職教高考 函數(shù)的單調(diào)性

職教高考函數(shù)的單調(diào)性[知識(shí)整合]基礎(chǔ)知識(shí)1．增函數(shù)(1)定義：設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有意義．如果對(duì)任意的x1，x2∈(a，b)，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)成立，那么，函數(shù)f(x)叫作區(qū)間(a，b)內(nèi)的增函數(shù)，區(qū)間(a，b)叫作函數(shù)f(x)的增區(qū)間．(2)圖像特征：函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，(如圖1)自左到右圖像呈上升趨勢(shì)．圖12．減函數(shù)(1)定義：設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有意義．如果對(duì)任意的x1，x2∈(a，b)，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)成立，那么，函數(shù)f(x)叫作區(qū)間(a，b)內(nèi)的減函數(shù)，區(qū)間(a，b)叫作函數(shù)f(x)的減區(qū)間．(2)圖像特征：函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，(如圖2)自左到右圖像呈下降趨勢(shì)．圖23．單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)在某個(gè)給定區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說(shuō)函數(shù)在此區(qū)間上具有單調(diào)性，此區(qū)間叫作函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間包括單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間．基礎(chǔ)訓(xùn)練1．若函數(shù)f(x)在(－∞，3]上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是()A．f(－3)<f(－1)<f(2)B．f(－1)<f(－3)<f(2)C．f(2)<f(－1)<f(－3)D．f(2)<f(－3)<f(－1)2．函數(shù)y＝x2＋2x＋1的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．(－∞，－1]3．已知函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，則f(3)______f(5)．(填“>”，“<”或“＝”)4．如圖，根據(jù)函數(shù)圖像可知，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)_________，單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_________．第4題圖5．(1)已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(2x＋3)>f(x－5)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是____________．(2)已知函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，且f(2x＋3)>f(x－5)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是____________．[重難點(diǎn)突破]考點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性例1下列函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)的是()A．y＝x2－2xB．y＝－eq\f(1,x)C．y＝2xD．y＝log0.2x【解析】選項(xiàng)A：y＝x2－2x在(－∞，1)為減函數(shù)；選項(xiàng)B：y＝－eq\f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上為增函數(shù)；選項(xiàng)C：y＝2x在R上為增函數(shù)；選項(xiàng)D：y＝log0.2x在(0，＋∞)上為減函數(shù).故選D.【變式訓(xùn)練】下列函數(shù)中在定義域上為增函數(shù)的是()A．y＝2xB．y＝－xC．y＝eq\f(1,x)D．y＝|x|例2若二次函數(shù)y＝－x2＋2x，則此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，0))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，1))【解析】將y＝－x2＋2x配方得y＝－(x－1)2＋1，函數(shù)圖像開(kāi)口向下，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，1]，故選D.【變式訓(xùn)練】函數(shù)f(x)＝eq\r(x2＋x－6)的單調(diào)增區(qū)間是()A．(－∞，－3)B．[2，＋∞)C．[0，2)D．[－3，2]考點(diǎn)2函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用例3已知f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)，則不等式f(x)>f(2x－3)的解集為_(kāi)___________．【解析】由題意知：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x>0,2x－3>0,x>2x－3))))，解得eq\f(3,2)<x<3，∴不等式解集為(eq\f(3,2)，3)．【變式訓(xùn)練】已知f(x)是R上的增函數(shù)，則不等式f(a2－3)<f(2a)的解集是____________．例4二次函數(shù)y＝3x2＋(a－1)x＋4在(－∞，1)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是____________．【解析】由題意知：－eq\f(a－1,2×3)≥1，解得a≤－5，∴a的取值范圍是(－∞，－5].【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)g(x)＝eq\f(x,4x－a)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[課堂訓(xùn)練]1．函數(shù)y＝eq\f(2,x)的單調(diào)性是()A．在(－∞，＋∞)上遞減B．在(－∞，0)和(0，＋∞)上遞減C．在(－∞，0)上遞減，在(0，＋∞)上遞增D．在(－∞，0)上遞增，在(0，＋∞)上遞減2．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝－x＋1B．y＝(x－1)2C．y＝sinxD．y＝xeq\s\up6(\f(1,2))3．在(0，＋∞)內(nèi)，下列函數(shù)是增函數(shù)的是()A．