中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題培優(yōu)專練專題04 幾何中的三點(diǎn)共線問題（解析版）

專題04幾何中的三點(diǎn)共線問題幾何壓軸題中的三點(diǎn)共線問題，一般有兩種考查方式：一是：假設(shè)某三點(diǎn)共線，探究線段的長度、線段的數(shù)量與位置關(guān)系、三角形或四邊形的形狀、面積等。在這一類題型，一般都是講三點(diǎn)共線作為條件使用：（1）在探究線段的長度，線段的數(shù)量關(guān)系時(shí)，多是利用全等三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，或者利用勾股定理和銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解。（2）在探究三角形或四邊形的形狀時(shí)，一般先是利用全等三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理或者銳角三角函數(shù)求出相應(yīng)的邊長，再根據(jù)幾何圖形的判定進(jìn)行求解即可。（3）在探究面積問題時(shí)，一般先是利用全等三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理或者銳角三角函數(shù)求出相應(yīng)的邊長，再利用面積公式進(jìn)行計(jì)算即可。（4）在把三點(diǎn)共線作為條件使用時(shí)，要注意，在未明確三點(diǎn)位置關(guān)系時(shí)，要進(jìn)行分類討論，否則會(huì)出現(xiàn)漏解的情況。二是證明三點(diǎn)共線：證明三點(diǎn)共線常用到以下幾種方法：（1）證明以位于中間點(diǎn)為頂點(diǎn)形成兩個(gè)角的和為180°。（2）先連接兩點(diǎn)，證明第三個(gè)點(diǎn)在連線上，具體可以證明三點(diǎn)連線重合（先證平行，再證有公共點(diǎn)），也可以以某一點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造角，證明角相等（如圖：證明∠DCB=∠DCA，在證點(diǎn)B在AC上）。 （2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)M為邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線SKIPIF1<0以每秒SKIPIF1<0個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)SKIPIF1<0．作點(diǎn)A關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)點(diǎn)D到邊SKIPIF1<0的距離為__________；(2)用含t的代數(shù)式表示線段SKIPIF1<0的長；(3)連結(jié)SKIPIF1<0，當(dāng)線段SKIPIF1<0最短時(shí)，求SKIPIF1<0的面積；(4)當(dāng)M、SKIPIF1<0、C三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出t的值．（1）連接DM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；（2）分兩種情況討論：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，點(diǎn)P在AD邊上；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在BD邊上，即可求解；（3）過點(diǎn)P作PE⊥DM于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，AM長為半徑的圓，可得到當(dāng)點(diǎn)D、A′、M三點(diǎn)共線時(shí)，線段SKIPIF1<0最短，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，再證明△PDE∽△ADM，可得SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理可得SKIPIF1<0，即可求解；（4）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0位于M、C之間時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在AD上；當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）位于CM的延長線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在BD上，即可求解．【答案】(1)3(2)當(dāng)0≤t≤1時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】（1）解：如圖，連接DM，∵AB=4，SKIPIF1<0，點(diǎn)M為邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴AM=BM=2，DM⊥AB，∴SKIPIF1<0，即點(diǎn)D到邊SKIPIF1<0的距離為3；故答案為：3（2）解：根據(jù)題意得：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，點(diǎn)P在AD邊上，SKIPIF1<0；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在BD邊上，SKIPIF1<0；綜上所述，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，SKIPIF1<0；（3）解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥DM于點(diǎn)E，∵作點(diǎn)A關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0，∴A′M=AM=2，∴點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，AM長為半徑的圓，∴當(dāng)點(diǎn)D、A′、M三點(diǎn)共線時(shí)，線段SKIPIF1<0最短，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，∴SKIPIF1<0，根據(jù)題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）得：DM⊥AB，∵PE⊥DM，∴PE∥AB，∴△PDE∽△ADM，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（4）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)M、SKIPIF1<0、C三點(diǎn)共線時(shí)，且點(diǎn)SKIPIF1<0位于M、C之間時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，連接AA′，A′B，過點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)A′作A′G⊥AB于點(diǎn)G，則AA′⊥PM，∵AB為直徑，∴∠A=90°，即AA′⊥A′B，∴PM∥A′B，∴∠PMF=∠ABA′，過點(diǎn)C作CN⊥AB交AB延長線于點(diǎn)N，在SKIPIF1<0中，AB∥DC，∵DM⊥AB，∴DM∥CN，∴四邊形CDMN為平行四邊形，∴CN=DM=3，MN=CD=4，∴CM=5，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0M=2，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即PF=3FM，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即AF=2FM，∵AM=2，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；如圖，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）位于CM的延長線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在BD上，SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)G′，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)H，則點(diǎn)M、P、H三點(diǎn)共線，過點(diǎn)H作HK⊥AB于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作PT⊥AB于點(diǎn)T，同理：SKIPIF1<0，∵HK⊥AB，SKIPIF1<0，∴HK∥A′′G′，∴SKIPIF1<0，∵點(diǎn)H是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即MT=3PT，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵M(jìn)T+BT=BM=2，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；綜上所述，t的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．本題主要考查了四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題意得到點(diǎn)SKIPIF1<0的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵，是中考的壓軸題．