2023-2024學年遼寧省遼陽市高一上學期1月期末考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省遼陽市2023-2024學年高一上學期1月期末考試數學試題一、多項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，，而，所以.故選：A.2.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.3.設是兩個集合，且，則命題“，”的否定為（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】根據全稱量詞命題的否定的基本形式可知，命題“，”的否定為“，”.故選：D.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由對數函數的單調性可知，，即，函數在R上減函數，于是，即，所以．故選：C.5.從1，2，3，4這4個數中隨機選取2個數，則選取的2個數之積大于4的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】該試驗的樣本空間為，共包含6個樣本點，“選取的2個數之積大于4”對應的事件為，含有3個樣本點，所以選取的2個數之積大于4的概率為．故選：C.6.已知函數，則“”是“的最小值大于5”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為，若，則，即的最小值大于5，反之亦成立，則“”是“的最小值大于5”的充要條件.故選：A.7.一副撲克牌（含大王、小王）共54張，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4張，從該副撲克牌中隨機取出兩張，事件“取出的牌有兩張6”，事件“取出的牌至少有一張黑桃”，事件“取出的牌有一張大王”，事件“取出的牌有一張紅桃6”，則（）A.事件A與事件互斥 B.事件與事件互斥C.事件與事件互斥 D.事件A與事件互斥【答案】D【解析】ABC選項，因為事件A與事件，事件與事件，事件與事件都可以同時發(fā)生，所以A，B，C錯誤，D選項，因為取出的牌有兩張6的同時不可能還能取出一張大王，所以事件A與事件C互斥.故選：D.8.大多數居民在住宅區(qū)都會注意噪音問題.記為實際聲壓，通常我們用聲壓級（單位：分貝）來定義聲音的強弱，聲壓級與聲壓存在近似函數關系：，其中為常數,且常數為聽覺下限閾值.若在某棟居民樓內，測得甲穿硬底鞋走路的聲壓為穿軟底鞋走路的聲壓的倍，且穿硬底鞋走路的聲壓級為分貝，恰為穿軟底鞋走路的聲壓級的倍.若住宅區(qū)夜間聲壓級超過分貝即擾民，該住宅區(qū)夜間不擾民情況下的聲壓為，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】由題意，得，則，因此，，則，，則.故選：A.二、多項選擇題：本大題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.下列命題為真命題的是（）A.B.零向量與任意向量共線C.互為相反向量的兩個向量的模相等D.若向量，滿足，，則【答案】BCD【解析】，A選項錯誤；零向量與任意向量共線，B選項正確；互為相反向量的兩個向量的模相等，C選項正確；若向量，滿足，，則，即，D選項正確．故選：BCD.10.某人記錄了自己一周內每天運動時長（單位：分鐘）：.若這組數據的第40百分位數與第20百分位數的差為3，則的值可能為（）A.47 B.45 C.53 D.60【答案】AC【解析】將已知的6個數按照從小到大的順序排列為，又，，若，則這組數據的第20百分位數與第40百分位數分別是46和，；若，則這組數據的第20百分位數與第40百分位數分別是50和，，所以，則這組數據的第20百分位數與第40百分位數分別是和50，或50和，則，解得或53.故選：AC.11.已知函數對任意恒有，且，則（）A. B.可能是偶函數C. D.可能是奇函數【答案】AB【解析】對于選項A，令，得，則，所以選項A正確；令，得，則，對于選項B，若是偶函數，則，所以選項B正確；對于選項C，令，得，所以選項C錯誤；對于選項D，若是奇函數，則，所以不可能是奇函數，所以選項D錯誤.故選：AB.12.已知函數，.若關于的方程有3個實數解，，，且，則（）A.的最小值為4 B.的取值范圍是C.的取值范圍是 D.的最小值是9【答案】BCD【解析】作出的大致圖象，如圖所示：由題意可得，可得，即，其中，，，，對于選項A：因為，當且僅當，即時，等號成立，但，所以的最小值不為4，A錯誤；對于選項BC：因為，所以，，故BC正確；對于選項D：因為，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值是9，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，把答案填在答題卡中的橫線上．13.已知向量不共線，，，，則實數________．【答案】【解析】因為，所以，，則，解得．故答案為：.14.函數的圖象經過定點，則點的坐標為________．