y＝1－x2B．y＝eq\f(1,x)C．y＝x2D．y＝3－x4．設(shè)函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(5＋2a)>f(5－2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)>1B．a(chǎn)＜1C．a(chǎn)＜0D．a(chǎn)>05．函數(shù)f(x)＝|x|，g(x)＝－x2＋1，那么在(0，＋∞)上，下列說(shuō)法正確的是()A．f(x)是增函數(shù)，g(x)是減函數(shù)B．f(x)是減函數(shù)，g(x)是增函數(shù)C．f(x)，g(x)都是增函數(shù)D．f(x)，g(x)都是減函數(shù)6．若函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，則f(－3)____________f(3)．7．函數(shù)y＝f(x)是定義域R上的單調(diào)遞增函數(shù)，且f(1－a)<f(a2＋1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．8．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，則它的單調(diào)遞增區(qū)間是____________．9．函數(shù)y＝(x－1)的單調(diào)遞減區(qū)間是____________．10．設(shè)f(x)的定義域?yàn)镽，在(0，＋∞)單調(diào)遞減，且有f(a2＋a＋1)＜f(3a2－2a＋1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．答案知識(shí)整合基礎(chǔ)訓(xùn)練1．A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(－∞，3]上是增函數(shù)，－3<－1<2，所以f(－3)<f(－1)<f(2)，故選A.2．D【解析】由y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2得對(duì)稱軸為x＝－1，又因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)大于0，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－1]．故選D.3．>【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上是減函數(shù)，3<5，則f(3)>f(5)．4.(0,2],[-2,0]【解析】由圖可看出當(dāng)x∈(0,2],函數(shù)圖像是單調(diào)遞減的，當(dāng)x∈[-2,0]時(shí)，函數(shù)圖像是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(0,2]，單調(diào)增區(qū)間是[-2,0]．5．(1)(－8，＋∞)(2)(－∞，－8)【解析】(1)由函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)且f(2x＋3)>f(x－5)，可得2x＋3>x－5，∴x>－8.(2)由函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù)且f(2x＋3)>f(x－5)，可得2x＋3<x－5，∴x<－8.重難點(diǎn)突破【例1】【變式訓(xùn)練】A【解析】選項(xiàng)A：函數(shù)y＝2x為R上的增函數(shù)；選項(xiàng)B：函數(shù)y＝－x為R上的減函數(shù)；選項(xiàng)C：函數(shù)y＝eq\f(1,x)為(－∞，0)和(0，＋∞)上的減函數(shù)；選項(xiàng)D：函數(shù)y＝|x|在(－∞，0)上為減函數(shù)，在(0，＋∞)上為增函數(shù)．故選A.【例2】【變式訓(xùn)練】B【解析】函數(shù)有意義，則：x2＋x－6≥0，解得：x≥2或x≤－3，二次函數(shù)在區(qū)間(－∞，－3]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)在定于域內(nèi)單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f(x)=的單調(diào)增區(qū)間是[2,+∞).故選：B.【例3】【變式訓(xùn)練】(－1，3)【解析】因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù)，f(a2－3)<f(2a)，所以a2－3<2a，即a2－2a－3<0，(a－3)(a＋1)<0，解得－1<a<3，所以不等式f(a2－3)<f(2a)的解集是(－1，3)．【例4】【變式訓(xùn)練】【解】函數(shù)g(x)＝eq\f(x,4x－a)＝eq\f(x－\f(a,4)＋\f(a,4),4x－a)＝eq\f(1,4)＋eq\f(a,4（4x－a）)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴a＞0，且4－a≥0，求得0＜a≤4.課堂訓(xùn)練1．B【解析】由題可知函數(shù)y＝eq\f(2,x)為反比例函數(shù)，且k＝2>0，所以函數(shù)在(－∞，0)和(0，＋∞)上是減函數(shù)．2．D【解析】對(duì)于A，函數(shù)在R遞減，對(duì)于B，函數(shù)在(0，1)遞減，對(duì)于C，函數(shù)在(0，＋∞)無(wú)單調(diào)性，對(duì)于D，函數(shù)在(0，＋∞)遞增，故選：D.3．C【解析】函數(shù)y＝1－x2圖像開(kāi)口向下，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，函數(shù)y＝eq\f(1,x)，在(－∞，0)，(0，＋∞)上，單調(diào)遞減，函數(shù)y＝x2圖像開(kāi)口向上，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)y＝3－x在R上為單調(diào)減函數(shù)，故選C.4．D【解析】∵f(x)在R上為增函數(shù)且f(5＋2a)>f(5－2a)，∴5＋2a>5－2a，即a>0，故選D.5．A【解析】函數(shù)f(x)＝|x|在(0，＋∞)上化簡(jiǎn)為f(x)＝x，其圖像如a圖，g(x)＝－x2＋1在(0，＋∞)上的圖像為b圖．很顯然f(x)＝|x|在(0，＋∞)上為增函數(shù)，g(x)＝－x2＋1在(0，＋∞)上為減函數(shù)，故選A.a圖b圖第5題圖6．>【解析】因?yàn)閒(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，－3<3，所以f(－3)>f(3)．7．(－∞，－1)∪(0，＋∞)【解析】∵y＝f(x)是定義域R上的單調(diào)增函數(shù)，且f(1－a)<f(a2＋1)，∴1－a<a2＋1，解得a<－1或a>0，即a的取值范圍為(－∞，－1)∪(0，＋∞)．8.[1,+∞)9．(1，＋∞)【解析】∵y＝logx為(0，＋∞)上的減函數(shù)，∴由x－1＞0得：x＞1，∴函數(shù)y＝log(x－1)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴函數(shù)y＝log(x