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0的對(duì)角線SKIPIF1<0上，正方形SKIPIF1<0與正方形SKIPIF1<0有公共點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0的值為多少；(2)將正方形SKIPIF1<0繞SKIPIF1<0點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，如圖2，求：SKIPIF1<0的值為多少；(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將正方形SKIPIF1<0繞SKIPIF1<0逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出SKIPIF1<0的長度．（1）根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，根據(jù)平行線分線段成比例即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得SKIPIF1<0，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，進(jìn)而證明SKIPIF1<0，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）分兩種情況畫出圖形，證明△ADG∽△ACE，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得出答案．【答案】(1)2(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】（1）解：SKIPIF1<0正方形SKIPIF1<0與正方形SKIPIF1<0有公共點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）解：如圖，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正方形SKIPIF1<0繞SKIPIF1<0點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（3）解：①如圖，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（2）可知SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．②如圖：由（2）知△ADG∽△ACE，∴SKIPIF1<0，∴DG=SKIPIF1<0CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC=8SKIPIF1<0，AC=SKIPIF1<0，∵AG=SKIPIF1<0AD，∴AG=SKIPIF1<0AD=8，∵四邊形AFEG是正方形，∴∠AGE=90°，GE=AG=8，∵C，G，E三點(diǎn)共線．∴∠AGC=90°∴CG=SKIPIF1<0，∴CE=CG+EG=8SKIPIF1<0+8，∴DG=SKIPIF1<0CE=SKIPIF1<0．綜上，當(dāng)C，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，DG的長度為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．1．（2022·四川成都·成都市樹德實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)SKIPIF1<0不與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0重合），連接SKIPIF1<0，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為斜邊向右側(cè)作等腰直角三角形SKIPIF1<0和等腰直角三角形SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．(1)當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的外部時(shí)，求證：SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0；(2)如圖SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，求SKIPIF1<0的面積；(3)如圖SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延長線上時(shí)，其它條件不變，連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．【答案】(1)見解析；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定解答即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)以及勾股定理解答即可；（3）過C作SKIPIF1<0于點(diǎn)N，過A作SKIPIF1<0于點(diǎn)M，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)以及勾股定理解答即可．【詳解】（1）證明：∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在RtSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在RtSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）∵D，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，過點(diǎn)A作SKIPIF1<0于點(diǎn)M，如圖SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在RtSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,在RtSKIPIF1<0中SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在RtSKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）過C作SKIPIF1<0于點(diǎn)N，過A作SKIPIF1<0于點(diǎn)M，如圖SKIPIF1<0，由(2)可得:SKIPIF1<0,在RtSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在RtSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在RtSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．2．（2022·四川成都·?？既＃┰诰匦蜸KIPIF1<0中，點(diǎn)E為射線SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，連接SKIPIF1<0．(1)當(dāng)點(diǎn)E在SKIPIF1<0邊上時(shí)，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，使點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線SKIPIF1<0上點(diǎn)F處，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)G．①如圖1，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數(shù)；②如圖2，當(dāng)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的長．(2)在②所得矩形SKIPIF1<0中，將矩形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0進(jìn)行翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，求SKIPIF1<0的長．【答案】(1)①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）①由矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)定義得SKIPIF1<0，再由折疊的性質(zhì)得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是等邊三角形，即可得出結(jié)論；②由折疊的性質(zhì)得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，再證SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后由射影定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，即可解決問題；（2）分兩種情況，a、證SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，再由勾股定理得SKIPIF1<0，即可解決問題；b、證SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，再由勾股定理等SKIPIF1<0，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由折疊的性質(zhì)得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②由折疊的性質(zhì)得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（射影定理），即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（負(fù)值已舍去），∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0；（2）當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，分兩種情況：a、如圖3，由②可知，SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由折疊的性質(zhì)得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；b、如圖4，由折疊的性質(zhì)得：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；綜上所述，BE的長為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．