【答案】【解析】令，得，所以點的坐標為．故答案為：.15.函數的最小值為________，此時________．【答案】01【解析】由題意得，當時，取得最小值0，作出函數，的圖象：可知，的圖象只有一個交點，且，故結合圖象可知交點的橫坐標為1，所以方程的解為．故答案為：01.16.投壺是從先秦延續(xù)至清末的傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在戰(zhàn)國時期較為盛行.投壺時，第一箭入壸（即投中）稱為“有初”，投中且投入壺耳稱為“貫耳”，假設投壺參與者甲每次投壺得“貫耳”的概率為，每次投中的概率為.若甲投壺3次，則甲“有初”“貫耳”均投得的概率為________．【答案】【解析】若甲第一次投壺投得“貫耳”，則甲“有初”“貫耳”均投得，其概率為；若甲第一次投壺投中且未投得“貫耳”，則甲在后面2次投壺中至少要投中1次“貫耳”，其概率為，故所求概率為．故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.從某臍橙果園隨機選取200個臍橙，已知每個臍橙的質量（單位：）都在區(qū)間內，將這200個臍橙的質量數據分成這4組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）試問這200個臍橙中質量不低于的個數是多少？（2）若每個區(qū)間的值以該區(qū)間的中間值為代表，估計這200個臍橙的質量的平均數.解：（1）不低于的頻率為，所以這200個臍橙中質量不低于的個數是.（2）平均數為.18.如圖，在平行四邊形中，，分別為，的中點．（1）試問與是相等向量還是相反向量？說明你的理由．（2）若，試用，表示，．解：（1）由題意可得：，因為，分別為，的中點，所以，所以與是相等向量.（2）由題意可得：；因為，則，所以.19.已知函數．（1）求的解析式；（2）若函數，，，，求的取值范圍．解：（1）令，則，則，所以的解析式為.（2）因為在上單調遞增，所以，因為在上單調遞減，所以，因為，，，所以，所以，解得，所以的取值范圍是.20.從①；②這兩個條件中任選一個填入題中的橫線上，并解答問題．已知函數________．（1）求值；（2）判斷在上的單調性，并用單調性的定義證明你的判斷．解：（1），，選①，，則.選②，，則.（2）選①，，在上單調遞減，在上單調遞增，，且，則，當時，，，，則，，因此在上單調遞增；當時，，，，則，，所以在上單調遞減.選②，，在上單調遞減，在上單調遞增，，且，當時，，，因為，則，，則，，所以在上單調遞增；當時，，，因為，則，，則，，所以在上單調遞減.21已知函數．（1）求函數零點的個數；（2）若函數的最小值為，求函數的最小值（結果用表示）．解：（1），其中且，由，得，畫出，的圖象，如下：可知，它們的圖象只有一個交點，且交點的橫坐標不是1，所以的零點個數為1.（2），，，當的取值范圍為時，的取值范圍為，所以的最小值與的最小值相等，均為，因為，所以的最小值為.22.已知函數．（1）判斷的奇偶性，并說明理由．（2）是否存在實數，使得函數的最小值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．解：（1）是奇函數，理由如下：的定義域為，，，所以是奇函數.（2）存在，，理由如下：設，則，則，所以，因為在上單調遞增，所以，即，當，即時，在上單調遞增，則，解得，此時不滿足，則不符合題意，當，即時，，解得，又因為，所以，故存在實數，符合題意.遼寧省遼陽市2023-2024學年高一上學期1月期末考試數學試題一、多項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，，而，所以.故選：A.2.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.3.設是兩個集合，且，則命題“，”的否定為（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】根據全稱量詞命題的否定的基本形式可知，命題“，”的否定為“，”.故選：D.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由對數函數的單調性可知，，即，函數在R上減函數，于是，即，所以．故選：C.5.從1，2，3，4這4個數中隨機選取2個數，則選取的2個數之積大于4的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】該試驗的樣本空間為，共包含6個樣本點，“選取的2個數之積大于4”對應的事件為，含有3個樣本點，所以選取的2個數之積大于4的概率為．故選：C.6.已知函數，則“”是“的最小值大于5”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為，若，則，即的最小值大于5，反之亦成立，則“”是“的最小值大于5”的充要條件.故選：A.7.一副撲克牌（含大王、小王）共54張，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4張，從該副撲克牌中隨機取出兩張，事件“取出的牌有兩張6”，事件“取出的牌至少有一張黑桃”，事件“取出的牌有一張大王”，事件“取出的牌有一張紅桃6”，則（）A.