經(jīng)典層次分析法分析及實(shí)例教程

層次分析法AnalyticHierarchyProcessAHPT.L.saaty2021/6/271

面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較、判斷、評(píng)價(jià)、最后作出決策。這個(gè)過(guò)程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎亟o用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題帶來(lái)不便。T.L.saaty等人20世紀(jì)在七十年代提出了一種能有效處理這類問(wèn)題的實(shí)用方法。層次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)這是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。過(guò)去研究自然和社會(huì)現(xiàn)象主要有機(jī)理分析法和統(tǒng)計(jì)分析法兩種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，通過(guò)大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律。近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。2021/6/272二層次分析法的基本步驟買鋼筆質(zhì)量顏色價(jià)格外形實(shí)用可供選擇的筆1建立層次結(jié)構(gòu)模型

一般分為三層，最上面為目標(biāo)層，最下面為方案層，中間是準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。例1的層次結(jié)構(gòu)模型

準(zhǔn)則層

方案層目標(biāo)層2021/6/273設(shè)某層有個(gè)因素，2構(gòu)造成對(duì)比較矩陣要比較它們對(duì)上一層某一準(zhǔn)則（或目標(biāo)）的影響程度，確定在該層中相對(duì)于某一準(zhǔn)則所占的比重。（即把個(gè)因素對(duì)上層某一目標(biāo)的影響程度排序）用表示第個(gè)因素相對(duì)于第個(gè)因素的比較結(jié)果，則則稱為成對(duì)比較矩陣。上述比較是兩兩因素之間進(jìn)行的比較，比較時(shí)取1~9尺度。2021/6/274１３５７９尺度第個(gè)因素與第個(gè)因素的影響相同第個(gè)因素比第個(gè)因素的影響稍強(qiáng)第個(gè)因素比第個(gè)因素的影響強(qiáng)第個(gè)因素比第個(gè)因素的影響明強(qiáng)第個(gè)因素比第個(gè)因素的影響絕對(duì)地強(qiáng)含義比較尺度：（1~9尺度的含義）2,4,6,8表示第個(gè)因素相對(duì)于第個(gè)因素的影響介于上述兩個(gè)相鄰等級(jí)之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義，根據(jù)。2021/6/2752468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強(qiáng)強(qiáng)明顯強(qiáng)絕對(duì)強(qiáng)aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反

心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過(guò)9個(gè)

用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對(duì)若干實(shí)例構(gòu)造成對(duì)比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對(duì)比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。

便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對(duì)比較陣和權(quán)向量2021/6/276由上述定義知，成對(duì)比較矩陣則稱為正互反陣。比如，第二層A的各因素對(duì)目標(biāo)層Z的影響兩兩比較結(jié)果如下：滿足一下性質(zhì)ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/53112021/6/277由上表，可得成對(duì)比較矩陣問(wèn)題：兩兩進(jìn)行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對(duì)上層某因素的影響程度的排序結(jié)果呢？2021/6/2783層次單排序及一致性檢驗(yàn)層次單排序：確定下層各因素對(duì)上層某因素影響程度的過(guò)程。用權(quán)值表示影響程度，先從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子看如何確定權(quán)值。例如一塊石頭重量記為1，打碎分成各小塊，各塊的重量分別記為：則可得成對(duì)比較矩陣由右面矩陣可以看出，2021/6/279即，但在上例的成對(duì)比較矩陣中，在正互反矩陣中，若,則稱為一致陣。一致陣的性質(zhì)：5.的任一列(行)都是對(duì)應(yīng)于特征根的特征向量。2021/6/2710若成對(duì)比較矩陣是一致陣，則我們自然會(huì)取對(duì)應(yīng)于最大特征根的歸一化特征向量，且定理：階互反陣的最大特征根，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為一致陣。表示下層第個(gè)因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)值。若成對(duì)比較矩陣不是一致陣，Saaty等人建議用其最大特征根對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量作為權(quán)向量，則（為什么？）這樣確定權(quán)向量的方法稱為特征根法.2021/6/2711由于連續(xù)的依賴于，則比大的越多，的不一致性越嚴(yán)重。用最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量作為被比較因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用數(shù)值的大小來(lái)衡量的不一致程度。定義一致性指標(biāo)其中為的對(duì)角線元素之和，也為的特征根之和。2021/6/2712則可得一致性指標(biāo)定義隨機(jī)一致性指標(biāo)隨機(jī)構(gòu)造500個(gè)成對(duì)比較矩陣隨機(jī)一致性指標(biāo)RI的數(shù)值：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.512021/6/2713一致性檢驗(yàn)：利用一致性指標(biāo)和一致性比率<0.1及隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對(duì)進(jìn)行檢驗(yàn)的過(guò)程。

