\r(2)倍，此處易出錯．【正解】原梯形的高OC是直觀圖中OC′長度的2倍，OC′的長度是直觀圖中梯形的高的eq\r(2)倍，由此知原梯形的高OC的長度是直觀圖中梯形高的2eq\r(2)倍，故其面積是梯形OA′B′C′面積的2eq\r(2)倍，梯形OA′B′C′的面積為eq\r(2)，所以原梯形的面積是4.易錯點(diǎn)3.求幾何體表面積、體積考慮不全.【例3】把長、寬分別為4、2的矩形卷成一個圓柱的側(cè)面，求這個圓柱的體積．【錯解】設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長為l，高為h.當(dāng)2πr＝4，l＝2時，r＝eq\f(2,π)，h＝l＝2，所以V圓柱＝πr2h＝eq\f(8,π).【錯因】把矩形卷成圓柱時，可以以4為底，2為高；也可以以2為底，4為高．簡單漏掉一種狀況，解決此類問題肯定要考慮全面．【正解】設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長為l，高為h.當(dāng)2πr＝4，l＝2時，r＝eq\f(2,π)，h＝l＝2，所以V圓柱＝πr2h＝eq\f(8,π).當(dāng)2πr＝2，l＝4時，r＝eq\f(1,π)，h＝l＝4，所以V圓柱＝πr2h＝eq\f(4,π).綜上所述，這個圓柱的體積為eq\f(8,π)或eq\f(4,π).易錯點(diǎn)4.垂直性質(zhì)定理應(yīng)用的誤區(qū)【例4】已知兩個平面垂直，下列命題：①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的隨意一條直線②一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面的多數(shù)條直線③一個平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個平面④過一個平面內(nèi)隨意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面．其中正確命題個數(shù)是()A．3B．2C．1D．0【錯解】如圖在正方體ABCD－A1B1C1D1中，對于①AD1?平面AA1D1D，BD?平面ABCD，AD1與BD是異面直線，成角60°，①錯誤；②正確．對于③，AD1?平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；對于④，過平面AA1D1D內(nèi)點(diǎn)D1，作D1C.∵AD⊥平面D1DCC1，D1C?平面D1DCC1，∴AD⊥D1C.故正確，故選B.【錯因】“一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直”與“過一個平面內(nèi)隨意一點(diǎn)作交線的垂線”，此垂線與另一個平面垂直”是不同的，關(guān)鍵是過點(diǎn)作的直線不肯定在已知平面內(nèi)．【正解】對于④，過平面AA1D1D內(nèi)點(diǎn)D1，作D1C.∵AD⊥平面D1DCC1，D1C?平面D1DCC1，∴AD⊥D1C.但D1C不垂直于平面ABCD，故④錯誤，故選C.易錯點(diǎn)5.空間圖形位置關(guān)系考慮不全面【例5】①若，，則②若③若④若其中正確命題的序號有________.【錯因】此題簡單錯選③，錯誤緣由是沒有考慮到a,b異面的狀況【正解】②中。③.選①④易錯點(diǎn)6．幾何體計算公式駕馭不牢【例6】凸多面體的體積()A．B．1C．D．【錯因】此題簡單錯選為D，錯誤緣由是對棱錐的體積公式記憶不牢。【正解】將綻開圖還原為立體圖，再確定上面棱錐的高。平面綻開圖復(fù)原的幾何體是下部為正方體，上部是正四棱錐，棱長都是1，正方體的體積是1；棱長為1的正四棱錐的體積是：SKIPIF1<0，故答案為SKIPIF1<0易錯點(diǎn)7.找不到要求的角【例7】長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝4，AB＝3，則直線A1B與平面A1B1CD所成角的正弦值是.【錯因】此題簡單錯在線面角的找尋上?！菊狻坑蓷l件知，BC1平面A1B1CD，設(shè)BC1B1C＝O，則∠BA1O為所求角，其正弦值為＝易錯點(diǎn)8.球形與其它圖形幾何的組合圖形把握不準(zhǔn)提示：有關(guān)球的問題，多數(shù)采納過球心的截面法轉(zhuǎn)換為平面幾何問題【例8】一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為______.【錯因】球體是近年高考通常所設(shè)計的集合體，通常也是考生簡單出錯的一個地方，通常的錯誤是對球體的與題目結(jié)合時候空間想象力缺乏導(dǎo)致，或者計算的時候計算不出球的半徑等?！菊狻窟^球心與小圓圓心做球的截面，轉(zhuǎn)化為平面幾何來解決.由已知與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為π，故該圓的半徑為1，球的半徑為SKIPIF1<0，故該球的表面積S=4πR2=8π【訓(xùn)練】如圖，在半徑為3的球面上有A、B、C三點(diǎn)，∠ABC=900，BA=BC，球心SKIPIF1<0到平面ABC的距離是SKIPIF1<0，則B、C兩點(diǎn)的球面距離是（）A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0【正解】取AC中點(diǎn)SKIPIF1<0，由球的基本性質(zhì)可知SKIPIF1<0⊥平面ABC，所以△SKIPIF1<0B為直角三角形且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又∠ABC=900，所以ACSKIPIF1<0，在等腰直角三角形ABC中BA=BC，所以BC=SKIPIF1<0，則△SKIPIF1<0為正三角形即SKIPIF1<0則B、C兩點(diǎn)的球面距離是SKIPIF1<0【變式練習(xí)】1．（2024·六盤山高級中學(xué)高考模擬（理））已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)的交點(diǎn)為，連接，則為所成的角或其補(bǔ)角；設(shè)正四棱錐的棱長為，則，所以，故C為正確答案．2．（2024·湖北省高考模擬（文））已知正三棱柱的底面邊長為3，外接球表面積為，則正三棱柱的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】正三棱柱的底面邊長為3,故底面的外接圓的半徑為：外接球表面積為外接球的球心在上下兩個底面的外心MN的連線的中點(diǎn)上，記為O點(diǎn)，如圖所示在三角形中，解得故棱柱的體積為：故答案為D.3．（多選）如圖，直三棱柱中，，，，側(cè)面中心為O，點(diǎn)E是側(cè)棱上的一個動點(diǎn)，有下列推斷，正確的是（）A．直三棱柱側(cè)面積是 B．直三棱柱體積是C．三棱錐的體積為定值 D．的最小值為【答案】ACD【解析】在直三棱柱中，，，底面和是等腰直角三角形，側(cè)面全是矩形，所以其側(cè)面積為1×2×2+，故A正確；直三棱柱的體積為，故B不正確；由BB1∥平面AA1C1C，且點(diǎn)E是側(cè)棱上的一個動點(diǎn)，三棱錐的高為定值，××2＝，××＝，故C正確；設(shè)BE＝x，則B1E＝2﹣x，在和中，∴＝．由其幾何意義，即平面內(nèi)動點(diǎn)（x，1）與兩定點(diǎn)（0，0），（2，0）距離和的最小值，由對稱可知，當(dāng)為的中點(diǎn)時，其最小值為，故D正確．故選ACD．4．（2024·廣東省高考模擬（理））三棱錐中，底面是等腰直角三角形，，且為中點(diǎn)，如圖.