事件A與事件互斥 B.事件與事件互斥C.事件與事件互斥 D.事件A與事件互斥【答案】D【解析】ABC選項，因為事件A與事件，事件與事件，事件與事件都可以同時發(fā)生，所以A，B，C錯誤，D選項，因為取出的牌有兩張6的同時不可能還能取出一張大王，所以事件A與事件C互斥.故選：D.8.大多數居民在住宅區(qū)都會注意噪音問題.記為實際聲壓，通常我們用聲壓級（單位：分貝）來定義聲音的強弱，聲壓級與聲壓存在近似函數關系：，其中為常數,且常數為聽覺下限閾值.若在某棟居民樓內，測得甲穿硬底鞋走路的聲壓為穿軟底鞋走路的聲壓的倍，且穿硬底鞋走路的聲壓級為分貝，恰為穿軟底鞋走路的聲壓級的倍.若住宅區(qū)夜間聲壓級超過分貝即擾民，該住宅區(qū)夜間不擾民情況下的聲壓為，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】由題意，得，則，因此，，則，，則.故選：A.二、多項選擇題：本大題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.下列命題為真命題的是（）A.B.零向量與任意向量共線C.互為相反向量的兩個向量的模相等D.若向量，滿足，，則【答案】BCD【解析】，A選項錯誤；零向量與任意向量共線，B選項正確；互為相反向量的兩個向量的模相等，C選項正確；若向量，滿足，，則，即，D選項正確．故選：BCD.10.某人記錄了自己一周內每天運動時長（單位：分鐘）：.若這組數據的第40百分位數與第20百分位數的差為3，則的值可能為（）A.47 B.45 C.53 D.60【答案】AC【解析】將已知的6個數按照從小到大的順序排列為，又，，若，則這組數據的第20百分位數與第40百分位數分別是46和，；若，則這組數據的第20百分位數與第40百分位數分別是50和，，所以，則這組數據的第20百分位數與第40百分位數分別是和50，或50和，則，解得或53.故選：AC.11.已知函數對任意恒有，且，則（）A. B.可能是偶函數C. D.可能是奇函數【答案】AB【解析】對于選項A，令，得，則，所以選項A正確；令，得，則，對于選項B，若是偶函數，則，所以選項B正確；對于選項C，令，得，所以選項C錯誤；對于選項D，若是奇函數，則，所以不可能是奇函數，所以選項D錯誤.故選：AB.12.已知函數，.若關于的方程有3個實數解，，，且，則（）A.的最小值為4 B.的取值范圍是C.的取值范圍是 D.的最小值是9【答案】BCD【解析】作出的大致圖象，如圖所示：由題意可得，可得，即，其中，，，，對于選項A：因為，當且僅當，即時，等號成立，但，所以的最小值不為4，A錯誤；對于選項BC：因為，所以，，故BC正確；對于選項D：因為，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值是9，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，把答案填在答題卡中的橫線上．13.已知向量不共線，，，，則實數________．【答案】【解析】因為，所以，，則，解得．故答案為：.14.函數的圖象經過定點，則點的坐標為________．【答案】【解析】令，得，所以點的坐標為．故答案為：.15.函數的最小值為________，此時________．【答案】01【解析】由題意得，當時，取得最小值0，作出函數，的圖象：可知，的圖象只有一個交點，且，故結合圖象可知交點的橫坐標為1，所以方程的解為．故答案為：01.16.投壺是從先秦延續(xù)至清末的傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在戰(zhàn)國時期較為盛行.投壺時，第一箭入壸（即投中）稱為“有初”，投中且投入壺耳稱為“貫耳”，假設投壺參與者甲每次投壺得“貫耳”的概率為，每次投中的概率為.若甲投壺3次，則甲“有初”“貫耳”均投得的概率為________．【答案】【解析】若甲第一次投壺投得“貫耳”，則甲“有初”“貫耳”均投得，其概率為；若甲第一次投壺投中且未投得“貫耳”，則甲在后面2次投壺中至少要投中1次“貫耳”，其概率為，故所求概率為．故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.從某臍橙果園隨機選取200個臍橙，已知每個臍橙的質量（單位：）都在區(qū)間內，將這200個臍橙的質量數據分成這4組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）試問這200個臍橙中質量不低于的個數是多少？（2）若每個區(qū)間的值以該區(qū)間的中間值為代表，估計這200個臍橙的質量的平均數.解：（1）不低于的頻率為，所以這200個臍橙中質量不低于的個數是.（2）平均數為.18.如圖，在平行四邊形中，，分別為，的中點．（1）試問與是相等向量還是相反向量？說明你的理由．（2）若，試用，表示，．解：（1）由題意可得：，因為，分別為，的中點，所以，所以與是相等向量.（