3．（2022·福建福州·福建省福州第十九中學(xué)?？寄M）如圖，在等腰Rt△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，將線段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接AF，DF，點(diǎn)G是AF的中點(diǎn)，連接DG．(1)當(dāng)點(diǎn)D是AB中點(diǎn)時(shí)，①如圖1，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，求證：D，G，C三點(diǎn)共線．②如圖2，若SKIPIF1<0，求DG的長．(2)如圖3，若SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求CE的長．【答案】(1)①見解析；②SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）①利用三角形全等，證明SKIPIF1<0即可．②如圖2，作SKIPIF1<0于點(diǎn)T，SKIPIF1<0于H．證明SKIPIF1<0，用三角形中位線定理求解即可．（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，F(xiàn)，E，G，A共線，作SKIPIF1<0于點(diǎn)T，SKIPIF1<0于H．運(yùn)用平行線分線段成比例定理，列式求解即可．【詳解】（1）①證明：如圖1中，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵點(diǎn)G是AF的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，

∴C，G，D三點(diǎn)共線．②解：如圖2中，作SKIPIF1<0于點(diǎn)T，SKIPIF1<0于H．由題意：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）解：如圖3—1中，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，F(xiàn)，E，G，A共線，作SKIPIF1<0于點(diǎn)T，SKIPIF1<0于H．設(shè)SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0．4．（2022·河北張家口·一模）如圖1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)A，D是射線SKIPIF1<0上的點(diǎn)，以SKIPIF1<0為一邊在SKIPIF1<0內(nèi)作矩形SKIPIF1<0，點(diǎn)C在SKIPIF1<0邊上．(1)當(dāng)點(diǎn)B在SKIPIF1<0邊上時(shí)，求SKIPIF1<0的長；(2)如圖2，若A，B，O三點(diǎn)共線，且SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為腰的等腰三角形，①SKIPIF1<0__________；②求SKIPIF1<0的長；(3)在圖2的基礎(chǔ)上，點(diǎn)A向右移動(dòng)得到圖3連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相似，直接寫出SKIPIF1<0的長．（注：三角形全等可視為三角形相似的特殊情況）【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①3∶4∶5；②SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(3)2或SKIPIF1<0【分析】(1)利用正切函數(shù)計(jì)算即可．（2）①證明∠BOC=∠P，結(jié)合SKIPIF1<0，利用勾股定理計(jì)算OC的長度，最后計(jì)算比值即可．②分AO=OC，AO=AC兩種情形，運(yùn)用勾股定理，三角函數(shù)計(jì)算即可．（3）分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相似和全等兩種情形求解．【詳解】（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)B在SKIPIF1<0邊上時(shí)，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠PAB=90°，∴SKIPIF1<0，解得PA=SKIPIF1<0．（2）①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠PAB=∠OBC=90°，∵∠POQ=90°，∴∠BOC=∠P，∴SKIPIF1<0，設(shè)BC=4k，則OB=3k，∴OC=SKIPIF1<0，∴OB：BC：OC=3k：4k：5k=3：4:5．②∵SKIPIF1<0，不妨設(shè)OQ=4k，則OP=3k，PQ=SKIPIF1<0，當(dāng)OA=OC時(shí)，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠PAB=∠OBC=∠CDQ=90°，∴OA=SKIPIF1<0=OC，CD∥AO，∴CQ=OQ-OC=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得k=SKIPIF1<0，∴PO=3k=SKIPIF1<0，OA=SKIPIF1<0=5，∴PA=SKIPIF1<0，當(dāng)OA=AC時(shí)，設(shè)OA=AC=x，∵AB=2，∴x＞2，∴OB=AO-AB=x-2，由上面解答，得BC=SKIPIF1<0，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠PAB=∠OBC=∠CDQ=90°，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得x=SKIPIF1<0或x=2(舍去)，∴AO=SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，綜上所述，PA的長為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（3）當(dāng)△AOB≌△COB時(shí)，故AB=BC，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD是正方形，∵AB=2，∴AD=AB=2；設(shè)SKIPIF1<0則OC=5x，SKIPIF1<0，∵△BAO∽△BOC時(shí)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，解得y=3x或y=4x(舍去)，∴SKIPIF1<0變形為SKIPIF1<0，解得x=SKIPIF1<0或x=0（舍去），故BC=SKIPIF1<0，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=SKIPIF1<0；故AD的長為2或SKIPIF1<0．5．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在邊BC上，BC=3BD，將線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至DE，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），連接BE，CE，以CE為斜邊在其一側(cè)作等腰直角三角形CEF，連接AF．(1)如圖1，求證：△CAF∽△CBE，并求出SKIPIF1<0的值；(2)如圖2，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，連接AE，請(qǐng)判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．【答案】(1)證明見解析，SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)四邊形AECF是平行四邊形，理由見解析【分析】（1）由題意先證明∠ACF=∠BCE和SKIPIF1<0，進(jìn)而證明出△CAF∽△CBE，可以利用相似比得出SKIPIF1<0的值；（2）根據(jù)題意過點(diǎn)D作DG⊥BF于點(diǎn)G，得出△BDG∽△BCF，進(jìn)而分析求證四邊形AECF是平行四邊形．【詳解】(1)解：∵△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF=45°，SKIPIF1<0，∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠BCA=45°，SKIP