一般，當(dāng)一致性比率的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣，對(duì)加以調(diào)整。時(shí)，認(rèn)為2021/6/27144層次總排序及其一致性檢驗(yàn)

確定某層所有因素對(duì)于總目標(biāo)相對(duì)重要性的排序權(quán)值過(guò)程，稱為層次總排序

從最高層到最低層逐層進(jìn)行。設(shè)：對(duì)總目標(biāo)Z的排序?yàn)榈膶哟螁闻判驗(yàn)?021/6/2715即層第個(gè)因素對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值為：層的層次總排序?yàn)椋築層的層次總排序AB2021/6/2716層次總排序的一致性檢驗(yàn)設(shè)層對(duì)上層(層)中因素的層次單排序一致性指標(biāo)為，隨機(jī)一致性指為，則層次總排序的一致性比率為：當(dāng)時(shí)，認(rèn)為層次總排序通過(guò)一致性檢驗(yàn)。到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。2021/6/27171.建立層次結(jié)構(gòu)模型該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。層次分析法的基本步驟歸納如下3.計(jì)算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)2.構(gòu)造成對(duì)比較矩陣從第二層開(kāi)始用成對(duì)比較矩陣和1~9尺度。對(duì)每個(gè)成對(duì)比較矩陣計(jì)算最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過(guò)，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過(guò)，需要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣。2021/6/2718四層次分析法的優(yōu)點(diǎn)和局限性1系統(tǒng)性

層次分析法把研究對(duì)象作為一個(gè)系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計(jì)分析之后發(fā)展起來(lái)的系統(tǒng)分析的重要工具。2實(shí)用性層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來(lái)，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無(wú)法著手的實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)用范圍很廣，同時(shí)，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了決策的有效性。2021/6/27193簡(jiǎn)潔性具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本原理并掌握該法的基本步驟，計(jì)算也非常簡(jiǎn)便，并且所得結(jié)果簡(jiǎn)單明確，容易被決策者了解和掌握。以上三點(diǎn)體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點(diǎn)，該法的局限性主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：第一只能從原有的方案中優(yōu)選一個(gè)出來(lái)，沒(méi)有辦法得出更好的新方案。2021/6/2720第二該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計(jì)算過(guò)程都是粗糙的，不適用于精度較高的問(wèn)題。第三從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對(duì)比較矩陣，人主觀因素對(duì)整個(gè)過(guò)程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓所有的決策者接受。當(dāng)然采取專家群體判斷的辦法是克服這個(gè)缺點(diǎn)的一種途徑。思考：多名專家的綜合決策問(wèn)題2021/6/2721五正互反陣最大特征值和特征向量實(shí)用算法用定義計(jì)算矩陣的特征值和特征向量相當(dāng)困難，特別是階數(shù)較高時(shí)；成對(duì)比較矩陣是通過(guò)定性比較得到的比較粗糙的結(jié)果，對(duì)它的精確計(jì)算是沒(méi)有必要的。尋找簡(jiǎn)便的近似方法。2021/6/2722定理對(duì)于正矩陣A

（A的所有元素為正）1）A的最大特征根為正單根；2）對(duì)應(yīng)正特征向量w（w的所有分量為正）；3）其中是對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量。2021/6/27231冪法步驟如下a)任取n維歸一化初始向量b)

計(jì)算c)歸一化，即令2021/6/2724d)

對(duì)于預(yù)先給定的精度，當(dāng)下式成立時(shí)即為所求的特征向量；否則返回b；e)計(jì)算最大特征值這是求特征根對(duì)應(yīng)特征向量的迭代方法，其收斂性