（1）求證：平面平面；（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見證明；（2）【解析】（1）證明：是等腰直角三角形，為中點(diǎn)，平面平面平面平面（2）平面為二面角的平面角，為等邊三角形，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面的法向量，則即取設(shè)與平面所成角為，則故平面所成角的正弦值為.【真題演練】1．【2024年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形態(tài)可視為一個正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)，則，由題意得，即，化簡得，解得（負(fù)值舍去）.故選C．【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計算實(shí)力，是一道簡單題.2．【2024年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點(diǎn)在正視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為，在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為A． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形，上的點(diǎn)在正視圖中都對應(yīng)點(diǎn)M,直線上的點(diǎn)在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為N,∴在正視圖中對應(yīng),在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)是,線段,上的全部點(diǎn)在側(cè)試圖中都對應(yīng),∴點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)三視圖推斷點(diǎn)的位置，解題關(guān)鍵是駕馭三視圖的基礎(chǔ)學(xué)問和依據(jù)三視圖能還原立體圖形的方法，考查了分析實(shí)力和空間想象，屬于基礎(chǔ)題.3．【2024年高考全國II卷理數(shù)】已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16，則O到平面ABC的距離為A． B． C．1 D．【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為，則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長為，是面積為的等邊三角形，，解得：，，球心到平面的距離.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查球的相關(guān)問題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面.4．【2024年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2【答案】C【解析】依據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形依據(jù)立體圖形可得：依據(jù)勾股定理可得：是邊長為的等邊三角形依據(jù)三角形面積公式可得：該幾何體的表面積是：.故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關(guān)鍵是駕馭依據(jù)三視圖畫出立體圖形，考查了分析實(shí)力和空間想象實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.5．【2024年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知為球的球面上的三個點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，為等邊三角形，由正弦定理可得，，依據(jù)球的截面性質(zhì)平面，，球的表面積.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6．【2024年高考天津】若棱長為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】這個球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對角線的一半，即，所以，這個球的表面積為.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方體的外接球的表面積的求法，求出外接球的半徑是本題的解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.求多面體的外接球的面積和體積問題，常用方法有：（1）三條棱兩兩相互垂直時，可復(fù)原為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再依據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）假如設(shè)計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心.7．【2024年高考北京】某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長為2的等邊三角形，側(cè)面為三個邊長為2的正方形，則其表面積為：.故選：D．【點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)覺幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．(2)多面體表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)留意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時須要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．8．【2024年高考浙江】某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）是A． B． C．3 D．6【答案】A【解析】由三視圖可知，該幾何體是上半部分是三棱錐，下半部分是三棱柱，且三棱錐的一個側(cè)面垂直于底面，且棱錐的高為1，棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為2，所以幾何體的體積為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)三視圖計算幾何體的體積，屬于基礎(chǔ)題.9．【2024年高考浙江】已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線l，m，n．“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】依題意是空間不過同一點(diǎn)的三條直線，當(dāng)在同一平面時，可能，故不能得出兩兩相交.當(dāng)兩兩相交時，設(shè)，依據(jù)公理可知確定一個平面，而，依據(jù)公理可知，直線即，所以在同一平面.綜上所述，“在同一平面”是“兩兩相交”的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的推斷，考查公理和公理的運(yùn)用，屬于中檔題.10．