高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《空間點、線、面的位置關(guān)系》專項測試卷及答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《空間點、線、面的位置關(guān)系》專項測試卷及答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________復(fù)習(xí)要點1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面之間位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個基本事實和定理，了解空間兩條直線位置關(guān)系的判定．一平面基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面．基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行．二“三個”推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．三空間兩條直線的位置關(guān)系1．位置關(guān)系的分類(1)共面直線①相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；②平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點．(2)異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點．2．平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行．3．等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．4．異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：(0°，90°]．四空間直線、平面的位置關(guān)系圖形語言符號語言公共點直線與平面相交a∩α＝A1個平行a∥α0個在平面內(nèi)a?α無數(shù)個平面與平面平行α∥β0個相交α∩β＝l無數(shù)個常/用/結(jié)/論1．異面直線的判定過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線．如圖：eq\a\vs4\al(A?α，B∈α，l?α.,B?l，則l與AB為異面直線.)2．唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直；(3)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直；(4)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面．(√)(3)依次首尾相接的四條線段必共面．()(4)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么b與c不可能是平行直線．(√)2．若直線a不平行于平面α，且a?α，則下列結(jié)論成立的是()A．α內(nèi)的所有直線與a異面B．α內(nèi)不存在與a平行的直線C．α內(nèi)存在唯一的直線與a平行D．α內(nèi)的直線與a都相交解析：若直線a不平行于平面α，且a?α，則α與a相交，A選項不正確，α內(nèi)存在直線與a相交；B選項正確，C選項不正確，α內(nèi)的直線與直線a的位置關(guān)系是相交或者異面，不可能平行；D選項不正確，α內(nèi)只有過直線a與平面的交點的直線與a相交．故選B.答案：B3．(多選)α是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系可能是()A．垂直 B．相交C．異面 D．平行解析：依題意，m∩α＝A，n?α，∴m與n可能異面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．故選ABC.答案：ABC4．(2024·河北石家莊模擬)一個正方體的展開圖如圖所示，點B，C，D為原正方體的頂點，點A為原正方體一條棱的中點，那么在原來的正方體中，直線CD與AB所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(,15),10) B.eq\f(\r(,10),5)C.eq\f(\r(,5),5) D.eq\f(\r(,10),10)解析：還原正方體，如圖所示，設(shè)正方體的棱長為2，由題意可得AD＝1，AF＝1，則AB＝eq\r(,5)，BE＝EF＝2eq\r(,2)，所以AE＝eq\r(,EF2＋AF2)＝3，又在正方體中，CD∥BE，所以∠ABE或其補角即為異面直線CD與AB所成的角，所以cos∠ABE＝eq\f(5＋8－9,2×\r(,5)×2\r(,2))＝eq\f(\r(,10),10).故選D.答案：D題型平面基本性質(zhì)的應(yīng)用典例1已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面；由數(shù)量關(guān)系證明EF∥BD.(2)若A1C交平面DBFE于點R，則P，Q，R三點共線；(3)DE，BF，CC1三線交于一點．證明：(1)如圖所示，連接B1D1.因為EF是△D1B1C1的中位線，所以EF∥B1D1.在正方體AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD確定一個平面，即D，B，F(xiàn)，E四點共面．(2)在正方體AC1中，設(shè)A1，C，C1三點確定的平面為α，平面BDEF為β.因為Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α與β的公共點．同理，P是α與β的公共點，所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，所以R∈α，且R∈β.則R∈PQ，故P，Q，R三點共線．欲證三點共線，只須證明三點是兩個平面的公共點．(3)因為EF∥BD且EF<BD，所以DE與BF相交．設(shè)交點為M，則由M∈DE，DE?平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，點M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.應(yīng)用基本事實3，證明三線共點．所以DE，BF，CC1三線交于一點．1．證明點或線共面問題的兩種方法(1)首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)．常稱為“納入平面法”．(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．稱為“同一法”．2．證明點共線問題的兩種方法(1)先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．(2)直接證明這些點都在同一條特定直線上．3．證明線共點問題的常用方法先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．提醒：點共線、線共點等都是應(yīng)用基本事實3，證明點為兩平面的公共點，即證明點在交線上.對點練1如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)直線EG與直線FH交于點P.求證：P，A，C三點共線．證明：(1)∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，∴EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)∵EG∩FH＝P，∴P∈EG，∵EG?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點，又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三點共線．題型空間兩直線的位置關(guān)系典例2(1)(2024·福建龍巖模擬)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的異面直線關(guān)系沒有傳遞性，平行關(guān)系、相似關(guān)系、全等關(guān)系具備傳遞性，而異面關(guān)系、垂直關(guān)系、沒有傳遞性，你還能舉出其他關(guān)系么？位置關(guān)系是()A．異面或平行 B．異面或相交C．異面 D．