2022北京市昌平區(qū)高二（上）期末數學真題試卷（學生版）

1/82022北京昌平高二（上）期末數學2022.01第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.（1）已知直線，則直線的傾斜角為（A） （B） （C） （D）（2）已知，則（A） （B） （C） （D）（3）在的展開式中二項式系數最大的項是（A）第項和第項 （B）第項和第項 （C）第項 （D）第項（4）設橢圓的兩個焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，如果，那么的值為（）（A） （B） （C） （D）（5）已知平行六面體中，設，，，則（A） （B） （C） （D）（6）設，則“”是“直線與直線平行”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件（7）第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，計劃于2022年2月4日（星期五）開幕，2月20日（星期日）閉幕.北京冬季奧運會設7個大項，15個分項，109個小項.其中七個大項分別為：滑雪、滑冰、雪車、雪橇、冰球、冰壺、冬季兩項（越野滑雪射擊比賽）.現組委會將七個大項的門票各一張分給甲、乙、丙三所學校，如果要求一個學校4張，一個學校2張，一個學校1張，則共有不同的分法數為（A） （B） （C） （D）（8）在四棱錐中，底面是矩形，平面，為中點，，則直線與所成角的大小為（A） （B） （C） （D）（9）直線與拋物線交于兩點，為拋物線的焦點,若，則的面積為（A） （B） （C） （D）（10）已知正三棱錐的底面的邊長為2，是空間中任意一點，則的最小值為（A） （B） （C） （D）第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.(11)已知是直線的方向向量，是直線的方向向量，若直線，則_____。(12)在的展開式中所有的二項式系數之和為512，則_______；展開式中常數項的值為___________.(13)雙曲線的漸近線方程為 ；若拋物線的焦點是雙曲線的右焦點，則.(14)在空間直角坐標系中，已知點，，，若點在平面內，則 （15）已知圓，直線過點且與圓交于兩點，當面積最大時，直線的方程為__________（16）已知正方體的棱長為2，為的中點，點在正方體的表面上運動，且滿足平面平面.給出下列四個結論：=1\*GB3①△的面積的最大值為； =2\*GB3②滿足使△的面積為的點有且只有兩個；=3\*GB3③點可以是的中點；=4\*GB3④線段的最大值為.其中所有正確結論的序號是_______．三、解答題(本大題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)(17)（本小題14分）已知過點的直線被圓所截得的弦長為.（=1\*ROMANI）寫出圓的標準方程及圓心坐標、半徑；（=2\*ROMANII）求直線的方程.(18)（本小題14分）如圖，在四棱錐中，平面,，，.（=1\*ROMANI）求證：平面；（=2\*ROMANII）求直線和平面所成角的正弦值；（=3\*ROMANIII）求二面角的余弦值.(19)（本小題14分）有7個人分成兩排就座，第一排3人，第二排4人.（=1\*ROMANI）共有多少種不同的坐法？（=2\*ROMANII）如果甲和乙都在第二排，共有多少種不同的坐法？（=3\*ROMANIII）如果甲和乙不能坐在每排的兩端，共有多少種不同的坐法？(20)（本小題14分）如圖,在棱長為1的正方體中，是的中點.（=1\*ROMANI）求證：；（=2\*ROMANII）求證：平面；（=3\*ROMANIII）求點到平面的距離.(21)（本小題14分）已知橢圓：，，，，點在線段上，且，直線的斜率為.（=1\*ROMANI）求橢圓的離心率；（=2\*ROMANII）若直線與橢圓交于兩點,弦的中點為，且，求橢圓的方程.（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

2022北京昌平高二（上）期末數學參考答案一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)題號12345678910答案BCDCBADCBA二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）（11）（12）（13）（14）（15）（16）=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④（第12、13題：第一空3分，第二空2分；第16題:答對一個給2分，答對兩個給3分，全對給5分，不選或有錯選得0分.）三、解答題(本大題共5小題，共70分)（17）（共14分）解：（=1\*ROMANI）由圓整理得.……2分所以圓心坐標為；圓的半徑為.……6分（=2\*ROMANII）①當直線的斜率不存在時，直線方程為.圓心到直線的距離為.此時直線被圓截得的弦長為，符合題意.……8分②當直線的斜率存在時，設直線方程為.……9分因為弦長為，半徑為4，所以圓心到直線的距離為.……10分根據點到直線距離公式，解得，……12分所以直線方程為.綜上，直線方程為或.……14分（18）（共14分）解：（=1\*ROMANI）在四棱錐中，因為，平面，平面，所以平面.……4分（=2\*ROMANII）因為平面,，所以.以為坐標原點，方向為軸，軸，軸的正方向，如圖建立空間直角坐標系.則……5分.所以.……6分設平面的法向量為.則即……7分令，則.所以.……8分設直線和平面所成的角為.因為，所以直線和平面所成角的正弦值為.……10分（=3\*ROMANIII）因為，，，所以平面.所以平面的法向量為.……11分所以.……13分由題知，二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.……14分（19）（共14分）解：（=1\*ROMANI）7個人分成兩排就座，第一排4人，第二排3人,共有種不同的坐法.……4分（=2\*ROMANII）法一：甲和乙都在第二排，有種不同的坐法；……9分法二：甲和乙都在第二排，有種不同的坐法；……9分（=3\*ROMANIII）法一：如果甲和乙不能坐在每排的兩端，共有種不同的坐法.……14分法二：如果甲和乙不能坐在每排的兩端，共有種不同的坐法.……14分法三：甲坐在第一排的中間，乙坐在第二排的中間兩個位置，共有種不同的坐法；乙坐在第一排的中間，甲坐在第二排的中間兩個位置，共有種不同的坐法；甲和乙坐在第二排的中間兩個位置，共有種不同的坐法；所以甲和乙不能坐在每排的兩端，共有720種不同的坐法.……14分（20）（共14分）解：（=1\*ROMANI）法一：在正方體中，連結.因為平面，平面，所以.……1分因為，，所以平面.……3分因為平面,所以.……4分法二：因為,所以以為坐標原點，方向為軸，軸，軸的正方向，如圖建立空間直角坐標系.則……1分.所以.……2分因為，……3分所以.……4分（=2\*ROMANII）因為，……5分設平面的法向量為.則即令，則.所以.……7分因為，所以.……8分因為平面，所以平面.……9分（=3\*ROMANIII）因為，……10分所以.……14分所以點到平面的距離為.（21）（共14分）解：（=1\*ROMANI）設，則，.……1分因為，所以.……2分因為，所以.……3分所以，解得.……4分根據，得到.……5分所以.……6分（=2\*ROMANII）由題意可知直線的斜率存在且不為，設直線方程為.……7分由，得到.……8分