【2024年新高考全國Ⅰ卷】日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為A．20° B．40°C．50° D．90°【答案】B【解析】畫出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；是點(diǎn)處的水平面的截線，依題意可知；是晷針?biāo)谥本€.是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，依據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知、依據(jù)線面垂直的定義可得..由于，所以，由于，所以，也即晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學(xué)文化，考查球體有關(guān)計算，涉及平面平行，線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.11．【2024年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)有下列四個命題：p1：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)．p2：過空間中隨意三點(diǎn)有且僅有一個平面．p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行．p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l．則下述命題中全部真命題的序號是__________．① ② ③ ④【答案】①③④【解析】對于命題，可設(shè)與相交，這兩條直線確定的平面為；若與相交，則交點(diǎn)在平面內(nèi)，同理，與的交點(diǎn)也在平面內(nèi)，所以，，即，命題為真命題；對于命題，若三點(diǎn)共線，則過這三個點(diǎn)的平面有多數(shù)個，命題為假命題；對于命題，空間中兩條直線相交、平行或異面，命題為假命題；對于命題，若直線平面，則垂直于平面內(nèi)全部直線，直線平面，直線直線，命題為真命題.綜上可知，，為真命題，，為假命題，為真命題，為假命題，為真命題，為真命題.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假，同時也考查了空間中線面關(guān)系有關(guān)命題真假的推斷，考查推理實(shí)力，屬于中等題.12．【2024年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【答案】【解析】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要仔細(xì)分析圖形，明準(zhǔn)確點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.13．【2024年高考浙江】已知圓錐的側(cè)面積（單位：cm2）為，且它的側(cè)面綻開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：cm）是_______．【答案】【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，則，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓錐側(cè)面綻開圖有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.14．【2024年高考江蘇】如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是▲cm.【答案】【解析】正六棱柱體積為，圓柱體積為，所求幾何體體積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正六棱柱體積、圓柱體積，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.15．【2024年新高考全國Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．【答案】.【解析】如圖：取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，因?yàn)?0°，直四棱柱的棱長均為2，所以△為等邊三角形，所以，，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因?yàn)?，所以?cè)面，設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)，則，因?yàn)榍虻陌霃綖椋?，所以，所以?cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，因?yàn)?，所以?cè)面與球面的交線是扇形的弧，因?yàn)?，所以，所以依?jù)弧長公式可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面垂直的判定，考查了立體幾何中的軌跡問題，考查了扇形中的弧長公式，屬于中檔題.16．【2024年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）設(shè)，由題設(shè)可得，.因此，從而.又，故.所以平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題設(shè)可得.所以.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.由（1）知是平面的一個法向量，記，則.所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的證明以及利用向量求二面角的大小，考查學(xué)生空間想象實(shí)力，數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道簡單題.17．【2024年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值．【解析】（1）因?yàn)镸，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，所以．又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN．因?yàn)椤鰽1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN．所以平面A1AMN⊥平面．（2）由已知得AM⊥BC．以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M-xyz，則AB=2，AM=．連接NP，則四邊形AONP為平行四邊形，故．由（1）知平面A1AMN⊥平面ABC，作NQ⊥AM，垂足為Q，則NQ⊥平面ABC．設(shè)，則，故．又是平面A1AMN的法向量，故．所以直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值為．18．【2024年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】如圖，在長方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，．（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（