相交、平行或異面(2)(多選)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，則在這個正四面體中，下列結(jié)論正確的是()由平面圖形翻折得到空間圖形，考查空間想象、元素的對應(yīng)關(guān)系．A．GH∥EF下面給出二面角內(nèi)，兩直線的夾角公式：cosθ＝cosθ1·cosθ2＋sinθ1·sinθ2·cosα.θ1，θ2分別是二面角內(nèi)兩條射線與棱的夾角，θ是兩射線夾角，α為二面角的平面角.本例中，兩側(cè)面的二面角α滿足cosα＝eq\f(1,3)，cosGH，EF＝0.B．BD與MN為異面直線C．GH與MN所成角為60°D．DE⊥MN解析：(1)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，①若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線B1A1記為直線c，此時a和c相交；②若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線DD1記為直線c，此時a和c平行；③若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線C1D1記為直線c，此時a和c異面．長方體模型，常作為判斷點、線、面位置關(guān)系的模型．故選D.(2)將該平面展開圖還原成正四面體A-DEF，如圖所示，其中H與N重合，A，B，C三點重合，易知GH與EF異面，BD與MN異面．連接GM，∵△GMH為等邊三角形，∴GH與MN所成角為60°.連接GF，GA，易證DE⊥平面AGF，∵AF?平面AGF，∴DE⊥AF，又MN∥AF.∴DE⊥MN.故選BCD.空間兩條直線位置關(guān)系的判定方法對點練2(1)(2024·江西九江模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是BC1的中點，則直線DM與A1C的位置關(guān)系是()A．異面垂直 B．相交垂直C．異面不垂直 D．相交不垂直(2)(多選)(2024·重慶九校聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，當(dāng)點P在線段BC1(不包含端點)上運動時，下列直線中一定與直線OP異面的是()A．AB1 B．A1CC．A1A D．AD1解析：(1)如圖，連接A1D，B1C，因為A1B1∥CD，且A1B1＝CD，所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，故B1C∥A1D.又M∈B1C，則DM與A1C共面相交．設(shè)DM與A1C相交于點E，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則MC＝eq\r(,2)，A1D＝2eq\r(,2)，MD＝eq\r(,6)，A1C＝2eq\r(,3).又易知△MCE∽△DA1E，則eq\f(ME,ED)＝eq\f(CE,EA1)＝eq\f(MC,DA1)＝eq\f(1,2)，可得ME＝eq\f(\r(,6),3)，CE＝eq\f(2\r(,3),3).又ME2＋CE2＝eq\f(2,3)＋eq\f(4,3)＝2＝MC2，則DM⊥A1C，即DM與A1C的位置關(guān)系是相交垂直．(2)對于A，如圖1，連接AB1，C1D，BD，當(dāng)P為BC1的中點時，OP∥DC1∥AB1，故A不正確；圖1對于B，如圖2，連接A1C，A1C1，AC，因為A1C?平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O?A1C，P?平面AA1C1C，所以直線A1C與直線OP一定是異面直線，故B正確；圖2對于C，如圖2，因為A1A?平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O?A1A，P?平面AA1C1C，所以直線A1A與直線OP一定是異面直線，故C正確；對于D，如圖3，連接AD1，D1C，AC，因為AD1?平面AD1C，O∈平面AD1C，O?AD1，P?平面AD1C，所以直線AD1與直線OP一定是異面直線，故D正確．故選BCD.圖3答案：(1)B(2)BCD題型異面直線所成的角典例3(2018·全國Ⅱ卷，理)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(,3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(,5),6)C.eq\f(\r(,5),5)D.eq\f(\r(,2),2)解析：方法一：如圖，補上一相同的長方體CDEF-C1D1E1F1，連接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，則∠B1DE1(或其補角)為異面直線AD1與DB1所成的角．為什么補體呢？因為需要平移AD1后，與DB1相交，此方法設(shè)計的初心是在幾何體的表面內(nèi)實現(xiàn)線段的平移．因為在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(,3)，所以DE1＝eq\r(,DE2＋EE\o\al(2,1))＝eq\r(,12＋\r(,3)2)＝2，DB1＝eq\r(,12＋12＋\r(,3)2)＝eq\r(,5)，B1E1＝eq\r(,A1B\o\al(2,1)＋A1E\o\al(2,1))＝eq\r(,12＋22)＝eq\r(,5)，所以在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1＝eq\f(22＋\r(,5)2－\r(,5)2,2×2×\r(,5))＝eq\f(\r(,5),5)，即異面直線AD1在△B1DE1中由余弦定理求夾角，因此前面先計算三邊的長．與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(,5),5).方法二：如圖，連接BD1，交DB1于點O，取AB的中點M，連接DM，OM，易知O為BD1的中點，所以AD1∥OM，則∠MOD(或其補角)為異面直線AD1與DB1所成的角． 在截面ABD1內(nèi)，也可實現(xiàn)AD1的平行移動，OM∥AD1，達到平移后相交的目的，前兩個方法總結(jié)起來是在怎樣的一個平面內(nèi)，實現(xiàn)對其中一條直線的平行移動．因為在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(,3)，AD1＝eq\r(,AD2＋DD\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(,AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\f(\r(,5),2)，DB1＝eq\r(,AB2＋AD2＋DD\o\al(2,1))＝eq\r(,5)，所以O(shè)M＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(,5),2)，所以在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(,5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(,5),2)))2,2×1×\f(\r(,5),2))＝eq\f(\r(,5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(,5),5).方法三：以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由條件可知D(0，0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，eq\r(,3))，B1(1,1，eq\r(,3))，所以eq\o(AD1,\s\up15(→))＝(－1,0，eq\r(,3))，eq\o(DB1,\s\up15(→))＝(1,1，eq\r(,3))，則由向量夾角公式，得cos〈eq\o(AD1,\s\up15(→))，eq\o(DB1,\s\up15(→))〉＝eq\f(\o(AD1,\s\up15(→))·\o(DB1,\s\up15(→)),|\o(AD1,\s\up15(→))||\o(DB1,\s\up15(→))|)＝eq\f(2,2\r(,5))＝向量法求異面直線所成的角，屬于傻瓜做法，不必思考幾何法中的特殊位置關(guān)系，而只專注于數(shù)量關(guān)系的計算．eq\f(\r(,5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(,5),5).故選C.1．定義法求異面直線所成角的步驟(1)平移：平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線．(2)證